parabol lập phương

11

(6) thì điểm $(-x, -y)$ cũng thỏa mãn phương trình này. Chính xác là chúng ta có
$$(-y) = (-x)^3 - p(-x).$$
(7)
Do đó, cùng với điểm $(x, y)$, điểm $(-x, -y)$, đối xứng với nó so với gốc tọa độ, cũng thuộc đường $L$.
Chúng ta hãy tìm thêm các điểm giao nhau của đường $L$ với trục hoành độ, tức là nghiệm của phương trình
$$x^3 - px = 0.$$ (8)
Phương trình này có ba gốc
$$x = 0, x = \pm \sqrt{p}.$$ (9)
Hai nghiệm cuối cùng tại $p < 0$ là cực tiểu và do đó không có ý nghĩa hình học tổng quát. Đối với $p > 0$, cả ba nghiệm của (9) đều khác nhau và do đó có ba điểm giao nhau của đường $L$ với trục x. Tại $p = 0$, ba nghiệm hợp nhất thành một nghiệm ba $x = 0$.
Hàm đạo hàm (6) được cho bởi công thức
$$f'(x) = 3x^2 - p.$$ (10)
Bằng cách nghiên cứu dấu của hàm này với các giá trị khác nhau của $x$, chúng ta có thể chia đường $L$ thành các phần của hàm tăng và hàm giảm $f(x)$ và tìm ra điểm cực đại và cực tiểu. Đối với cả hai số nguyên chúng ta nên tìm nghiệm của phương trình
$$f'(x) = 3x^2 - p = 0.$$ (11)
Đối với $p$ âm, hàm $f'(x)$ (xem (10)) là dương với mọi giá trị của $x$ và do đó, hàm $f(x)$ tăng trong suốt thay đổi $x$: $-\infty < x < \infty$.
Đối với $p = 0$, hàm $f'(x)$ (xem (10)) dương với tất cả các giá trị của $x \neq 0$. Do đó, nó tăng ở mức $-\infty < x < 0, 0 < x < \infty$. Và vì trong phần đầu tiên, hàm $f(x)$ là âm, trong phần thứ hai nó là dương, nên nó sẽ tăng trong suốt quá trình thay đổi từ $-\infty$ thành $\infty$.
Tại điểm $x = 0$, trong đó $f'(x) = 0$, hàm $f(x)$ cũng tăng. Do đó, đối với $x = 0$, trong đó $f'(x) = 0$, hàm $x^3$ không có giá trị cực đại cũng như giá trị tối thiểu.
Trong trường hợp dương $p$, phương trình (11) có hai nghiệm
$$x_1 = -\sqrt{p/3}, x_2 = \sqrt{p/3}.$$ (12)
Bạn nên kiểm tra xem hàm số $f(x)$ tại các điểm $x_1$ và $x_2$ có ​​cực đại hay cực tiểu. Các điểm giống nhau $x_1$ và $x_2$ chia toàn bộ mức độ thay đổi $x$ thành các phần:

$$-\infty < x \leq x_1, x_1 \leq x \leq x_2, x_2 \leq x < \infty.$$ (13)

Trong phần đầu tiên, hàm $f'(x)$ là dương, ở phần thứ hai nó âm, ở phần thứ ba nó lại dương. Do đó, hàm $f(x)$ tăng ở phần đầu tiên, giảm ở phần thứ hai và tăng ở phần thứ ba.
Từ đây rõ ràng điểm $x_1$ là điểm tối đa và điểm $x_2$ là điểm tối thiểu. Do đó, parabol lập phương (6) có ba dạng khác nhau đáng kể tùy thuộc vào giá trị của $p$: dạng thứ nhất $p < 0$, dạng thứ hai $p = 0$, dạng thứ ba $p > 0$. Trong Hình 1, một parabol bậc ba được mô tả trong cả ba trường hợp.

Xét phương trình
$$x^3 - px = c.$$ (14)
Rõ ràng về mặt hình học là với $p < 0$ phương trình này chỉ có một nghiệm thực. Đối với $p = 0$ phương trình này cũng chỉ có một nghiệm thực, ngoại trừ trường hợp $c = 0$, khi nó có một nghiệm ba $x = 0$. Nếu $p > 0$, phương trình (14) có ba nghiệm tại
$$f(x_2) \leq c \leq f(x_1),$$ (15)
và ở những vị trí cực đoan các giá trị

12

$c$ trên đoạn (15) có một nghiệm đơn và một nghiệm kép. Đoạn thẳng (15) chỉ có một nghiệm thực của phương trình (14).

Parabol lập phương (6) sẽ luôn đi qua gốc tọa độ. Tiếp tuyến của góc nghiêng tại gốc tọa độ được xác định theo công thức

$$f'(0) = -p.$$ (16)

Như vậy, bản thân khối có phương trình

$$y = k(x) = -px.$$ (17)

Khối này chia toàn bộ mặt phẳng thành hai phần: phần trên nằm phía trên nó và phần dưới nằm dưới nó. Một điểm tùy ý $(x^*, y^*)$ của mặt phẳng nằm phía trên đường thẳng (17), nếu

$$y^* > -px^*.$$ (18)

Điểm $(x^*, y^*)$ nằm dưới đường thẳng (17), nếu

$$y^* < -px^*.$$ (19)

Chúng ta hãy tìm xem nửa không gian đang xét nào chứa điểm $(x, y)$ của parabol bậc ba, tức là điểm thỏa mãn phương trình (6). Để làm rõ vấn đề này, chúng ta phải so sánh các giá trị

$$x^3 - px$$ (20)

từ kích thước

$$-px.$$ (21)

Rõ ràng là ở giá trị $x < 0$ (20) nhỏ hơn giá trị (21) và ở giá trị $x > 0$ (20) lớn hơn giá trị (21). Đối với $x < 0$, điểm $(x, y)$ của parabol lập phương thỏa mãn điều kiện (19), nghĩa là nó nằm dưới tiếp tuyến, và đối với $x > 0$ điểm này thỏa mãn điều kiện (18), tức là nó nằm phía trên tiếp tuyến. Do đó, tại gốc tọa độ, một parabol lập phương đi từ cạnh này sang cạnh kia của nó.

Hiện tượng một đường chuyển tiếp từ cạnh này sang cạnh khác gần điểm tiếp tuyến là điều được nhiều người quan tâm. Sẽ giải quyết hiện tượng này.

Điểm uốn. Cho $L$ là đồ thị của hai nửa không gian nào đó và nằm tại điểm $(x, y)$ của parabol bậc ba, tức là một điểm thỏa mãn phương trình (6). Để làm rõ vấn đề này, chúng ta phải so sánh các giá trị

$$x^3 - px$$ (20)

từ kích thước

$$-px.$$ (21)

Rõ ràng là ở giá trị $x < 0$ (20) nhỏ hơn giá trị (21) và ở giá trị $x > 0$ (20) lớn hơn giá trị (21). Đối với $x < 0$, điểm $(x, y)$ của parabol lập phương thỏa mãn điều kiện (19), nghĩa là nó nằm dưới tiếp tuyến, và đối với $x > 0$ điểm này thỏa mãn điều kiện (18), tức là nó nằm phía trên tiếp tuyến. Do đó, tại gốc tọa độ, parabol lập phương đi từ bên này sang bên kia gần điểm tiếp tuyến. Hóa ra điều kiện cho điểm uốn được thỏa mãn (xem (3))

$$f''(x_0) = 0.$$ (22)

Hãy chứng minh nhận định này. Phương trình bậc ba cho một phương trình khác gần điểm tiếp tuyến có thể được viết dưới dạng

$$y = K(x) = f'(x_0) \cdot x + y_0.$$ (23)

Ở đây $f'(x_0)$ là tiếp tuyến của góc nghiêng của khối absissa, và $y_0$ là một hằng số nào đó, được xác định bởi phương trình

$$f(x_0) - K(x_0) = 0.$$ (24)

Điều kiện này thể hiện thực tế là về mặt lập phương tại điểm $a$ đến đường thẳng $L$ đi qua điểm $a$. Hãy xem xét chức năng

$$h(x) = f(x) - K(x).$$ (25)

Hàm này thỏa mãn hai điều kiện sau

$$h(x_0) = 0, h'(x_0) = 0.$$ (26)

Do đó, đồ thị của hàm

$$y = h(x)$$ (27)

chạm vào trục x tại điểm $x = x_0$.

Nếu $a$ là điểm uốn thì đồ thị của hàm $h(x)$ tại điểm $x_0$ đi từ phía này sang phía kia của trục absis. Trước hết hãy chứng minh rằng $h''(x_0) = 0$. Chúng ta sẽ chứng minh điều đó bằng phản chứng. Thật vậy, chúng ta hãy giả sử rằng $h''(x_0) > 0$. Vì $h'(x_0) = 0$, hàm $h(x)$ có giá trị nhỏ nhất tại điểm $x_0$ và do đó với tất cả $x$ đủ gần với $x_0$, chúng ta có

$$h(x) \geq h(x_0) = 0.$$

Có thể đồ thị của hàm số $h(x)$ không đi qua điểm $x_0$ từ phía này sang phía kia của trục absis. Hoàn toàn giống nhau

13

trường hợp $h''(x_0) < 0$ đang được phân tích. Khi đó hàm $h(x)$ có cực đại tại điểm $x_0$, và do đó $h(x) \leq h(x_0) = 0$; do đó, ngay cả tại $h''(x_0) < 0$, đồ thị của hàm $h(x)$ không đi từ bên này của trục hoành sang bên kia tại điểm $x_0$.

Vậy còn lại một khả năng: $h''(x_0) = 0$.

Tiếp theo, chúng ta có
$$0 = h''(x_0) = f''(x_0) - K''(x_0) = f''(x_0),$$
(28)

kể từ $K''(x) = 0$. Như vậy, công thức (28) đã được chứng minh.

Tuy nhiên, không nên nghĩ rằng đẳng thức này là điều kiện đủ để điểm $x_0$ là điểm uốn của đồ thị của hàm $f(x)$.

Yêu cầu người đọc chứng minh điểm $a$ là điểm uốn thực nếu
$$f''(x_0) = 0, f'''(x_0) \neq 0,$$
(29)

nên điều kiện (29) là điều kiện đủ để điểm $a$ là điểm uốn.

Bây giờ chúng ta quay trở lại parabol bậc ba (6). Hãy tính hàm tùy ý thứ hai (6). chúng tôi có
$$f''(x) = (x^3 - px)'' = 6x.$$ (30)

Chúng ta đã xác định được rằng gốc tọa độ là điểm uốn của parabol bậc ba (2). Biểu thức (25) cho hàm tùy ý thứ hai (2) cho thấy gốc tọa độ là điểm uốn duy nhất của parabol bậc ba, vì hàm tùy ý thứ hai (25) chỉ biến mất tại $x = 0$.

Hàm tùy ý thứ ba (6) được xác định theo công thức (xem (4))
$$f'''(x) = 6.$$

Do đó, tại điểm $x = 0$ đối với parabol bậc ba (6), hàm số (29) được thỏa mãn, điều này một phần ngụ ý rằng điểm $x = 0$ là điểm uốn.

---

Bây giờ chúng ta xét parabol bậc ba tổng quát (5). Trước tiên chúng ta hãy tìm hiểu xem đa thức (5) có bao nhiêu nghiệm thực.

Xét phương trình (14)
$$x^3 - px = c.$$

Như đã đề cập, với $p < 0$ phương trình này chỉ có một nghiệm thực. Đối với $p = 0$ phương trình này cũng chỉ có một nghiệm thực, ngoại trừ trường hợp $c = 0$, khi nó có một nghiệm ba $x = 0$. Nếu $c = 0$, phương trình (14) có ba nghiệm tại
$$f(x_2) \leq c \leq f(x_1)$$
(xem (15)), trong đó
$$f(x_1) = \frac{2}{3}p\sqrt{\frac{p}{3}}, \quad f(x_2) = -\frac{2}{3}p\sqrt{\frac{p}{3}},$$
(xem (12)), nên bất đẳng thức (15) có thể viết dưới dạng
$$|c| \leq \frac{2}{3}p\sqrt{\frac{p}{3}},$$
(31)

và đối với các giá trị cực trị $c$ từ khoảng (31) có một nghiệm đơn và một nghiệm kép. Bên ngoài đoạn (31), phương trình (14) chỉ có một nghiệm thực.

Đa thức (5) có thể rút gọn về dạng
$$\eta = f(\xi) = \xi^3 - p\xi$$
(32)

thay thế các biến
$$x = \xi + \alpha, \quad y = \eta + \beta.$$ (33)

Sự thay thế như vậy có nghĩa là sự dịch chuyển song song của hệ tọa độ.

Thay (33), ta được
$$\eta = \xi^3 + (3\alpha + a_1)\xi^2 + (3\alpha^2 + 2a_1\alpha + a_2)\xi + (\alpha^3 + a_1\alpha^2 + a_2\alpha + a_3) - \beta.$$ (34)

Để đa thức (5) rút gọn về dạng (32) chỉ cần thỏa mãn điều kiện
$$3\alpha + a_1 = 0, \quad \alpha^3 + a_1\alpha^2 + a_2\alpha + a_3 - \beta = 0.$$ (35)

Từ phương trình đầu tiên của hệ (35) ta có
$$\alpha = -\frac{a_1}{3}.$$ (36)

Thay phương trình này cho $a$ vào phương trình thứ hai của hệ (35), ta thu được
$$\beta = \frac{2a_1^3}{27} - \frac{a_1a_2}{3} + a_3.$$ (37)

Giả sử rằng $\alpha$ và $\beta$ được cho bởi công thức (36) và (37), chúng ta có thể viết lại (34) thành
$$\eta = f(\xi) = \xi^3 - p\xi,$$
(38)

Ở đâu
$$p = \frac{a_1^2}{3} - a_2.$$ (39)

Hình dạng hình học của parabol lập phương (5) trùng với công thức hình học của parabol (38). Cái sau phụ thuộc vào dấu của đại lượng $p$ (39).

---

Bây giờ chúng ta hãy làm rõ câu hỏi đa thức $g(x)$ có bao nhiêu nghiệm (xem (5)).

14

Các đa thức $g(x)$ và $f(\xi)$ liên hệ với nhau bằng quan hệ
$$f(\xi) = g(x) - \beta.$$
Do đó, số nghiệm của đa thức $g(x)$ bằng số nghiệm của đa thức $f(\xi) + \beta$ hoặc bằng chính số nghiệm của phương trình $f(\xi) = -\beta$. Nhưng chúng ta đã biết con số này rồi (xem (14)).
Do đó, với $p < 0$ (xem (38)) đa thức $g(x)$ có một nghiệm thực, đối với $p = 0$ đa thức $g(x)$ cũng có một nghiệm thực, ngoại trừ trường hợp giá trị $\beta$ (xem (37)) bằng 0.
Xét trường hợp $p > 0$. Nếu đại lượng $\beta$ (xem (37)) thỏa mãn điều kiện
$$|\beta| \leq \frac{2}{3\sqrt{3}} p^{3/2} \tag{40}$$
(xem (31)), thì đa thức $g(x)$ có ba nghiệm thực và ở cuối đoạn (40) hai nghiệm hợp nhất thành một. Thay thế các giá trị $\beta$ và $p$ vào (40) từ các tương ứng (37) và (39) và bình phương các giá trị tương ứng thu được, chúng ta thu được các điều kiện
$$\left( \frac{2a_1^3}{27} - \frac{a_1a_2}{3} + a_3 \right)^2 \leq \frac{4}{27} \left( \frac{a_1^2}{3} - a_2 \right)^3. \tag{41}$$

Điều kiện kết quả là một tiêu chí hoàn chỉnh bắt đầu từ ba nghiệm thực của đa thức $g(x)$, vì khi nó thỏa mãn thì trường hợp $p < 0$ bị loại trừ. Xét cho cùng, bất đẳng thức thứ nhất (41) cho $p < 0$ là âm, trong khi vế trái, là hình vuông, không thể âm.

---

Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra cách nghiên cứu đồ thị của đa thức bậc bốn
$$y = h(x) = x^4 + b_1x^3 + b_2x^2 + b_3x + b_4.$$
Để làm rõ hành vi của nó, bạn nên nghiên cứu hành vi của đa thức
$$h'(x) = 4x^3 + 3b_1x^2 + 2b_2x + b_3.$$
Đa thức này đã có bậc 3 và câu hỏi nó có bao nhiêu nghiệm thực đã được giải quyết.
Vì đa thức $h(x)$ tăng vô hạn, luôn dương khi $x \rightarrow +\infty$ và $x \rightarrow -\infty^*$), nên nếu đa thức $h'(x)$ chỉ có một nghiệm thực thì đa thức $h(x)$ chỉ có một cực tiểu. Nếu đa thức $h'(x)$ có ba nghiệm thực khác nhau thì đa thức $h(x)$ có hai cực tiểu và một cực đại. Đồ thị của hàm số $h(x)$ trong hai trường hợp này là dan ở Hình 3, a, b, còn trong trường hợp hai nghiệm thực hợp lại thành một thì đồ thị có dạng như ở Hình 3, c.

---

Để kết luận, tôi sẽ đưa ra công thức Cardan (1501–1576) cho lời giải phương trình bậc ba (14), tức là phương trình
$$x^3 - px = c. \tag{42}$$

Sau khi thu được lời giải, chúng ta có thể thay thế $p$ và $c$ theo công thức (37) và (39). Vì vậy, chúng ta có thể thu được công thức tìm tất cả các nghiệm của đa thức (5).

Đối với phương trình lời giải (42) thay thế tùy ý biến bằng tổng của hai ẩn số mới $u$ và $v$, nghĩa là
$$x = u + v. \tag{43}$$

Chúng tôi sẽ kết nối những ẩn số mới $u$ và $v$ với một số thư từ bổ sung. Thay $x = u + v$ vào phương trình (42), ta thu được
$$u^3 + v^3 + (3uv - p)(u + v) = c. \tag{44}$$

(Cuối cùng xem trang 32)

*) Tức là khi $x$ tăng về mặt tuyệt đối, vẫn dương ($x \rightarrow +\infty$) và vẫn âm ($x \rightarrow -\infty$). (Ghi chú của biên tập viên)