Кубическая парабола

11

(6), то точка $(-x, -y)$ также удовлетворяет этому уравнению. Именно, имеем
$$(-y) = (-x)^3 - p(-x).$$
(7)
Таким образом, наряду с точкой $(x, y)$ к линии $L$ принадлежит и симметричная к ней относительно начала координат точка $(-x, -y)$.
Найдем, далее, точки пересечения линия $L$ с осью абсцисс, то есть корни уравнения
$$x^3 - px = 0.$$ (8)
Уравнение это имеет три корня
$$x = 0, x = \pm \sqrt{p}.$$ (9)
Последение два корня при $p < 0$ минимы и потому не имеют общного геометрического смысла. При $p > 0$ все три корня (9) различны, и, следовательно, имеются три точки пересечения линия $L$ с осью абсцисс. При $p = 0$ три корня сливются в один трекратный корень $x = 0$.
Производная функция (6) задается формулой
$$f'(x) = 3x^2 - p.$$ (10)
Изучая знак этой функции при различных значениях $x$, мы можем разбит линию $L$ на участки возрастания и убывания функции $f(x)$ и найти точки максимума и минимума. Для той и другой целы нам следует найти корни уравнения
$$f'(x) = 3x^2 - p = 0.$$ (11)
При отрицательном $p$ функция $f'(x)$ (см. (10)) положительная при любом значении $x$ и, следовательно, функция $f(x)$ возрастает на всем протяжении изменения $x$: $-\infty < x < \infty$.
При $p = 0$ функция $f'(x)$ (см. (10)) положительная при всех значениях $x \neq 0$. Таким образом, она возрастает при $-\infty < x < 0, 0 < x < \infty$. А так как на первом из этих участков функция $f(x)$ отрицательна, на втором положительная, то она возрастет на всем протяжении изменения от $-\infty$ до $\infty$.
В точке $x = 0$, где $f'(x) = 0$, функция $f(x)$ также возрастает. Таким образом, при $x = 0$, где $f'(x) = 0$, функция $x^3$ не имеет ни максимума, ни минимума.
В случае положительного $p$ уравнение (11) имеет два корня
$$x_1 = -\sqrt{p/3}, x_2 = \sqrt{p/3}.$$ (12)
Следует проверить, не имеет ли функция $f(x)$ в точках $x_1$ и $x_2$ максимумов или минимумов. Те же точки $x_1$ и $x_2$ разбивают все протяжение изменения $x$ на участки:

$$-\infty < x \leq x_1, x_1 \leq x \leq x_2, x_2 \leq x < \infty.$$ (13)

На первом из этих участков функция $f'(x)$ положительная, на втором — отрицательна, на третьем — вновь положительная. Таким образом, функция $f(x)$ возрастает на первом участке, убывает на втором и возрастает на третьем.
Отсюда же видно, что точка $x_1$ есть точка максимума, а точка $x_2$ — точка минимума. Таким образом, кубическая парабола (6) имеет три существенного различные формы в зависимости от значения $p$: первая $p < 0$, вторая $p = 0$, третья $p > 0$. На рисунке 1 кубическая парабола изображена во всех трех случаях.

Рассмотрим уравнение
$$x^3 - px = c.$$ (14)
Геометрические ясно, что при $p < 0$ это уравнение имеет лишь один действительный корень. При $p = 0$ это уравнение имеет также лишь один действительный корень, за исключением случая $c = 0$, когда имеет тройной корень $x = 0$. Если $p > 0$, уравнение (14) имеет три корня при
$$f(x_2) \leq c \leq f(x_1),$$ (15)
причем в крайных положениях значения

12

ния $c$ на отрезке (15) имеет один простой и один двойной корень. Вие отрезка (15) имеет лишь один действительный корень уравнения (14).

Кубический парабола (6) всегда продолжит через начало координат. Тангенс угла наклона ее в начале координат определяется формулой

$$f'(0) = -p.$$ (16)

Таким образом, сама кубическая имеет уравнение

$$y = k(x) = -px.$$ (17)

Эта кубальная разбиает всю плоскость на две части: верхнюю, лежащую над ней, и нижнюю, лежащую под ней. Произвольная точка $(x^*, y^*)$ плоскости лежит над прямой (17), если

$$y^* > -px^*.$$ (18)

Точка $(x^*, y^*)$ лежит под прямой (17), если

$$y^* < -px^*.$$ (19)

Выясним, в какой из рассмотренных двух полупоскостей лежит точка $(x, y)$ кубический парабольы, то есть точка, удовлетворяющая уравнению (6). Для выяснения этого вопроса мы должны сравнить величины

$$x^3 - px$$ (20)

с величины

$$-px.$$ (21)

Ясно, что при $x < 0$ величина (20) меньше величины (21), а при $x > 0$ величина (20) больше величины (21). При $x < 0$ точка $(x, y)$ кубического параболя удовлетворяет условию (19), то есть лежит под касательной, а при $x > 0$ эта точка удовлетворяет условию (18), то есть лежит над касательной. Следовательно, в начале координат кубическая парабола переходит с одной стороны на другую ее сторону.

Явление перехода линии с одной стороны кубательно на другую вблизи точки касания имеет общий интерес. Займется этим явлением.

Точка перегиба. Пусть $L$ — график некоторых двух полупоскостей лежит точка $(x, y)$ кубический парабольы, то есть точка, удовлетворяющая уравнению (6). Для выяснения этого вопроса мы должны сравнить величины

$$x^3 - px$$ (20)

с величины

$$-px.$$ (21)

Ясно, что при $x < 0$ величина (20) меньше величины (21), а при $x > 0$ величина (20) больше величины (21). При $x < 0$ точка $(x, y)$ кубического параболя удовлетворяет условию (19), то есть лежит под касательной, а при $x > 0$ эта точка удовлетворяет условию (18), то есть лежит над касательной. Следовательно, в начале координат кубическая парабола переходит с одной стороны на другую вблизи точки касания. Оказывается, что для точки перегиба выполнен условие (см. (3))

$$f''(x_0) = 0.$$ (22)

Докажем это утверждение. Уравнение кубательно на другую вблизи точки касания может записать в виде

$$y = K(x) = f'(x_0) \cdot x + y_0.$$ (23)

Здесь $f'(x_0)$ есть тангенс угла наклона кубического кости абсисс, а $y_0$ — некотора константа, которая определяется уравнием

$$f(x_0) - K(x_0) = 0.$$ (24)

Это условие выражает тот факт, что кубательно в точке $a$ к линии $L$ проходит через точку $a$. Расмотрим функцию

$$h(x) = f(x) - K(x).$$ (25)

Эта функция удовлетворяет следующим двум условиям

$$h(x_0) = 0, h'(x_0) = 0.$$ (26)

Таким образом, график функции

$$y = h(x)$$ (27)

касается оси абсисс в точке $x = x_0$.

Если $a$ есть точка перегиба, то график функции $h(x)$ в точке $x_0$ переходит с одной стороны оси абсисс на другую. Докажем преждевое всего, что $h''(x_0) = 0$. Докажательство будем вести от противного. Действительно, допустим, что $h''(x_0) > 0$. Так как $h'(x_0) = 0$, то функция $h(x)$ имеет в точке $x_0$ минимум и потому при всех $x$, достаточно близких к $x_0$, имеем

$$h(x) \geq h(x_0) = 0.$$

Позному график функции $h(x)$ не переходит в точке $x_0$ с одной стороны оси абсисс на другую. Точно так же

13

разбирается случай $h''(x_0) < 0$. Тогда функция $h(x)$ имеет в точке $x_0$ максимум, и потому $h(x) \leq h(x_0) = 0$; следовательно, и при $h''(x_0) < 0$ график функции $h(x)$ не переходит с одной стороны оси абсцисс на другую в точке $x_0$.

Итак, остается одна возможность: $h''(x_0) = 0$.

Далее, мы имеем
$$0 = h''(x_0) = f''(x_0) - K''(x_0) = f''(x_0),$$
(28)

так как $K''(x) = 0$. Таким образом, формула (28) доказана.

Не следует, одноко, думать, что это равенство является достаточно условием для того, чтобы точка $x_0$ была точкой перегиба графика функции $f(x)$.

Читатель предлагается доказать, что точка $a$ действительное является точкой перегиба, если
$$f''(x_0) = 0, f'''(x_0) \neq 0,$$
(29)

так что условия (29) являются достаточно условием для того, чтобы точка $a$ была точкой перегиба.

Вернемся теперь к кубической параболе (6). Вычислим вторую произвольную функцию (6). Мы имеем
$$f''(x) = (x^3 - px)'' = 6x.$$ (30)

Мы уже установили, что начало координат является точкой перегиба кубической параболе (2). Выражение (25) для второй произвольной функции (2) показывает, что начало координат является единственной точкой перегиба кубической параболе, так как вторая произвольная (25) обращается в нуль лишь при $x = 0$.

Третья произвольная функция (6) определяется формулой (см. (4))
$$f'''(x) = 6.$$

Таким образом, в точке $x = 0$ для кубической параболе (6) выполняется функция (29), откуда в частиности вытекает, что точка $x = 0$ является точкой перегиба.

---

Зайемся теперь общей кубической параболе (5). Выясним преждевое сколько действительных корней имеет многочлен (5).

Рассмотрим уравнение (14)
$$x^3 - px = c.$$

Как уже было сказано, при $p < 0$ это уравнение имеет лишь один действительный корень. При $p = 0$ это уравнение имеет также лишь один действительный корень, за исключением случая $c = 0$, когда имеет troйной корень $x = 0$. Если $c = 0$, уравнение (14) имеет три корня при
$$f(x_2) \leq c \leq f(x_1)$$
(см. (15)), где
$$f(x_1) = \frac{2}{3}p\sqrt{\frac{p}{3}}, \quad f(x_2) = -\frac{2}{3}p\sqrt{\frac{p}{3}},$$
(см. (12)), так что неравенство (15) можно записать в виде
$$|c| \leq \frac{2}{3}p\sqrt{\frac{p}{3}},$$
(31)

причем для крайних значений $c$ из отрезка (31) имеет один простой и один двойной корень. Вне отрезка (31) уравнение (14) имеет лишь один действительный корень.

Многочлен (5) можно привести к виду
$$\eta = f(\xi) = \xi^3 - p\xi$$
(32)

заменой переменных
$$x = \xi + \alpha, \quad y = \eta + \beta.$$ (33)

Такая замена означает параллельный сдигг системы координат.

Производа подстановку (33), получим
$$\eta = \xi^3 + (3\alpha + a_1)\xi^2 + (3\alpha^2 + 2a_1\alpha + a_2)\xi + (\alpha^3 + a_1\alpha^2 + a_2\alpha + a_3) - \beta.$$ (34)

Для того чтобы многочлен (5) был приведен к виду (32), достаточно, чтобы были выполнены условия
$$3\alpha + a_1 = 0, \quad \alpha^3 + a_1\alpha^2 + a_2\alpha + a_3 - \beta = 0.$$ (35)

Из первого уравнения системы (35) имеем
$$\alpha = -\frac{a_1}{3}.$$ (36)

Подставляя это уравнение для $a$ во второе уравнение системы (35), получим
$$\beta = \frac{2a_1^3}{27} - \frac{a_1a_2}{3} + a_3.$$ (37)

Считая, что $\alpha$ и $\beta$ заданы формулами (36) и (37), мы можем переписать (34) в виде
$$\eta = f(\xi) = \xi^3 - p\xi,$$
(38)

где
$$p = \frac{a_1^2}{3} - a_2.$$ (39)

Геометрическая форма кубической параболе (5) совпадает с геометрической формулой параболе (38). Последняя же зависит от знака величины $p$ (39).

---

Выясним теперь вопрос о том, сколько корней имеет многочлен $g(x)$ (см. (5)).

14

Многочлены $g(x)$ и $f(\xi)$ связаны соотношениями
$$f(\xi) = g(x) - \beta.$$
Таким образом, число корней многочлена $g(x)$ равно числу корней многочлена $f(\xi) + \beta$ или, что то же самое, число корней уравнения $f(\xi) = -\beta$. Но это число нам уже известно (см. (14)).
Следовательно, при $p < 0$ (см. (38)) многочлен $g(x)$ имеет один действительный корень, при $p = 0$ многочлен $g(x)$ также имеет один действительный корень, за исключением случая, когда величины $\beta$ (см. (37)) равна нулю.
Рассмотрим случай $p > 0$. Если величины $\beta$ (см. (37)) удовлетворяет условияю
$$|\beta| \leq \frac{2}{3\sqrt{3}} p^{3/2} \tag{40}$$
(см. (31)), то многочлен $g(x)$ имеет три действительных корня, причем на концах отрезка (40) два корня сливются в один. Подставляя в (40) величины $\beta$ и $p$ из соответствий (37) и (39) и возвода полученное соответствие в квадрат, получим условия
$$\left( \frac{2a_1^3}{27} - \frac{a_1a_2}{3} + a_3 \right)^2 \leq \frac{4}{27} \left( \frac{a_1^2}{3} - a_2 \right)^3. \tag{41}$$

Полученное условие является полным критерiem начиная трех действительных корней многочлена $g(x)$, так как при его выполнения исключается случай $p < 0$. Ведь первый неравенства (41) при $p < 0$ отрицательна, в то время как левая часть, будучи квадратом, не может быть отрицательной.

---

Укажем теперь путь изучения графика многочлена четвертой степени
$$y = h(x) = x^4 + b_1x^3 + b_2x^2 + b_3x + b_4.$$
Для выяснения его поведения следует изучить поведение многочлена
$$h'(x) = 4x^3 + 3b_1x^2 + 2b_2x + b_3.$$
Этот многочлен уже имеет степень 3 и вопрос о том, сколько у него действительных корней, нами уже решен.
Так как многочлен $h(x)$ неограниченно возрастает, оставаясь положительным, когда $x \rightarrow +\infty$ и $x \rightarrow -\infty^*$), то в случае, если многочлен $h'(x)$ имеет лишь один действительный корень, многочлен $h(x)$ имеет лишь один минимум. Если же многочлен $h'(x)$ имеет три различных действительных корня, то многочлен $h(x)$ имеет два минимума и один максимум. Вид графика функции $h(x)$ в этих двух случаях dan на рисунке 3, а, б, а в случае, когда два действительных корня сливются в один, график имеет вид, показанный на рисунке 3, в.

---

В заключение приведу формулу Карданов (1501—1576) для решения кубического уравнения (14), то есть уравнения
$$x^3 - px = c. \tag{42}$$

После того, как решение будет получено, мы сможем заменить $p$ и $c$ в соответствии с формулими (37) и (39). Таким образом, мы можем получить формулу для нахождения всех корней многочлена (5).

Для решения уравнения (42) произвольные замена переменного на сумму двух новых неизвестных $u$ и $v$, то есть
$$x = u + v. \tag{43}$$

Новые неизвестные $u$ и $v$ мы свяжем некоторым дополнительным соответствием. Подставляя $x = u + v$ в уравнение (42), получим
$$u^3 + v^3 + (3uv - p)(u + v) = c. \tag{44}$$

(Окончание см. на с. 32)

*) To есть когда $x$ неограниченно возрастает по модулю, оставаясь положительным ($x \rightarrow +\infty$) и оставаясь отрицательным ($x \rightarrow -\infty$). (Прим. ред.)