Задачи М851—М855; Ф863—Ф867

37

Задчи

М851—М855; Ф863—Ф867

М851. Длина стороны квадрата $ABCD$ равна 1. На сторонах $AB$ и $AD$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что перimeter треугольника $APQ$ равен 2. Доказать, что $PCQ=45^\circ$.

А. Б. Ходульев

М852. Пусть $x, y, z$ — длины сторона треугольника. Доказите, что величины
$$\frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x}$$
меныше a) 1; 6)* 1/8.

А. В. Ермилов

М853. Квадрат $ABCD$ врашается вокруг своего неподвижного центра. Найдите множество, которое описывает середина отрезка $PQ$, где $P$ — основание перпендикулара, опущенного из точки $D$ на неподвижную прямую $l$, а $Q$ — середина стороны $AB$.

Й. Табов (Болгария)

М854. На переговорном пункте установлены автоматы для размена середины монет достоинством 10, 15 и 20 копеек, действующего так, как показано на рисунке 1. У Пети был 1 руб. 25 коп.

Рис. 1.

серебряными монетами и он все их размеры в автоматах на медь. Вася, посчитав сколько кких монет стало у Пети, сказал:
— А я знаю, какие у тебя были середины монеты!
Узнайте это и выше.

Б. И. Бегун

М855. Можно ли жесткий правильный терраэд с ребром 1 противь сквозь обруч диаметра a) 1; 6) 0,95; в) 0,9; г) 0,85?

В. В. Произволов

38

Ф863. В кончекской лунке с углом при вершине 2α прыгает шарик, упруго отражаясь от стенки лунки. Точки сударения шарика со стенкой лежат на одной и той же высоте (рис. 2); время от удара до удара постояно и равно Г. Чему равна средняя угловая скорость движения шарика вокруг оси лунки, если максимальная скорость шарика v лежит в диапазоне от $\frac{1}{2}gT$ до $gT/2$ sin α?

О. Я. Савченко

Ф864. Мальчик медленно поднимается на снежную горку и тащит за собой на вервке санки. Вервка все время параллельна касательной к горке в той точке, в которой находится мальчик. Вершина горки расположена на высоте H и на расстоянии l от ее основания (рис. 3). Какую работу совершит мальчик при поднятии санок на горку? Масса санок m, коэффициент треня санок о снег μ.

А. И. Буздин

Ф865. Оцените размер атома ртути, если известны: σ — коэффициент поверхности натяжения ртути (в единицах $\frac{\text{энергия}}{\text{площадь}}$), q — плотность ртути, r — удельная теплота парообразования ртути.

Ю. Родионов, А. Яковлев

Ф866. Электропитическая ванна подключена через идеальный диод к сети переменного напряжения (рис. 4). Найти показания теплового амператора (А), если известно, что за время t=1 ч на катод выделяется m=1,078 г меди. Электрохимический эквивалент меди k=0,33·10⁻⁶ кг/Kл.

Б. А. Мукушев

Ф867. Представьте себе, что вы стоите перед большим листом толстого прорачаного стекла (например, перед стеклянной витриной). Каким образом определять толщину стекла, если доступа к его краям нет (скажем, края стекла замурованы в стены), в помещение за стеклом проникнуть нельзя, разбитъ стекло тоже нельзя? В вашем распоряжении имеются линейка, угольник, бумага, карандаш и карманный калькулятор для проведения расчетов.

М. В. Семенов

Problems

M851—M855; P863—P867

M851. The square ABCD is of length 1. Points P and Q are chosen on sides AB and AD respectively so the perimeter of ABC is 2. Prove that $\widehat{PCQ} = 45^\circ$.

A. B. Khodulev

M852. Suppose x, y, z are the lengths of a triangle’s sides. Prove that the number

$$\left| \frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{x+z} + \frac{z-x}{z+x} \right|$$

is less than a) 1; b) $1/8$.

A. V. Ermilov

40

мую $O_1L$. Следовательно, они параллельны и $O_1\widehat{A}O_2 = A\widehat{O}_1L$; аналогично, $M_1\widehat{AM}_2 = A\widehat{M}_1L$. Таким образом, равенство углов $O_1\widehat{A}O_2 = M_1\widehat{AM}_2$ эквивалентно следующим утверждением:

$$A\widehat{O}_1L = A\widehat{M}_1L;$$

точки $A, L, O_1, M_1$ лежат на одной окружности;

$$O_1\widehat{LA} + A\widehat{M}_1O_1 = 180^\circ;$$

$$O_1\widehat{LS} = A\widehat{M}_1S;$$

треугольники $SLO_1$ и $SAM_1$ (с общим углом при вершине $S$) подобыны;

$$\frac{|SA|}{|SO_1|} = \frac{|SM_1|}{|SL|}.$$

Для доказательства последнего равенства достаточно заметить, что $|SA| \cdot |SL| = |SP_1|^2 = |SO_1| \cdot |SM_1|$ (первое равенство здесь — свойство касательной и секущей — следует из подобия треугольников $P_1LS$ и $AP_1S$, второе — из подобия треугольников $O_1P_1S$ и $P_1M_1S$).

А. М. Абрамов

M837*. Пусть $a, b, c$ — целые положительные числа, каждые два из которых взаимно просты. Докажите, что наобольшее из целых чисел, которые не представимы в виде

$$xbc + yca + zab$$

(еде $x, y, z$ — неотрицательные целые числа), равно

$$2abc - ab - bc - ca.$$

Удобно рассматривать сразу более общую задачу:

пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — натуральные поларно взаимно простые числа. Наовем натуральное число $u$ «красным», если его можно представить в виде

$$u = a_1a_2\dots a_n \left( \frac{x_1}{a_1} + \dots + \frac{x_n}{a_n} \right),$$

(1)

еде $x_1, x_2, \dots, x_n$ — целые неотрицательные числа, $u$ «синим» — в противном случае. Каково наобольшее число число?

(В нашей задаче $n = 3$.)

Оно из самых коротких решений этой задачи опирается на следующее два утверждения:

1. любое целое число $u$ допускает единственное представление (1), где $x_1, x_2, \dots, x_n$ — целые числа, причем $0 \leq x_2 \leq a_2 - 1$, …, $0 \leq x_n \leq a_n - 1$, $x_1$ может быть любым (такое представление мы будем называть стандартным);

2. целое число $u$ — красное тогда и только тогда, когда в его стандартном представлении $x_1 \geq 0$.

Из последнего утверждения ясно, что наобольшее число $m$ имеет стандартное представление $c x_1 = -1$, $x_2 = a_2 - 1$, …, $x_n = a_n - 1$, то есть

$$m = a_1a_2\dots a_n \left( n - 1 - \frac{1}{a_1} - \dots - \frac{1}{a_n} \right).$$

Докажем эти утверждения по индукции, начиная со случая $n = 2$. В этом случае 1) превращается в такую очень полезную lemma (ниже $a_1 = a, a_2 = b$):

если натуральные числа $a$ и $b$ взаимно просты, то любое целое и единственный образом представляется в виде

$$u = bx + ay,$$

(2)

еде $x, y$ — целые, $0 \leq y \leq b - 1$.

Для ее доказательства заметим, что все остки от деления $b$ чисел $0, a, 2a, \dots, (b - 1)a$ на $b$ различны (в противном случае оказалось бы, что какое-то число вид $(k - l)a$, где

41

0 ≤ l < k ≤ b - 1, делится на b, а это невозможно), и следовательно,ровно одно из них, ay, дает такой же остаток, как и число u,то есть u - ay = bx при некоторых целях x и y, 0 ≤ y ≤ b - 1.

Утверждение 2) при n = 2 почти очевидно: если число u красное, то есть имеет представление (2) с x ≥ 0, y ≥ 0, то и в его стандартном представлении коэффициент при b будет неотрицательен (если y = qb + r, где q ≥ 0, 0 ≤ r ≤ b - 1, то u = bx + ay = b(x + aq) + ar).

Таким образом, в этом случае наиболее снимим число будет m = b · (-1) + a · (b - 1) = ab - a - b.

Покажем теперь, как с помощью этой же леммы сделать переход от n = 2 к n = 3 (тем самым задача M837 будет решена; в общем случае переход от n к n + 1 совершается аналогично). Перешем представление вида (1) числа u, как показано на полях. Поскольку c и ab взaimно просты, по лемме можно найти (причем единственным образом) целые v и z, 0 ≤ z ≤ c - 1, такие что u = cv + abz, а затем — x и y, 0 ≤ y ≤ b - 1, такие что v = bx + ay. Это доказывает утверждение 1) для n = 3. Для доказательства 2) достаточно заметить, что красным u отвечают красные v, а стандартному представлению u — стандартное представление v, в котором x ≥ 0.

На рисунке отмечены красные и сине числа для a = 2, b = 3, c = 5; здесь m = 29. Видно, что они располагаются симметрично относительно точки m/2; если u — красное число, то m - u — сине. Из нашей решения нетрудно вывести, что так будет и в общем случае (при любых a, b, c): красные числа — это всевозможные значения функции u(x,y,z) = bcx + cay + abz на множестве точек пространства с целыми координатами (x, y, z), где x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ b - 1, 0 ≤ z ≤ c - 1, сине — ее значения на множестве x ≤ -1, 0 ≤ y ≤ b - 1, 0 ≤ z ≤ c - 1. Эти множества симметрины, а функция u — линейная, поэтому и ее значения на этих множествах расположены симметрично.

Было бы интересно исследовать аналогичные задачи для представления целых чисел в виде Ax + By + Cz с любыми взаимно простыми коэффициентами A, B, C.

А. М. Абрамов,
Н. Б. Васильев

M838. Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника ABC, разбиты на два множества E1 и E2. Верно ли, что для любого такого разбения в одном из множества E1 и E2 найдется трейка вершин прямого треугольника?

ОТВЕТ: верно. Доказательство проведем от противного. Пусть точки множества E1 окружены с ним цветом, множества E2 — красным. Предположим, что не существует прямого треугольника с однозвесными вершинами, и рассмотрим правильный шестугольник, вписанный в треугольник ABC (см. рисунок). Каждые две его противоположные вершины должны быть окрашены по-разному — если, например, противоположные вершины P и Q сине, то любая из остальных четырех вершин должны быть красной, так как образует вместе с P и Q прямой треугольник; но тогда любые три из этих красных точки образуют запрещенный однозвесный прямой треугольник.

Ясно, что в таком случае найдет две coseдние разноветные вершины шестугольника. Любо эти две вершины, либо противоположные им (то же разноветные!) лежат на одной из сторон треугольника. Пусть для определения на стороне AB лежат слияя вершина K и красная L, тогда противоположные им вершины K1 и L1 будут красной и сине (см. рисунок). Но тогда в какой бы цвет ни была окрашена вершина A, один из противоположных треугольников AKL1 и ALK1 будет однозвесным. Противоречие.

Это рассужждение показывает, что даже множество из восемми точки — вершин шестугольника и любых двух вершин треугольника — нельзя на подмножества без прямого треугольников.

Н. Б. Васильев, В. Н. Дубровский

M839*. Можно ли выбрать 1983 натуральных числа, не превосходящих 10^5, так, чтобы выбраны чисел не было ни одной трейки чисел, состав-

42

Ляоцих арифметической процедсии (то есть ни одной тройки $a, b, c$, в которой $a + c = 2b$)?

Не является средним арифметическим двух других). Докажем, что из множества $1, 2, \dots, 5 \cdot 3^k$ ($k \geqslant 0$) можно выбрать «хорошое» подмножество $X_k$, состоящее из $4 \cdot 2^k$ чисел.

На рисунке показаны первые шаги индуктивного построения нужного множества: $X_0 = \{1, 2, 4, 5\}$, а $X_{k+1} = X_k \cup Y_k$, где множество $Y_k$ получается из $X_k$ сдигром на $2a_k$, $a_k$ — наиболее число в $X_k$. Таким образом, $a_{k+1} = 3a_k$ и $a_k = 5 \cdot 3^k$, то есть $X_k \subset \{1, 2, \dots, 5 \cdot 3^k\}$, кроме того, на каждом шаге количество чисел в нашем «хорошем» множестве удаливается, то есть $X_k$ состоит из $4 \cdot 2^k$ чисел. Докажем по индукции, что все множества $X_k$ «хорошие». Для $X_0$ это очевидно. Проверим, что среднее арифметическое двух чисел из $X_{k+1}$ не входит в $X_{k+1}$. Посольку по предположению индукции множества $X_k$, а с ним и $Y_k$, «хорошее», можно считать, что одно из этих чисел, $x$, содержится в $X_k$, а другое, $y$, — в $Y_k$. Тогда $0 < x \leqslant a_k$, $2a_k < y \leqslant 3a_k$, поэтому $a_k < (x + y)/2 \leqslant 2a_k$, но числа от $a_k + 1$ до $2a_k$ по построению не входят в $X_{k+1}$.

Остается заменить, что множество $X_9$ содержит $4 \cdot 2^9 = 2048 > 1983$ чисел, и все они не превосходят $a_9 = 5 \cdot 3^9 = 98415 < 10^5$.

А. М. Абрамов

M840. a) Докажите, что если $a, b, c$ — дианы сторон треугольника, то выполено неравенство

$$a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geqslant 0.$$

Выясните, в каких случаях оно превращается в равенство.

б) Докажите, что для любых положительных чисел $a, b, c$ выполено неравенство

$$a^3b + b^3c + c^3a \geqslant a^2bc + b^2ca + c^2ab.$$

Ясно, что равенство $(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2$ возможно ли тогда, когда векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ коллинеарны, то есть $\frac{a^3b}{c} = \frac{b^3c}{a} = \frac{c^3a}{b}$ или $a = b = c$.

Имеется и короткое прикое доказательство с помощью выделения полных квадратов:

$$a^3b + b^3c + c^3a - a^2bc - b^2ca - c^2ab = (a^3b - 2a^2bc + c^2ab) + (b^3c - 2b^2ca + a^2bc) + (c^3a - 2c^2ab + b^2ca) = ab(a-c)^2 + bc(b-a)^2 + ca(c-b)^2 \geqslant 0.$$

a) Приведем два решения.

Первое решение использует замену переменных $x + y = c$, $y + z = a$, $z + x = b$ ($x, y, z$ — это отрезки, на которые стороны треугольника разбиваются точками касания вписанной окружности). Можно проверить, что после этой замены неравенство пункта a) приводится к виду

$$xy^3 + yz^3 + zx^3 \geqslant x^2yz + y^2zx + z^2xy,$$

а это неравенство, как мы доказали выше, справедливо при любых неопределенных $x, y, z$.

При этом, чтобы не запутаться в выкладках и не вычислять всех членов разложения, можно использовать «симметричность» левой части неравенства пункта a) относительно цикли-

43

ческой замены $a \rightarrow b, b \rightarrow c, c \rightarrow a$. Ей ответает аналогичная замена $R$ переменных $x, y, z$: $x \rightarrow y, y \rightarrow z, z \rightarrow x$, поэтому одночлены, получившие после раскрытия скобок в выражении

$$a^2 b(a-b) = (y+z)^2 (z+x)(y-x),$$

полезно группировать по «типам», как это сделано на полях: к одному типу относится однолеть, получающейся друг из друга при циклической замене переменных $R$ (на полях они выписаны в одну строку; подчерким, что попарные перестановки переменных не разрешаются — они меняют многочлен!). Ясно, что два других слагаемых $b^2 c(b-c)$ и $c^2 a(c-a)$ дают другое одночлены тех же типов (их можно получить просто заменой $R$). Благодаря этому можно сразу указать, с каким коэффициентом войдут в результате одночлены каждой типа (синние цифры на полях).

В пункте 6) мы показали, что равенство (1), а значит, и в неравенстве a) достигается только при $x=y=z$, то есть при $a=b=c$ (для равностороннего треугольника).

Второе решение основано на искусной перегруппировке (и удачных переобозначениях). Найти ее горизонтальное труднее, чем в пункте 6), потому что переменные $a, b, c$ на себя раз связаны неравенством треугольника и это должно быть использовано.

Обозначим левую часть неравенства через $f(a,b,c)$. Поскольку $f(a,b,c) = f(b,c,a) = f(c,a,b)$, без ограничения общности можно доказывать неравенство $f(a,b,c) \geq 0$, считая, что $b$ — средняя по длине сторона треугольника.

Предположим сначала, что $a \leq b \leq c$. Пусть $a=b-a, c=b+y$, тогда нужно доказывать неравенство $f(b-a,b+y) \geq 0$ при $b>0, a \geq 0, y \geq 0$ и при $b+y < (b-a)+b$, то есть $b > a+y$. Несложная, но объективы выкладка показывает, что

$$f(b-a,b+y) = b a(a+y)(b-a-y) + \gamma^2 (b-a)(b+a+y).$$

При указанных значениях переменных правая часть неотрицательна и обращается в нуль только при $a=\gamma=0$, то есть $a=b=c$. Пусть теперь $a \geq b \geq c$, тогда в тех же обозначениях выражение (2) следует рассматривать при $a \leq 0, \gamma \leq 0$ и $b > -(a+y)$, но и в этом случае оно, очевидно, неотрицательно.

А. М. Абрамов, Э. А. Ясиновый

Ф847. В объемный пучок положительных цонов, имеющий круглое сечение, в точке A влетает электрон, скорость которого параллельна оси симметрицы пучка (рис. 1). Объемная плотность зарядов в пучке равна q, длина пучка l (длина пучка много больше его радиуса). При каких значениях скорости электрон он вылетит из пучка в точке B? Столковеная электрон с юнами не учитывать.

Рис. 1.

На электрон, летящий в пучке, действует электрическое поле, создаваемое наимами. Найдем, как зависит напряжение этого поля от расстояния до оси пучка.

Напряжение $\vec{E}(r)$ в точках, находящая внутри пучка достаточно далеко от его торцов на расстоянии $r$ от оси OB, можно представить как сумму

$$\vec{E}(r) = \vec{E}_1(r) + \vec{E}_2(r),$$

где $\vec{E}_1(r)$ — напряжение поля, создаваемого теми зарядами, которые находятся внутри цилиндра радиуса $r$, а $\vec{E}_2(r)$ — напряжение поля, создаваемого теми, находящая на полежтеных зарядах, а заканчивать — на отрицательных, мы приходим к выводу, что $\vec{E}_2(r) = 0$. Более того, заряды, находящиеся в цилиндра радиуса $r$, во всех точках области внутри цилиндра поля не создают.

Определим теперь напряжение $\vec{E}(r) = \vec{E}_1(r)$. Известно, что с точки зрения картины словых линей напряжения поля определяется как число словых линей, произвольных площадку единичной площади, перепределующую линям. Следовательно, если мы созем заряд цилиндра радиуса $r$ равномерно к оси цилиндра, то поля, создавемые прежним распределением зарядов и новых «сжатым» распределением, в цилиндра будут совпадать. Поэтому величины $\vec{E}_1(r)$ определяем как напряжение поля бесконечной заряженной прямой на расстоянии $r$ от нее.

Рассчитаем, какой должа быть линейная плотность заряда на прямой. Заряд, находящая после скатания на отрезке длины $\Delta l$, равен $\sigma \cdot \Delta l$, где $\sigma$ — линейная плотность заряда

44

на прямой. Этот заряд должен равнять тому заряду, который находится внутри цилиндра радиуса $r$ и высоты $\Delta l$, то есть
$$\sigma \cdot \Delta l = \varrho \cdot \Delta l \cdot \pi r^2.$$
Отсюда получаем:
$$\sigma = \varrho \pi r^2.$$
Найдем теперь напряженность поля, создаваемого бесконечной заряженной прямой с плотностью заряда $\sigma$. Выделим на прямой малый участок длины $dx$. Заряд этого участка равен $\sigma \cdot dx$.
Напряжность поля, создаваемого этим участком в точке $M$, находится на расстоянии $r$ от прямой, равна (рис. 2)
$$\Delta E = |\vec{\Delta E}| = \frac{\sigma \cdot dx}{4\varepsilon_0(x^2 + r^2)}.$$
Из сообщений симметрии ясно, что вектор $\vec{E}(r)$ должен быть в любой точке перепределкульрен прямой. Следовательно, вклад, который в поле в точке $M$ участок $dx$, равен
$$dE = \Delta E \cdot \cos \varphi = \frac{\varrho \pi r^2 \cdot dx}{4\varepsilon_0(x^2 + r^2)} \frac{r}{\sqrt{x^2 + r^2}} = \frac{\varrho r^3}{4\varepsilon_0(x^2 + r^2)^{3/2}} dx.$$
Полная напряжность поля в точке $M$ представляет собой сумму таких вкладов, внесенных всеми участками прямой, то есть
$$E(r) = \int_{-\infty}^{\infty} dE = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\varrho r^3 dx}{4\varepsilon_0(x^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\varrho r}{2\varepsilon_0}.$$
Такова напряжность поля на расстоянии $r$ от оси пучка в тех его точках, которые достаточно далеки от торцов пучка. Вблизи торцов поле «искажено». Учет этих искажений (краевых эффектов) достаточно сложен. Мы упростим задачу: будем считать, что точки $A$ и $B$ лежат внутри бесконечного длиного пучка ионов на расстоянии $l$ (вдоль оси пучка) друг от друга.
Рассмотрим движение электрона внутри бесконечного длиного пучка ионов. Сила, действующая на электрон, когда он находится на расстоянии $r$ от оси пучка, равна
$$F = \frac{e\varrho}{2\varepsilon_0} r = -\frac{|e| \varrho}{2\varepsilon_0} r$$
и направлена перепределкульро оси пучка. Ускорение электрона в этом направлении —
$$a = \frac{F}{m}, \text{ или } r'' = -\frac{|e| \varrho}{2\varepsilon_0} r.$$
Из этого уравнения следует, что движение электрона в проекции на плоскость, перепределкульрую оси пучка, представляет собой гармоничное колбация с периодом
$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{2\varepsilon_0 m}{|e| \varrho}}.$$
В направлении оси пучка скорость электрона остается постоянной и равной той скорости, которая он имел в точке $A$.
На рисунке 3 приведено несколько возможных траекторий электрона, высталшего из пучка в точке $B$. Очевидно, что время движения электрона в пучке при этом определяется условиями
$$t_1 = \frac{T}{4}, t_2 = \frac{T}{4} + \frac{T}{2} = \frac{3T}{4}, t_3 = \frac{3T}{4} + \frac{T}{2} = \frac{5T}{4} \text{ и т. д.},$$
или, в общем виде,
$$t_n = (2n - 1) \frac{T}{4} \quad (n \in \mathbf{N}).$$
С другой стороны, $t_n = l/v_n$. Так что возможность значения скорости электрона определяется условиями
$$v_n = \frac{l}{t_n} = \frac{4l}{(2n - 1)T} = \frac{4l \sqrt{|e| \varrho}}{(2n - 1)2\pi \sqrt{2\varepsilon_0 m}} =$$
$$= \frac{2l}{\pi(2n - 1)} \sqrt{\frac{|e| \varrho}{2\varepsilon_0 m}} \quad (n \in \mathbf{N}).$$
О. В. Фатьянов

45

Ф848. По главному горизонтальному круговому железному длины l катается шарик. Скорость шарика известна с точностью $\varepsilon = \pm 5\%$. При каких значениях v можно точно утверждать, что через время t после того, как шарик находится в точке A (см. рисунок), его нет в точке B?

Так как скорость шарика известна с точностью $\varepsilon$, то для любого момента времени можно указать не точку, а некоторый участок на окружности, внутри которого находится шарик. Передняя граница этого участка движется со скоростью $v + \varepsilon v = v(1 + \varepsilon)$, а задняя — со скоростью $v(1 - \varepsilon)$. Спустя время t после того, как шарик был в точке A,лина участка будет 2vet. Тот факт, что шарика в данной момент нет в точке B, означает, что точка B не попадает внутри этого участка, то есть (см. рисунок).

$$2v\varepsilon - \frac{3l}{4} < v(1 + \varepsilon)\tau - nl < \frac{l}{4},$$

где $n$ — число полных оборотов шарика по окружности за время т. Отсюда находится $l$. Отсюда находится шарик, «расползается» со скоростью 2ev. Поэтому через время $t = l/2ev$ (когда участок будет всегда окружность) положение шарика определять невозможно. За это время шарик сделает $n = vt/l = 1/2\varepsilon$ полных оборотов. Так что задача имеет смысл при $n < \frac{1}{2\varepsilon} = \frac{1}{2(1/20)} = 10$.

Ответ:

$$\frac{l\left(n - \frac{3}{4}\right)}{(1 - \varepsilon)\tau} < v < \frac{l\left(n + \frac{1}{4}\right)}{(1 + \varepsilon)\tau},$$ где $n = 1, 2, \dots, 9$.

Е. И. Рабкин

Ф849. Сухой термометр находится в комнате писхометра показывает температуру $t_1 = 18^\circ C$, а влажный — $t_2 = t - \Delta t = 15^\circ C$. Не пользоваться таблицей, определяйте относительную влажность воздуха в комнате. Давление насыщенного воздуха пара при указанных температурах равно, соответственно, $p_1 = 15,5$ мм рт. ст. и $p_2 = 12,8$ мм рт. ст. Молярная температура испарения воды — $L = 4,07 \cdot 10^4$ Дж/моль; темпераность воздуха равна $c = 20,8$ Дж/(моль・ град) (при постоянном объеме).

Обозначим парциальное давление паров в комнате $p_n$; тогда исключаем относительная влажность —

$$\varphi = \frac{p_n}{p_1} 100\%.$$

Для нахождения $p_n$ воспользуемся законом сохранения энергии. Выделим мысленно в комнате объем $V_1$, содержащий заданную массу сухого воздуха $M$ и некоторое количество пара $m_1$, и перемещим его к влажному термометру. Там объем, содержащий столько же сухого воздуха, обозначаем $V_2$, а количество пара в этом объеме — $m_2$. Плотность воздуха в комнате практически повышу одна и та же, так что такое перемещение не требуется совершения работы какими-либо силами, кроме сил давления воздуха, а их работу мы учет.

Работа сил давления —

$$A = p(V_1 - V_2).$$

Воздух охлаждения от температуры $T_1$ до температуры $T_2$, и его внутренняя энергия уменьшается на

$$\Delta U = cv \cdot \Delta T = c \frac{M}{\mu_B} \cdot \Delta T.$$

Уменьшением внутренней энергии пара при охлаждении явно можно пребежать по сравнению с этой величины, так как при этих температуре пара в воздухе мал ($p_n \ll p$).

При испарении «неодостаточной» воды поглощается тепло

$$\Delta Q = L \frac{m_2 - m_1}{\mu_n}.$$

Запишем баланс энергии:

$$p(V_1 - V_2) + c \frac{M}{\mu_B} \cdot \Delta T = L \frac{m_2 - m_1}{\mu_n}.$$ (*)

Воспользовавшись уравнением Менделеева — Клапейрона, найдем:

$$V_1 = \frac{MRT_1}{(p - p_n)\mu_B} + \frac{m_1RT_1}{p_n\mu_n}, \quad m_1 = M \frac{p_n}{p} \frac{\mu_n}{\mu_B},$$

$$V_2 = \frac{MR(T_1 - \Delta T)}{(p - p_2)\mu_B} + \frac{m_2R(T_1 - \Delta T)}{p_2\mu_n}, \quad m_2 = M \frac{p_2}{p} \frac{\mu_n}{\mu_B}.$$

Учитывая эти соответствия и пребеггая при вычислениях малим

46

членом порядка $\frac{\Delta T}{T} \frac{p_2}{p}$, получим:

$$V_1 - V_2 = \frac{MR}{p\mu_B} \left( \frac{T_1}{p} \left( p_n - p_2 \right) + \Delta T \right).$$

Подставив это выражение в (*) с учетом того, что $\mu_n = \frac{m_2}{Mp_2} p\mu_B$, после упрощенной получим:

$$p_n = p_2 - p \cdot \Delta T \cdot \frac{R + c}{RT_1 + L}.$$

Таким образом, относительная влажность воздуха равна

$$\varphi = \frac{p_n}{p_1} 100\% = \left( \frac{p_2}{p_1} - \frac{p \cdot \Delta T}{p_1} \frac{R + c}{RT_1 + L} \right) 100\%.$$

Подставляя числовые данные, находим:

$$\varphi \approx 73\%.$$

И. С. Солодовников

Ф850. На рисунке показана экспериментальное полученная зависимость силы урудости пружины от ее длины. Найти перiod малых колебаний груза массы $m = 60$ г, подвешенное вертикально на этой пружине в поле тяжесте.

Graph of gravitational force vs time

$$F_{ynp} H$$

При смешении из положения равновесия на $\Delta x$ (см. рисунок) на груз действует возврашающая сила

$$F(\Delta x) = F_{ynp}(x_0 + \Delta x) - mg = F_{ynp}(x_0 + \Delta x) - F_{ynp}(x_0).$$

При малых $\Delta x$ с хорошей точностью

$$F_{ynp}(x_0 + \Delta x) - F_{ynp}(x_0) = F'_{ynp}(x_0) \cdot \Delta x = k(x_0) \cdot \Delta x,$$

где $k(x_0)$ — жесткость пружины, когда ее длина равна $x_0$. Геометрические этому приближению соответствует замена участика кривой $F_{ynp}(x)$ прямой линии, то есть касательной, проведенной в точке $F_{ynp}(x_0)$. Тангенс угла наклона этой касательной к оси $x$ равен $k(x_0)$. Поэтому малых колебаний груза равен

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k(x_0)}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{tg a}}.$$

Из графика находим $tg a$:

$$tg a \approx \frac{0,2}{0,01} = 20.$$

Таким образом,

$$T = 2 \cdot 3,4 \sqrt{\frac{60 \cdot 10^{-3}}{20}} \approx 3,4 c.$$

В. И. Комов

Ф851. Найти силу взаимодействия двух непроводящих половинок шара радиуса $R$, каждая из которых равномерно заряжена по объему с плотностью $\rho_1$ и $\rho_2$ соответствующего. Дизлектрическую пропищемость материала шара считать равной единице.

Сначала докажем тот факт, что сила взаимодействия заряженных половинок шара пропорциональна произведению плотностей зарядов, то есть $F \sim \rho_1 \rho_2$.

Мысленно зафиксируем заряд первого половинки, а заряд второго изменим, например в 2 раза. На вторую половинку действует поле первой, а также собственное поле второго половинки, но суммарное действие этого второго поля равно нулю. Так как $\rho_2$ изменилось в два раза, то и слия, действующая на вторую половинку со стороны поля первой, изменилась в два раза — ведь в каждой точке $f = \rho E \cdot dv$ ($E$ — напряжение поля первой половинки в данной точке, $\rho \cdot dv$ — заряд элементарного объема около точки), то есть сила пропорциональна $\rho_1$. Аналогично, зафиксировав $\rho_2$ и меняя $\rho_1$, найдем, что сила пропорциональна $\rho_1$. Значит,