Работа, энергия и архимедова сила

27

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «Работа, энергия и архимедова сила» предназначена восмилклассикам, «Электрическое и магнитное поля» — девятиклассикам и «Заряд атомного ядра и периодическая система элементов Менделеева» — десятиклассикам.
Материалы подготовили И. К. Белкин.

Работа, энергия и архимедова сила

Работа силы, с которой одно тело действует на другое, равна, как известно, изменению потенциальной энергии взаимодействия этих тел, взятому с противоположным знаком («Физика 8», §57):

$$A = -\Delta E_p.$$

Если, например, тело массы $M$ падает в вакууме с высоты $h_1$ до высоты $h_2$ ($h_1$ и $h_2$ отсутствуют от произвольного выбранного нулевого уровня, как показано на рисунке), то сила тяжесте совершает работу, равную произведению проекции $Mg$ этой силы на направление перемещения на модель перемещения $h_1 - h_2$:

$$A = Mg(h_1 - h_2).$$

(1)

Это равенство можно записать и так:

$$A = Mgh_1 - Mgh_2 = -(Mgh_2 - Mgh_1) = -\Delta E_p,$$

то есть работа равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

Теперь допустим, что падение этого же тела происходит в некоторой жидкости (см. рисунок). Присутствие жидкости, конечно, не изменит массы тела, ни ускорения свободного падения, ни, следовательно, силы тяжесте, действующей на тело. Но когда тело займет новое положение на высоте $h_2$, оно вытеchtит находившуюся там жидкость, которая перемещается в верху, на высоту $h_1$, и затем место, освобождаенное телом. Тело и жидкость в объеме тела как бы помещаются местами. При этом по-

тенциальная энергия тела уменьшится на величины $\Delta E_p = (Mgh_2 - Mgh_1)$, а потенциальная энергия жидкости увеличится на величины $\Delta E_p = (mgh_1 - mgh_2)$, где $m$ — масса жидкости в объеме, равном объему тела. Общее изменение потенциальной энергии $\Delta E_p$ будет равно сумме $\Delta E_p$ и $\Delta E_p$, поэтому получим

$$A = -\Delta E_p = -((Mgh_2 - Mgh_1) + (mgh_1 - mgh_2)) = (Mg - mg)(h_1 - h_2).$$

(2)

Сравним равенства (2) и (1), мы видим, что во втором случае на тело кроме силы $Mg$, направленной вниз, действует еще сила $-m\vec{g}$, направленная вверх. Но $mg$ — это модель силы тяжесте, действующего на жидкость, вытеchnenyю телом (и равной ее весу). Следовательно, сила $-m\vec{g}$ и есть архимедова сила. Утверждение о том, что такая сила существенно изменяется в физике как закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, со стороны окружающей жидкости действует вытalkивающий силы, равная весу жидкости в объеме, вытеchnenyю телом.

Формулу (2) можно переписать в другом виде. Обозначим объем тела через $V$, плотность тела через $\rho_T$ и плотность жидкости через $\rho_{ж}$. Тогда масса тела $M = \rho_{ж}V$, масса жидкости в объеме $V$ равна $m = \rho_{ж}V$ и

$$A = (\rho_{ж}Vg - \rho_{ж}Vg)(h_1 - h_2) = (\rho_{ж} - \rho_{ж})Vg(h_1 - h_2).$$

(3)

Величина $\rho_{ж}Vg$ и представляется собой модель архимедовой силы.

Из формулы (3) видно, что если плотность $\rho_{ж}$ тела больше плотности $\rho_{ж}$ жидкости, то результатирующая сила, действующая на тело, направлена вниз, и тело тонет. Если, наоборот, плотность тела меньше плотности жидкости, результатирующая сила направлена вверх.