Электрическое и магнитное поля

28

вверх, и тело всплывает. Когда вес жидкости в объеме погруженной части тела становится силье тяжесте тела, наступит равновесие. Наконец, если плотности тела и жидкости равны друг другу, тело оказывается в равновесии, будучи полностью погруженным в жидкость.

Рассуждания, которые приведены нас к выводу о существовании архимедовой силы (и закона Архимеда), справедливы как для жидкости, так и для газа. Позному законом Архимеда лежит в основе теории плавания не только кораблей на воде, но и воздушных кораблей — азростатов, дрижаблей и т. п. с той только разницей, что воздушный корабль не может быть погружен в газ частино.

В учебнике «Физика 8» указывается, что в механике прихождения иметь дело с темя видами сил — упругости, треня и тяготения. К какому же виду нужно отнести силу Архимеда? Или это, может быть, особый, четверый вид сил? Нет, по природае своей архимедова сила — это результат упругого взаимодействия тела и жидкости (или газа), то есть ее следует считать силой упругости, возникающей вследствие скатания жидкости (или газа).

Отметим в заключение, что закон Архимеда, при всей его исторической важности, нельзя считать одним из основных, фундаментальных законов природы. В действительности, это прикое следствие более общего закона — закона Паскала. Как мы только что видели, он может считаться также следствием закона сохранения энергии.

Электрическое и магнитное поля

Вокруг всякого покоящегося в некоторой системе отчета электрического заряда $q$ существенно, электростатическое поле. Если этот заряд точный, то направенно поля в любой точке на расстоянии $r$ от него определяется формулой:

$$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}.$$

Сила взаимодействия двух покоящихся точных зарядов $q$ и $q'$, находящихся на расстоянии $r$ друг от друга, равна

$$F_{\text{эл}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qq'}{r^2}.$$

Если заряды одинаковые ($q=q'$), то

$$F_{\text{эл}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}.$$

Это хорошо известный закон Кулона. Подчеркием, что этот закон был установлен экспериментально. Входящая в формулы (1), (2) величины $\epsilon_0$ — это электрическая постоянная, равная $8,85 \cdot 10^{-12} \text{KJ}^2 / (\text{H} \cdot \text{m}^2)$.

Обсудим теперь ситуацию с зарядом, движущимся с постоянной скоростью $\vec{v}$. Скорость $\vec{v}$ мы измеряем относительно заранее выбранной системы отчета, которое мы условиям не подвижной и обозначим буквой $K$.

Движущийся заряд — это электрический ток, а вокруг ток существенно магнитное поле. Значит, движение заряда приводит к появлению магнитного поля в рассматриваемой нами системе отчета $K$.

Обратите внимание на то, что если бы мы перешли в системе отчета $K'$, движущуюся относительно системы $K$ со скоростью, равной скорости заряда $\vec{v}$, никакого магнитного поля в этой системе не было бы (помещенная там магнитная стрелка (компас) оставалась бы в покое).

Вернемся, однако, снова в системе $K$. Из опыта мы знаем, что магнитное поле действует на электрический ток, а значит, и на движущийся заряд. Понятно, что между электрическими и магнитными явлениями должны существовать тесяная связь.

Рассмотрим простой пример. Пусть заряд $q$ движется со скоростью $\vec{v}$ (в системе $K$). Тогда в пространстве вокруг него есть и электрическое, и магнитное поля. Пусть теперь в какой-то точке, где электрическое и магнитное поля создают зарядом $q$, оказался друг заряд $q'$, который движется со скоростью $\vec{v}$. Очевидно, что на него будут действовать электрические и магнитные силы. Аналогичное утверждение можно сделать и про заряд $q$.

Если заряды движутся со скоростью не слищком большими (что такое «не слищком большие», выяснить ниже), то их электрические поля в каждой момент времени практические не отличются от случая покоящихся зарядов, а сили электрического взаимодействия зарядов можно подчитывать по закону Кулона (2).

29

Мы ограничимся дальнейше служем не очень быстро движущихся зарядов. В этом случае можно довольно просто сравнить магнитные и электрические силы. Мы сделаем это для двух зарядов, скорости которых в некоторый момент оказывается параллельными друг другу и перpendикулярными к линии, соединяющей эти заряды (рис. 1).

Прежде всего нам нужно понять, как индукция магнитного поля $\vec{B}$, создаваемого движущимся зарядом, связана с величины этого заряда $q$ и его скоростью $\vec{v}$. Проведем из точки, где находится заряд $q$, в точку, в которой мы хотим вычислить индукцию $\vec{B}$, радиус вектор $\vec{r}$. Обобщение результатов опытов показывает, что величина индукции определяется формулой

$$B = kq \frac{v}{r^2} \sin \varphi. \tag{3}$$

Здесь $r = |\vec{r}|$, $\varphi$ — угол между векторами $\vec{v}$ и $\vec{r}$, а $k$ — постоянная, определяемая опытным путем и равная $10^{-7} \text{H} \cdot \text{c}^2 / \text{KJ}^2$. Для интересующего нас служая $\varphi = 90^\circ$ и

$$B = kv \frac{q}{r^2}. \tag{3'}$$

Направление вектора $\vec{B}$ определяется по правилам буравчика (правого вината): если вращать вектор $\vec{v}$ по направлению к вектору $\vec{r}$ в той плоскости, в которой они оба лежат, и так, чтобы вращение проискдило в направлении минимального угла между $\vec{v}$ и $\vec{r}$, то вектор $\vec{B}$ направлен perpendикулярно указанной плоскости и «смотрит» туда, куда «смотрел бы» ввичиваемый буравчик (рис. 2).

В формулы (3) и (3’) входит в качестве множителя то же отношение $q/r^2$, которое содержится и в выражении для направленности электрического поля, создаваемого зарядом $q$ в точке, где находится заряд $q'$. Это замечание позволяет установить связь между величины $B$ и $E$. Учитывая (1), получаем

$$\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} = c^2 \tag{7}$$

и

$$\frac{F_{\text{магн}}}{F_{\text{эл}}} = \left( \frac{v}{c} \right)^2. \tag{8}$$

Это очень важные формулы. Формула (7) еще раз подтверждает существование глубокой связи электрических и магнитных явлений. Из формулы (8) мы можем сделать вывод, что относие-

30

ниме магнитных и электрических сил для многохратических интерсных случая оказывается малой величины. Например, обычно направленная скорость электров в металле при прохождения тока составляет десять доли миллиметра в секунду. В таких случаях магнитное взаимодействие электров примерно в $10^{24}$ раз меньше их электрического взаимодействия. Стоит ли вообще считаться с магнитным взаимодействием движущихся зарядов? Оказывается, стоит и вот почему. Во всяком проводнике имеются в равном числе зарядные частицы обихх знаков. Поэтому проводники с током электрического практических нейтральных. Электрические силы в проводниках с огромной точностью скопперсированы, а при их отсутствии даже очень малые магнитные силы оказывают существенные. В электрических моторах движущиеся в их обмотках электров взаимодействуют именно магнитными силами. Именно за счет магнитных сил приводятся в движение двигателя.

Вспомним теперь, что в наших расчетениях мы сделали допущение о «не слишком больших скоростях». Тервер можно сказать, что мы имели ввиду малость скоростей частиц по сравнению со скоростью света. Это было нужно нам для того, чтобы не возникло необходимости ползоваться более сложными (релятивистскими) формулами. Например, при скорости заряженных частиц, близких к скорости света, уже нельзя записьать формулу для направленности электрического поля в виде (1).

Так же, как и другие физические величины, например, скорости иускорения частиц, силы, действующие на них, направленность электрического поля и индукция магнитного поля зависит от того, в какой системе отчета мы их рассматриваем (измерем). Выше мы уже говорили, например, о том, что если магнитное поле существует в системе $K$, то из этого еще не следует, что оно сохранится в системе $K'$. Система $K'$, которое мы рассматривали, дивгалась со скоростью, равной скорости $\vec{v}$ интерсовавшего нас заряда. И магнитное поле в системе $K'$ отсутствовало. В общем случае и вектор $\vec{E}$, и вектор $\vec{B}$ относительно, то есть зависит от того, в какой системе отчета находится наблюдатель с приборами, измеряющими эти величины.

Для нас существует то, что при скорости, малых по сравнению со скоростью света, электрическое поле изменяется мало. Количество характеристикой этой малости как раз и служит относение $(v/c)^2$.

Заметим, впрочем, что формула (8) оказывается справедливой и при скорости, близких к скорости света. Поэтому для релятивистских частиц, движущихся со скоростью, лишь немного меньше скорости света, величины магнитных и электрических сил могут отличаться не очень сильно.

Подводя итог нашим вычислениям, еще раз подвергнем, что для многохратических интерсных случая оказывается существенное существенное значение магнитных сил.

Остановимся совсем кратко на других отличных магнитного и электрического (электростатического) полей. Однако из этих отличий состоит в том, что линнией действия электрических сил (силовые линни электростастического поля) имеют начало и конец. Они начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных. Работа при перемещении заряда между двумя фиксированными точками в электрическом поле не зависит от формы и длины траектории, а работа, совершаемая при движении заряда по замкнутой траектории, равна нулю. Благодаря этому свойству электристического поля каждая его точка характеризуется не только направлением, но и потенциалом.

Линни же магнитной индекции, в отличие от силовых линей электрического поля, не имеют начала и конца. Они замкнуты и охватывают ток. Каждый точка магнитного поля характеризуется величиной магнитной индекции, но не потенциалом.

Сила, действующая на заряд в электрическом поле, всегда направлена по касательной к силовым линям. Если рассматривать в магнитном поле участки проводников с током или движущиеся заряженные частицы, то силы, действующие на них, направлены не по касательной к линям индекции, а перpendикулярно к ним (сила Лоренца, закон Ампера). Сила в магнитном поле может вовсе не вызвать поступательного движения, а лишь поворот (рамка с током в однородном магнитном поле; движение заряда по окружности в плоскости, перpendикулярной однородному магнитному полю).