Из писем читателей

Квант 1984, №3 с. 47-48 Тег OXBZ

$F \sim \varrho_1 \varrho_2 = \frac{\varrho_2}{\varrho_1} \varrho_1 \varrho_2 = \frac{\varrho_1}{\varrho_2} \varrho_2.$

Из полученного соотношения видно, что для нахождения силы взаимодействия двух половинок с разными плотностями зарядов можно найти силу взаимодействия двух одинаковых половинок с одинаковой плотностью зарядов $\varrho_1$ (или $\varrho_2$ ), а затем умножить найденное значение на $k = \frac{\varrho_2}{\varrho_1}$ ( $\ln \frac{1}{k} = \frac{\varrho_1}{\varrho_2}$ ).

Итак, найдем силу, действующую на полушарие с плотностью заряда $\varrho_1$ со стороны полушария с такой же плотностью заряда. Разобъем полушарие на множество слоев таких тонких, что их можно считать полусферами. В каждой точке полусферы направность электрического поля равна

$E = \frac{4}{3} \pi r^3 \varrho_1 \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{1}{3 \varepsilon_0} \varrho_1 r,$

где $r$ — радиус полусферы. Вертикальная проекция силы $\Delta f$ , действующей на элемент поверхности полусферы, площадь которого равна $ds$ , равна (см. рисунок)

$df = E \varrho_1 \cdot ds \cdot dr \cdot \cos \alpha = \frac{\varrho_1^2 r}{3 \varepsilon_0} ds' \cdot dr,$

где $dr$ — толщина сферического слоя, $ds'$ — площадь проекции элемента $ds$ на горизонтальном плоскости. Очевидно, что вертикальная проекция силы, действующей на всю полусферу, пропорциональная площади проекции полусферы на горизонтальном плоскость, то есть

$f = \frac{\varrho_1^2 r}{3 \varepsilon_0} \pi r^2 dr.$

Горизонтальная же проекция силы, действующей на полусферу, равна нулю.

Таким образом, сила взаимодействия двух половин с одинаковой плотностью заряда равна

$F = \int_0^R \frac{\varrho_1^2 r^3}{3 \varepsilon_0} dr = \frac{\varrho_1^2 R^4}{12 \varepsilon_0}.$

А чтобы найти силу взаимодействия двух половин с плотностью заряда $\varrho_1$ и $\varrho_2$ , надо полученное выражение умножить на $k = \frac{\varrho_2}{\varrho_1}$ :

$F' = \frac{\varrho_2}{\varrho_1} \frac{\varrho_1^2 R^4}{12 \varepsilon_0} = \frac{\pi R^4}{12 \varepsilon_0} \varrho_1 \varrho_2.$

И. В. Гребнец

Из рисем читателей

Постоянные читатели «Кванта» модели заметить изменение в традициях «Заданника Кванта», проследшее за последний год. Решения большинства задачи публикуются теперь все еще лишь через три месяца после условия. (Решения остальных задачи, как правило, входят в небольшие заметки, публикуемые в рамках «Заданника».) Это сокращение разрыва в публикации задачи и их решения положительно оценено многим школьникам и учителями, но заменительно решение задачи M765 о триангляции, совершенное отличное от авторского, предложил М. Концевич (Москва). В этой задаче требовалось доказать, что для любого конечного множества точек $B$ плоскости (не принадлежих одной прямой) можно построить систему треугольников — триангуляцию (с вершинами во всех точках $B$ и только в них), обладающего следующим свойством: описанная окружность каждого из них треугольников не содержит внутрени себя точек $B$ , причем для множества точек $B$ общего положения (когда никакие четырьмя из них не принадлежат одной окружности) такая триангуляция единственная.

Спроектируем нашу плоскость на сферу, касающейся ее в точке $T$ из диаметрально противоположной $T$ точки $C$ . Начнем на полученное из $B$ множество точек сферы $B'$ (и точку $C$ ) «резиновую ленку» — возьмем их выпуклу оболочку. Получится выпуклый многогранник с треугольными (в общем случае) грамиями, причем плоскость каждой грани пересечет сферу по описанной вектор грани окружности, и все вершины многогранника будут лежать по одному сторону от плоскости окружности

оно не позволяет редакции журнала читать при необходимости решений все письма читателей, касающиеся «Задания». Наболее интересные открытки читателей, дополнительные уже опубликованные решения, побудили нас вернуть к некоторых задачи. Мы надеемся сделать такой обзор одной из традиций «Задания». В этом номере речь по математике.

(это и есть условия выпуклости многограничка!). Спроектировав ребра многограничка обратно на плоскость, получим требуемую трианглусаю.

Здесь мы используем следующое свойство stereografической проекции (то есть проекции сферы из ее точки на плоскость, касающейся ее в диаметрально противоположной точке): любая не проходящая чертеzentри проекции окружность на сфере переходит в окружность на плоскости (см., например, «Квант», 1978, № 12, с. 51). Читатель, немного знакомые с четырехмерной геометрией, легко сообщает, как тем же способом решается пространственный вариант задачи M765.

Автор задачи M748 А. Кузьминых и неокотые другие читательы обратили внимание на неточности в изображении решений этой задачи. Приведем краткое решение, в котором более четко выделена основная идея. Речь идет о таком утверждении (пункт 6) задачи): если несколько конусов в пространстве попарно не пересекаются, то их нельзя переведить так, чтобы они покрыли все пространство. (Здесь конус — тело, полученное врашением угла, меньшего развернутього, вокруг биссеррицы.) Идея решения — рассмотреть множество всех направлений в пространстве. Будем каждому направлению сопоставлять луч с началом в фиксированной точке O. Еще лучше: возьмем сферу (скажем, радиуса 1) с центром в точке O — каждой ее точки M отвечает определение направление OM в пространстве. Каждый конус K отвеяет «шапочка» на сфере — пересечение сферы с конусом K₀, полученным из K параллельным пересном вершины в точку O; при этом для любой точки M внутри K₀ лучше направления OM пересекает конус K по некоторому лучу, а для точки M вне K₀ — на более чем по отрезку (быть может, вовсе не пересекает K); чтобы убедиться в этом, полезно проектировать плоскость через луч OM и вершину конуса K. Если два конуса в пространстве не пересекаются, то соответствующие им шапочки на сфере направления также не могут иметь общих внутренних точек: для такой точки M луч OM должен был бы пересекаться с каждой из двух конусов по лучу, то есть конусы должны были бы иметь общий луч. Таким образом, шапочки для данных в условиях конусов в сумме имеют площадь, меньше площади сферы, поэтому как бы мы ни дивали конуса, шапочки не смогут покрыть сферу. Но для любой непокрытой или точки M луч OM пересекается с каждой из (переведенных) конусов не более чем по отрезку, так что конусы не покрыют пространство.

Наш читатель из Болгарии Иван Топов (София) получил окончательный результат, связанный с таким вопросом: при каких натуральных n>1 можно 2n точек, делящих окружность на 2n равных дуг, соединить попарно n хордами различной длины? В решении задачи M789 («Квант», 1983, № 5, с. 46) из сообщений четырехности было выведено, что при n=4m+2 и n=4m+3 это сделать нельзя, и высказываясь гипотеза, что при других n — можно; это и доказал И. Топов. Вот его построение. Для n=4m занумерем все 2n=8m точек по порядку (скажем, по часовой стрелке) чисlamи от 1 до 4m:

$4m, 4m-2, 4m-4, ..., 4, 2; \quad 4m-1; \quad 2, 4, ..., 4m-2, 4m;$

$4m-3, 4m-5, ..., 2m+3;$

$2m-1, ..., 5, 3; \quad 2m+1; \quad 4m-1; \quad 3, 5, ..., 2m-1; \quad 1; \quad 1;$

$2m+3, ..., 4m-3; \quad 2m+1.$

Тогда каждый номер k≤4m будет приписан двум точкам, между которых (по более короткой дуг окружности) стоитровно k-1 точек. Аналогичным образом, для n=4m+1 годится нумерация; 4m-2, 4m-4, …, 6, 2; 4m; 2, 4, …, 4m-2; 2m+1; 4m+1, 4m-1, …, 2m+3; 2m-1, …, 5, 3; 2m+1; 3, 5, 2m-1; 1, 1; 2m+3, …, 4m-1, 4m+1. (См. рисунки для m=3.)