Bài toán M876—M880; F888—F892

44

Bài toán

M876—M880; F888—F892

M876. Trên đường tròn tiếp xúc với các cạnh của góc có đỉnh O chọn hai điểm đối xứng đường kính A và B (khác với các điểm tiếp tuyến). Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B cắt các cạnh của góc tại các điểm C và D và đường thẳng OA tại điểm E (Hình 1). Chứng minh rằng độ dài các đoạn BC và DE bằng nhau.

A. S. Merkuryev

M877. Từ một tờ giấy ca rô có kích thước 29 × 29 ô vuông, 99 ô vuông có kích thước 2 × 2 đã được cắt ra. Chứng minh rằng bạn có thể cắt một hình vuông khác từ nó.

S. V. Fomin

M878. Chứng minh rằng nếu tổng các góc phẳng tại đỉnh của một paramid lớn hơn 180° thì mỗi cạnh bên của paramid nhỏ hơn nửa chu vi đáy của nó.

Yu. I. Ionin, A. V. Smirnov

M879. Với 5 số nguyên a, b, c, d, e, tổng a+b+c+d+e và a2+b2+c2+d2+e2 đều chia hết cho một số lẻ p. Chứng minh rằng số a⁵+b⁵+c⁵+d⁵+e⁵ - 5abcde cũng chia hết cho p.

S. V. Fomin

M880*. Trong dãy 1, 0, 1, 0, 1, 0,… mỗi số hạng bắt đầu từ chữ số thứ bảy, bằng chữ số cuối cùng của tổng sáu chữ số trước đó. Chứng minh rằng dãy số này không chứa sáu số liên tiếp…., 0, 1, 0, 1, 0, 1,….

A. S. Merkuryev

F888. Hình 2 thể hiện sơ đồ nguyên lý của trọng lực kế - một thiết bị đo gia tốc Varnatzian khi rơi tự do g. Trong bình chứa khí dẫn nhiệt 1 và 2 áp suất lần lượt là p₁≈2·10⁴Pa và p₂≈3·10⁴Pa. Các bình hình trụ A và B có bán kính 10 cm và một ống nối chúng được đổ đầy rue. Một chất lỏng rất nhẹ (toluene) được đổ lên trên thủy ngân; chất lỏng này đổ đầy các bình A và B bằng bình 1 và 2. Hãy mô tả quá trình đo gia tốc Varnatzian g bằng thiết bị này. Độ lớn của Varnatse g có thể được đăng ký là bao nhiêu?

45

Còn máy đo trọng lực này thì sao, nếu biết rằng với sự thay đổi ở các điểm khác nhau, sự thay đổi độ chênh lệch chuyển vị ngang chỉ trong mao mạch có thể đạt tới vài mm (lên đến 1 cm)? Nhiệt độ được giữ không đổi trong quá trình thay đổi; mật độ thủy ngân $\rho = 13,5 \times 10^3$ kg/m$^3$.

Yu. M. Brook

F889. Mặt trời ở độ cao góc f so với đường chân trời. Một vật phải được ném ở góc nào so với bề mặt Trái đất trong một mặt phẳng thẳng đứng đi qua Mặt trời để vật đó di chuyển trên con đường dài nhất dọc theo Trái đất?

V. A. Nakhshin

F890. Các tinh thể sắt ở nhiệt độ lên tới 910 °C bao gồm các phần tử tế bào có hình lập phương với chiều dài cạnh $a_1 = 2,87 \cdot 10^{-10}$ m. Các nguyên tử sắt nằm ở các đỉnh của khối lập phương và ở tâm của nó (Hình 3). Loại nguyên tố này - có mạng lập phương tâm khối - được gọi là sắt alpha ($Fe_a$). Ở nhiệt độ trên 910 °C, tế bào sắt Kristalliza là một khối lập phương đặt chính giữa mặt với chiều dài cạnh $a_2 = 3,63 \cdot 10^{-10}$ m. Các nguyên tử nằm ở các đỉnh của khối lập phương và ở tâm các mặt của nó (Hình 4). Loại nguyên tố này được gọi là sắt gamma ($Fe_\gamma$). Tuy nhiên, mật độ sắt ở những trạng thái này là bao nhiêu? Khối lượng nguyên tử tương đối của sắt là $\mu = 55,847$.

I. M. Nizamov

F891. Điện tích của một quả cầu dẫn điện sẽ thay đổi như thế nào nếu nó bị lõm vào?

R. L. Enfidjyan

F892. Một tia sáng hướng dọc theo bán kính rơi vào một quả cầu thủy tinh có bán kính $R$. Ở khoảng cách $r$ tính từ tâm quả bóng, ánh sáng bị phân tán đều theo mọi hướng bởi một bong bóng khí nhỏ hình thành trong quá trình hình thành quả bóng. Xác định sự phụ thuộc của phần ánh sáng phát ra từ quả bóng vào $r$. Xếp chồng chỉ số khúc xạ $n$. Bỏ qua sự mất mát ánh sáng trong thủy tinh.

A. A. LanUDEC

Problems

M876—M880; P888—P892

M876. Các điểm đối xứng đường kính $A$ và $B$ được chọn trên đường tròn tiếp xúc với các cạnh của một góc có đỉnh $O$ (cả $A$ và $B$ đều không phải là điểm tiếp tuyến). Tiếp tuyến của đường tròn tại $B$ cắt các cạnh của góc tại các điểm $C$ và $D$ và đường thẳng $OA$ tại $E$. Chứng minh rằng các đoạn $BC$ và $DE$ có độ dài bằng nhau (xem hình Hình 1).

A. S. Merkuriev