năm bộ

15

Quy tắc của trò chơi

Địa điểm chơi quần vợt là một khu vực bằng phẳng (sân) có kích thước xác định (Hình 1) có đánh dấu các đường kẻ và chia đôi bằng lưới.*)

Bóng được một trong hai thủ môn **) đưa vào cuộc - cú đánh này được gọi là giao bóng. Giao bóng theo đường chéo: đàn ở vị trí giao bóng đầu tiên đi vào ô giao bóng đầu tiên của đối phương, đàn ở vị trí giao bóng thứ hai – ở ô giao bóng thứ hai. Subchacha được thực hiện luân phiên từ mỗi vị trí. Bóng được đưa vào cuộc bằng cách đánh vào vợt phải bay qua lưới và chạm sân trong phạm vi ô giao bóng tương ứng của đối phương (xem Hình 1). Nếu quả giao bóng đầu tiên ở một sân nhất định không chính xác, người chơi phải lặp lại ở sân đó. Sau lần giao bóng sai thứ hai, điểm được coi là âm đối với người giao bóng.

Bóng được giao phải được trả lại bằng vợt của người nhận bóng sau lần đầu tiên nhưng trước khi bóng chạm đất lần thứ hai. Sau khi nhận giao bóng (trong một điểm), bóng không chỉ được phép trả lại giữa lần chạm bóng đầu tiên và lần chạm bóng thứ hai mà còn được phép “vô lê” (trước khi chạm bóng). Điểm được thực hiện khi mỗi đối thủ lần lượt làm chệch hướng quả bóng nhắm vào mình và không để đối phương tiếp đất nhiều lần. Bóng ở trong người chơi; một trong hai đối thủ sẽ không thể đánh bóng trước lần chạm bóng thứ hai hoặc sẽ đưa bóng ra khỏi lưới hoặc ra ngoài biên; sau đó anh ta phản công quả bóng này.

Một cuộc họp quần vợt được chia thành các bộ (trò chơi), các bộ thành trò chơi (trò chơi), trò chơi được hình thành bằng cách chơi từng quả bóng (điểm). Trong một trận đấu, trò chơi được diễn ra cho đến khi một bên giành được ít nhất bốn bàn thắng (điểm), với điều kiện bên này đã ghi được ít nhất hai bàn thắng.

Tính điểm trong trò chơi có một tính năng đã được bảo tồn từ thời điểm trò chơi được phát triển vì mục đích “sở thích”. Ở Pháp, giá của trò chơi là một đồng xu 60 xu: nó được đặt ở 4 trên 15 xu. Rõ ràng, những điều sau này phải trả bằng bốn cú đánh: 15, 30, 45, 60. Đúng vậy, vào thế kỷ 20, các thẩm phán trở nên ngắn gọn hơn, hét lên “bốn mươi” cùng với “bốn mươi lăm”.

Vì vậy, khi một trong hai bên giành được điểm đầu tiên trong trò chơi, tỷ số thường là 15:0, khi cùng một bên giành được điểm thứ hai, 15 điểm khác được cộng thêm và tỷ số sẽ là 30:0 trên lượt chạy của mình. Nếu điểm thứ ba được ghi, tỷ số sẽ là 40:0, và điểm thứ tư (“trận đấu”, như trọng tài nói) mang lại kết thúc trận đấu cho bên đó.

Nếu một bên sau khi ghi điểm đầu tiên, ghi điểm thứ hai cho đối phương (tỷ số được ấn định là 15:15), v.v. Do đó, tỷ số (và luôn được giữ nguyên, bắt đầu từ điểm của người giao bóng) trong trận đấu chỉ có thể như sau: 15:0, 30:0, 40:0, 0:15, 0:30, 0:40, 15:15, 30:15, 40:15, 15:30, 30:30, 40:30, 30:40, “chính xác”, “lớn hơn”, “nhỏ hơn”; Thua ngay sau tỷ số là 40:0, 40:15, 40:30 thì máy chủ thắng ván, còn đối phương thắng sau tỷ số là 0:40, 15:40, 30:40.

Điểm “chính xác” xảy ra khi các đối thủ có số điểm bằng nhau, bắt đầu từ điểm thứ sáu được trao; “lớn” (“ít hơn”) – bắt đầu vào ngày thứ bảy

*) Trò chơi quần vợt lần đầu tiên được mô tả trong văn học Nga bởi L.N. Tolstoy trong tiểu thuyết “Anna Karenina”.
**) Chúng tôi không dừng lại ở cái gọi là “trò chơi đôi”, trong đó hai người chơi.

Hình 1.

điểm nếu máy chủ thắng (thua) rất nhiều sau khi tỷ số “chính xác”; “trò chơi” của máy chủ, nếu máy chủ thắng ngay sau điểm “nhiều hơn”; “trò chơi” của người nhận, nếu có số điểm “ít hơn” thì máy chủ sẽ mất thêm một điểm. Diễn biến có thể có của điểm số trong trò chơi có thể được theo dõi trong Hình 2.

Sau khi hoàn thành ván đầu tiên, ván thứ hai bắt đầu, trong đó quả giao bóng được chuyển sang phía đối diện, v.v. cho đến khi hoàn thành hiệp đấu (trò chơi).

Điểm của các trận trong một hiệp làm tăng điểm trong bóng chuyền hoặc bóng bàn, nhưng không lên 15 và 21 mà lên đến 6 (với lợi thế là 2 điểm). Do đó, hiệp đấu kết thúc khi tỷ số của trận đấu trở thành một trong các tỷ số sau: 6:0, 6:1, 6:2, 6:3, 6:4, 7:5, 8:6, 9:7, v.v.

Sau bộ đầu tiên, bộ thứ hai bị hỏng, v.v., cho đến khi một trong các bên mất bông hồng - hai bộ (trong số ba) hoặc ba bộ (từ gót chân), tùy thuộc vào điều kiện hoàn thành. Nếu một bên thắng liên tiếp hai (ba) set thì coi như thắng và các set còn lại không được thi đấu. Do đó, tỉ số của bông hồng thua có thể là 2:0, 2:1 (tương ứng là 3:0, 3:1, 3:2).

Ai thắng?

Vì vậy, quý độc giả, chúng tôi đã giới thiệu cho bạn các quy tắc cơ bản của trò chơi quần vợt **) với một lượng đủ để thảo luận thêm. Teler, chúng ta có thể bắt đầu trò chơi: Bạn (người đọc) và tôi (tác giả). Nếu tôi chơi mạnh hơn bạn đáng kể, thì lợi thế của tôi sẽ nhanh chóng trở nên rõ ràng - trong set đầu tiên, sau đó là trong set thứ hai. Nếu chênh lệch về sức mạnh không quá lớn thì tỉ số trong mỗi trận đấu, set đấu sẽ không ổn định. Đây là tên được đặt cho đối tượng dành cho những người chơi nội bộ thuộc tầng lớp thượng lưu thế giới, chẳng hạn như tại các giải đấu thuộc dòng Grand Prix hoặc tại giải vô địch thế giới không chính thức (chuyên nghiệp và nghiệp dư) ở Wimblon (Anh). Tất cả những người chơi mạnh nhất trên thế giới đều được phân loại theo sức mạnh trong trò chơi của họ. Mỗi người chơi dẫn đầu đều có điểm mạnh riêng (hầu như không có điểm yếu

*) Để hiểu chi tiết hơn về các tính năng của trò chơi, chúng tôi giới thiệu cho người đọc tài liệu quảng cáo Tennis. Quy tắc chơi trò chơi ở giai đoạn từ điểm thứ sáu; “lớn” (“ít hơn”) – bắt đầu vào ngày thứ bảy

16

địa điểm) và các cuộc gặp gỡ giữa họ diễn ra, có thể nói, “theo các điều kiện bình đẳng”, và kết quả nói chung phụ thuộc vào các trở ngại bổ sung: chuẩn bị tâm lý, tự rèn luyện, tâm trạng cảm xúc, mặt sân (bụi bẩn, cỏ, nhựa), thời tiết, v.v.

Vậy rốt cuộc ai sẽ thắng? Một vận động viên thể thao thực thụ, khi thua sẽ nói: kẻ mạnh nhất đã thắng. Tuy nhiên, bạn có thể nghe thấy những cụm từ như “anh ấy vô tình đánh tôi” hoặc “anh ấy lúc nào cũng bị như vậy”. Tỷ lệ kỹ năng và tỷ lệ cơ hội thực sự trong việc tạo ra người chiến thắng khi chơi quần vợt là gì?

Chúng ta hãy thử xây dựng một mô hình toán học của trò chơi quần vợt và với sự trợ giúp của nó, hãy hiểu câu hỏi được đặt ra.

Đề xuất cơ bản của mô hình

Chắc chắn có yếu tố ngẫu nhiên trong Quần vợt và mô hình của chúng tôi phải tính đến điều này. Kết quả bóng thắng không thể dự đoán trước một cách rõ ràng nhưng có thể đánh giá khách quan “cơ hội thắng” của mỗi đối thủ. Ước tính về tỷ lệ cược này—con số—được gọi là xác suất và đó là lý do tại sao các mô hình như toán học của chúng ta được gọi là mô hình xác suất (hoặc thống kê).

Nhưng đừng lo lắng, độc giả! Khái niệm mô hình đơn giản của chúng tôi không đòi hỏi kiến ​​thức sâu sắc về lý thuyết xác suất. Chúng ta sẽ cần một lượng hiểu biết nhỏ từ khoa học này khi tiếp tục. Và độc giả muốn tìm hiểu sâu về lý thuyết này, chúng tôi khuyên bạn nên xem số 23 của thư viện «Kvant» (A. N. Kolmogorov, I. G. Zhurbenko, A. V. Prosorov. Giới thiệu về lý thuyết xác suất, M.: Nauka, 1982).

Vì vậy, trong mô hình của chúng tôi, mỗi lần rút bóng riêng lẻ là một thử nghiệm ngẫu nhiên với hai kết quả có thể xảy ra—tác giả thắng (A) và người đọc thắng (R). Mỗi kết quả được gán xác suất của nó - các số P(A) và P(Н), mà
$$0 < P(A) < 1, \quad 0 < P(Ч) < 1,$$
$$P(A) + P(Ч) = 1.$$

Ví dụ, số P(A) có nghĩa là gì? Nó biểu thị tỷ lệ phần trăm quả bóng (trên một đơn vị) mà tác giả trung bình giành được từ người đọc. Nếu tác giả giành được trung bình 60 quả bóng trong số 100 quả bóng từ người đọc thì xác suất chiến thắng của anh ta, P(A), bằng 0,6. (Chúng tôi tin rằng tác giả, một độc giả hạng nhất có kinh nghiệm, đóng vai một độc giả tốt hơn một chút. Tất nhiên, trong trường hợp của chúng tôi, P(H) = 0,4 và các bất đẳng thức và đẳng thức viết ở trên được thỏa mãn.)

Chúng tôi sẽ đề xuất thêm rằng xác suất P(A) = 0,6 (và do đó P(H) = 0,4) là như nhau đối với tất cả các lần chơi bóng trong suốt trận đấu. Dựa vào giới từ này, chúng ta muốn tìm hiểu xem khả năng (xác suất) tác giả thắng trận đầu tiên, sau đó là cả set và cuối cùng là cả trận là bao nhiêu.

Thảo luận về giá trị học thuật của mô hình

Tất nhiên, bất kỳ mô hình toán học nào cũng chỉ là một sơ đồ lý tưởng hóa một quá trình hoặc hiện tượng thực tế. Bằng cách đơn giản hóa thực tế, chúng ta bỏ qua một số khía cạnh của nó. Như vậy, xét xác suất P(A) không thay đổi trong suốt trận đấu, chúng ta bỏ qua một phần sự chuẩn bị thể lực của đối thủ (cuối trận, tác giả có thể sẽ lập công nhiều hơn đối thủ trẻ hơn và sẽ mắc nhiều lỗi hơn) và yếu tố tâm lý (bị thua một cửa sổ, đặc biệt là hai cửa sổ, tác giả thường chơi chú ý và ác độc - cơ hội thắng ở cửa sổ tiếp theo tăng lên). Mô hình của chúng tôi còn có một nhược điểm nghiêm trọng hơn mà bất kỳ tay vợt có kinh nghiệm nào cũng sẽ thay thế - nó không tính đến lợi thế của máy chủ, điều này đặc biệt sai trên sân nhanh (cỏ, gỗ hoặc nhựa).

Trên thực tế, tất cả tên của các yếu tố (và một số yếu tố khác) đều có thể được đưa vào xác suất của mô hình trò chơi quần vợt. Chúng tôi không làm điều này ở đây - điều này sẽ làm phức tạp đáng kể sơ đồ và kỹ thuật tính toán, trong khi mô hình đơn giản hóa của chúng tôi đã cho phép chúng tôi đưa ra những kết luận thú vị, đôi khi bất ngờ, nhưng đã được xác nhận bằng thực tế.

Ai sẽ thắng trò chơi?

Mục tiêu trước mắt của chúng ta là tính xác suất để tác giả thắng trò chơi trước độc giả. Hình 2 cho thấy điểm số trong một trò chơi có thể thay đổi tuần tự như thế nào. Tỉ số của trận đấu được ghi lại. Tỉ số của trận đấu được ghi lại. Để có bội số, hãy ký hiệu p=P(A), q=P(Х). Ví dụ: p và q - xác suất giành được một cửa sổ (quả bóng) riêng biệt của tác giả và người đọc - không thay đổi trong suốt trò chơi; chúng tôi chấp nhận p=0,6, q=0,4.

Theo điều kiện, xác suất chuyển sang trạng thái 15:0 (nghĩa là xác suất đạt điểm 15:0), mà chúng ta biểu thị bằng P(15:0), bằng p. Theo đó, P(0:15)=q.

17

Hãy tìm $P(30:0)$ — xác suất để tác giả ghi liên tiếp hai bàn thắng đầu tiên. Rõ ràng
$$P(30:0) = P(15:0) \cdot p = p^2 = 0,36.$$
Nhưng điều này có thực sự như vậy không? Tại sao chúng ta lại lạm dụng xác suất? Trên thực tế, ở đây chúng ta đang sử dụng “định lý nhân xác suất của các sự kiện độc lập liên tiếp” (bạn có thể đọc về nó trong cuốn sách của A. N. Kolmogorov và những người khác, được trích dẫn ở trên). Chúng ta hãy cố gắng hy sinh phép tính này bằng ngôn ngữ của phần giữa của tiền thắng. Nếu tác giả liên tục thắng người đọc trung bình 60 quả bóng trong số 100 quả bóng (tức là trung bình 3/5 quả bóng), sau đó trong tổng số 60 quả bóng (chơi ngay sau khi giành được quả bóng đầu tiên), tác giả cũng sẽ thắng trung bình 3/5, tức là $60 \times (3/5) = 36$ lần trong 100 (trung bình), tác giả sẽ thắng liên tiếp hai quả bóng đầu tiên.

Tương tự như vậy,
$$P(0:30) = P(0:15) \cdot q = q^2 = 0,16$$
— độc giả có rất ít cơ hội giành được nhiều hơn hai bàn thắng liên tiếp!

Bây giờ hãy đếm $P(15:15)$. Chúng tôi có (nghĩ tại sao)
$$P(15:15) = P(15:0) \cdot q + P(0:15) \cdot p = 2pq = 0,48$$

• tỷ số “mười lăm” sau hai bàn thắng đầu tiên sẽ xảy ra gần như thường xuyên bằng hai tỷ số còn lại (30:0 và 0:30) cộng lại.

Các tính toán tiếp theo được thực hiện theo cách tương tự. Di chuyển xuống từ Hình 2, người đọc có thể tìm thấy xác suất của tất cả các trạng thái (nghĩa là các điểm có thể có) và điền vào các ô còn trống. Nazhe quan tâm đến cột bên trái (“trò chơi của tác giả”). Trong đó, $A_1$ biểu thị tác giả thắng ngay sau tỷ số 40:0, $A_2$ - ngay sau tỷ số 40:15, $A_3$ - ngay sau tỷ số 40:30.

2 Lượng tử số 8

18

Rõ ràng là $P(40:0) = p^3 = 0,216$ và do đó $P(A_1) = P(40:0) \cdot p = p^4 = 0,1296$,
Việc tác giả thắng trận mà giữ sạch lưới là khá hiếm.

Thật dễ dàng để tính toán rằng $P(40:15) = 4p^3q \approx 0,3456$,
$P(30:30) = 4p^2q^2 \approx 0,2304$ và $P(40:30) = 10p^3q^2 \approx 0,3970$,
nó đến từ đâu?

$$P(A_2) = P(40:15) \cdot p = 4p^4q \approx 0,20736$$
$$P(A_3) = P(40:30) \cdot p = 10p^4q^2 \approx 0,20736$$.

Hơn nữa, dễ dàng nhận thấy các số $P(A_3), P(A_4), P(A_5)$,… tạo thành một cấp số nhân với số hạng ban đầu $P(A_3) = 10p^4q^2 \approx 0,20736$ và giá trị $2pq = 0,48 < 1$. Sử dụng một công thức quen thuộc, chúng ta tìm được tổng của cấp số

$$P(A_3) + P(A_4) + \dots = \frac{10p^4q^2}{1 - 2pq} \approx 0,3988$$.

Bằng cách thêm các số ban đầu $P(A_1) + P(A_2)$ vào nó, chúng ta tìm được xác suất tác giả thắng trò chơi $P(\text{гейм автор}) = P(A_1) + P(A_2) + \dots = p^4 + 4p^4q + \frac{10p^4q^2}{1 - 2pq} \approx 0,7357$.

Như vậy, trung bình tác giả sẽ thắng được khoảng 74 trên 100 trò chơi từ người đọc, còn người đọc sẽ chỉ thắng 26 trên 100.

Mạch điện như trong Hình 2 được gọi là chuỗi Markov, được đặt theo tên nhà toán học xuất sắc người Nga A. A. Markov (1856-1922). Chuỗi Markov bao gồm một số hữu hạn hoặc vô hạn các trạng thái (trạng thái y us là điểm số trong trò chơi), được kết nối bằng các chuyển đổi (mũi tên), biểu thị xác suất chuyển tiếp (y us - số p và q). Các chuỗi như vậy mô tả các quá trình ngẫu nhiên với điều kiện là xác suất chuyển tiếp không phụ thuộc vào quá trình trước đó.

Bài tập

1. Khi chơi bóng bàn, người chơi A sẽ thắng rất nhiều người chơi B với xác suất p; đặt $q = 1 - p$ (xác suất thắng B). Khi đó xác suất xảy ra điểm này hoặc điểm khác khi bắt đầu trò chơi như sau:

$$1:0(p); 0:1(q);$$
$$2:0(p^2); 1:1(2pq); 0:2(q^2).$$

a) Tiếp tục sơ đồ này.
b) Dựa vào đó, tính xác suất người chơi A thắng trò chơi (trò chơi được chơi cho đến khi người A giành được ít nhất 21 điểm nhưng với lợi thế hơn 2 điểm).
2. Khám phá một mô hình tương tự cho bóng chuyền.

Ai sẽ thắng set này?

Bây giờ, bằng cách sử dụng sơ đồ tương tự, sử dụng Hình 3 cùng với Hình 2, người đọc có thể đếm độc lập

Hình 4.

xác định xác suất thắng một set (partini) của tác giả (hoặc độc giả). Trong Hình 3, các ô hình chữ nhật cho biết số lượng trò chơi trong bộ (“trạng thái”); xác suất chiến thắng trò chơi của tác giả là $p' = 0,736$, người đọc - $q' = 0,264$ ($p'$ và $q'$ là “xác suất chuyển đổi” cho “chuỗi Markov” mới; giống như $p, q$ trong chuỗi trước, chúng không những không phụ thuộc vào nền mà chúng chỉ đơn giản là không đổi). Bạn nên nhận được

$$P(\text{сет автор}) \approx 0,966$$
$$P(\text{сет читателя}) \approx 0,034$$

Ai sẽ thắng cuộc họp?

Như bạn có thể thấy, xác suất tác giả thắng bộ này là gần bằng một. Nói chung, điều này là tự nhiên nếu tính đến việc tác giả sẽ giành được một quả bóng duy nhất với xác suất lớn hơn người đọc gấp rưỡi. Nếu chúng ta tiến xa hơn, thì phép tính cho thấy (tự kiểm tra) rằng tác giả sẽ thắng một trận đấu từ ba set với xác suất là 0,996 và từ một cú đánh gót với xác suất là 0,9996, tức là gần như chắc chắn. Do đó, rõ ràng là không nên chơi nhiều hơn ba set trong trường hợp này.

Nhưng bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng loại trò chơi thực tế giống nhau, ví dụ: xác suất để tác giả giành được bóng là 0,51 và xác suất của người đọc là 0,49. Nói cách khác, từ những quả bóng được chơi, người đọc sẽ thắng trung bình