Пять сетов

15

Правила игры

Местом для игры в теннис служитровная площадка (корт) определяемых размеров (рис. 1) с нанесенными на ней линиями и разделенная пополам сеткой.*)

Мяч вводит в игру один из двух**) содержников — этот удар называется подачей. Подают по диагонали: стая на первой позицини подачи — в первое поле подачи противника, стая на второй — во второй. Подчача производится почередно с каждой из позиций. Мяч, введенный в игру ударом ракетки, должен перелететь через сетку и удариться о площадку в пределах соответствующего поля подачи противника (см. рис. 1). Если первая подача в данное поле была неправильной, игрок должен повторить в то же поле. После второй неправильной подачи очко считается для подающего противным.

Поданный мяч должен быть отражен ударом ракетки принимающего после первого, но до второго приземления мяча. После приема подачи (во время розыгрыша очка) мяч разрешается отражать не только между первым и вторым приземлением, но и «с лета» (до приземления). Розыгрыш очка состоит в том, что каждый из противников почередно отражает направленный к нему мяч, не позволяет ему приземиться на своей стороне более одного раза. Мяч находится в игреока какой-либо из противников окажется не в состоянии ударить мяч до второго приземления или пошлет его с сетку или за пределы площадки; он тогда противал этот мяч.

Теннисная встреча подразбивает на сеты (партии), сеты на zeймы (игры), геймы формируется при розыгрыше отдельных мячей (очков). В пределях одного гейма игра ведется до выигрыша одной из сторон не менее четырех мячей (очков) при условии, что эта сторона получила перевести не менее чем на два мяча.

Счет очков в гейме имеет особенность, сохранившееся с тех времен, когда игра влась на «интерес». Во Франции ценой игры является монета в 60 су: она размещалась на четыре по 15 су. Эти последние, по-видимому, составляли цену четырех ударов: 15, 30, 45, 60. Правда, в XX века судьи стали лакончнее, вырикивая «сорок» вместе «сорок пять».

Итак, при выгирыше какой-либо стороне первоого в гейме очка, ей зачастывается 15:0, при выгирыше той же стороне второго очка добавляется еще 15 и счет становится 30:0 в ее ползу. При выгирыше третьего очка счет становится 40:0, выгирыш четвертого очка («игра», как говорят судьи) приносит завершение гейма в ползу этой стороны.

Если одна из сторон после выгирыша первоого очка второе очка противнику (счет ставится 15:15) и т.п. Следовательно, счет (а он ведется всегда, начинается с очков подающего) в гейме может быть только следующий: 15:0, 30:0, 40:0, 0:15, 0:30, 0:40, 15:15, 30:15, 40:15, 15:30, 30:30, 40:30, 30:40, «ровно», «большое», «меньше»; выгирав окся сразу после счет 40:0, 40:15, 40:30, подающий выгирыает игру, а противающий — после счет 0:40, 15:40, 30:40.

Счет «ровно» имеет место при равенстве очков у противников, начинается с шестого разгранного очка; «большое» («меньше») — начинается седьмого

*) Игра в теннис впервые в русской литературе описана Л. Н. Толстым в романе «Анна Каренина».
**) Мы не останавливаемся на так называемой «парной игре», в котором игреют две двое.

Рис. 1.

очка, если подающий выигral (проигral) очень после счета «ровно»; «игра» подающего, если подающий выигral неосредственно следующий за счета «большше»; «игра» принимающего, если при счета «меньше» подающий проигral очередное очко. Возможную эволюцию счета в гейме можно проследить по рисунку 2.

По завершении первоого гейма начинается розыгрыш второго гейма, при котором подача переходит к противоположной стороне и т. д. до завершения сета (партии).

Счет геймов в сете наполинает счет очков в волейболе или пинг-понгге, но не до 15 и 21, а до 6 (с приемуществом в 2 очка). Сет заканчивается, таким образом, когда счет геймов становится равным одному из следующих: 6:0, 6:1, 6:2, 6:3, 6:4, 7:5, 8:6, 9:7 и т. д.

После первого разрывается второй сет и т. д. пока одна из сторон не выгирет розец — двух (из трех) или трех (из пяты) сетов, в зависимости от условий совершения. При выгирыше одной из сторон подряд двух (трех) сетов ей присуждается победа и остальные сеты не играются. Следовательно, счет выгиранной розец может быть 2:0, 2:1 (соответственно 3:0, 3:1, 3:2).

Кто победает?

Итак, читатель, мы ознакомили с основными правилами игры в теннис **) в объеме, достаточно для дальнейшего. Телер мы смогли бы начать игра: Вы (читатель) и я (автор). Если я играю значительное сильнее Вас, то мое приемущество выявится быстро — в первом же сете, затем во втором. Если же разница в силе не столь велика, то счет в каждой ей и сете будет неустойчным. Именено так объект для встроих игроков, входящих в мировую элиту, например, на турирах серии «Гранд при» или неффициальным первенствием мира (профессионалов и любителей) в Уимблоне (Англия). Все сильнейшие игроки мира классифицированы по силе игры. Каждый из ведущих игрок имеет свои достоинства (при почтном отсутствии слабых

*) Для более детального знакомства с особенностями игры отсылаем читателя к брошюре Теннис. Правила совершения игры на этапе с шестого разгранного очка; «большое» («меньше») — начинается седьмого

16

мест) и встречи между ними проходят, так сказать, «на равных», а исход зависят общно от дополнительных obstructions: психологической подготовки, самоучствия, эмоционального настроя, покрытия корта (грунт, трава, пластик), погоды и т. п.

Так кто все-tаки выиграет? Настоящий спортем, проиграв, скажет: победил сильнейший. Можно услышать, однако, фразы вроде «он выиграл у меня случайно» или «ему все время взело». Какова же в действительности доля мастерства и доля случая при вывелини победителя при игре в тениис?

Попытаемся построить математическую модель игры в тениис и с ее помощью разобраться в поставленном вопросе.

Основные предложки модели

Элемент случайности в тениис, беспорно, присутствует, и наша модель должна это учитывать. Выигращи мяча нельзя предсказать заранее однозначно, однако можно объективно оценить «шансы на выигращи» каждого из противников. Эта оценка шансов — число — называется вероятностью, и поэтому модели, подобные нашей математики называют вероятностью (или статистическими) моделими.

Но не пуляйся, читатель! Для понятия нашей простой модели не потребуется глубоких знаний по теории вероятности. Тот небольшой объем понятный из этой науки, который будет нужен, мы разяемся по ходу дела. А читатель, захотевшим вникнуть глубокие в эту теорию, мы рекомендуем обратиться к выпуску 23 библиотекки «Квант» (А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А. В. Просоров. Введение в теории вероятности, М.: Наука, 1982).

Итак, в нашей модели каждый отдельный розыгрыш мяча является случайным испытанием с двумя возможными исходами — выигращами автора (A) и выигращем читателя (Ч). Каждому исходу приписывается его вероятность — числа P(A) и P(Ч) также, что
$$0 < P(A) < 1, \quad 0 < P(Ч) < 1,$$
$$P(A) + P(Ч) = 1.$$

Что означает, скажем, число P(A)? Оно выражает долю мячей (отнесенную к единице), которое автор в среднем выигравает у читателя. Если автор в среднем выигравает у читателя 60 мячей из 100, то вероятность его выиграща, P(A), равна 0,6. (Мы считаем, что автор, опытный перворазрядик, играет несколько лучшей читателя. В нашем случае, разумеется, P(Ч) = 0,4 и выполняются написанные выше неравенства и равенство.)

Мы будем предложать далее, что вероятность P(A) = 0,6 (а значит, и P(Ч) = 0,4) одинакова для всех розыгрыш мяча в течение всейstreчи. Исход из этой предложыки, мы хотим выяснить, каковый шансы (вероятность) выиграща автора сначала гейма, затем сета и наконец — всеstreчи.

Обсуждение академости модели

Разумеется, всякая математическая модель является лишь схемой, идеализирующей реальный процесс или явления. Упрошая реальность, мы пребеггаем определенными ее сторонами. Так, считая вероятность P(A) неизменной в течениеstreчи, мы пребеггаем, в частиности, физической подготовкой противников (в концеstreчи автор, наверное, установ больше своего более молодого соперника и станет чаще ошибаться) и психологическими факторами (проиграв окно, особенно два, автор обычно играет внимание и зле — его шансы на выигращо очередного окна повышаются). У нашей модели есть и более сердезный недостаток, который заменит любой опытный тениисист, — она не учитывает премумущество подающего, особенно ошибимо на быстром корте (из травы, дерева или скольского пластника).

На самом деле все названия факторов (и некоторые другие) можно включить в вероятность модели игры в тениис. Мы не делаем это здесь — это существенно осложню бы схему и технику счета, в то время как наш упрошенная модель уже позволяет принять к интересным выводум, подчас неожиданным, но подтвержденным практикой.

Кто выиграет гейм?

Наша близкая цель — посчитать вероятность того, что автор выиграет гейм у читателя. На рисунке 2 показано, как последовательно может изменяться счет в гейме. При этом записывается счет в гейме. При этом записывается счет в гейме. Для кратности обозначим p=P(A), q=P(Ч). Например, что p и q — вероятности выиграща отдельного окна (мяча) автора и читателя — в течение гейма не меняются; мы приняли p=0,6, q=0,4.

По условияю, вероятность перехода в состояние 15:0 (то есть вероятность возникновения счета 15:0), который мы обозначим P(15:0), равна p. Соответственно P(0:15)=q.

17

Найдем $P(30:0)$ — вероятность выигрыша автором первых двух мячей подряд. Очевидно
$$P(30:0) = P(15:0) \cdot p = p^2 = 0,36.$$
Но так ли это очень? Почему мы переможили вероятности? На самом деле мы здесь пользовемся «теоремой умножения вероятностей последовательных независимых событий» (о ней можно прочитать в цифрованной выше книге А. Н. Колмогорова и др.). Постараемся все же пожертвить этот подсчет на языке средней части выигрыша. Если автор постоянно выигрыает у читателя в среднем 60 мячей из каждой 100 мячей (то есть в среднем 3/5 мячей), то из 60 мячей (разыгранных непосредственно после выигрыша первого мяча) автор тоже выигреет в среднем 3/5, то есть $60 \times (3/5) = 36$ раз из 100 (в среднем) автор будет выигрыть два первых мяча подряд.

Аналогично,
$$P(0:30) = P(0:15) \cdot q = q^2 = 0,16$$
— у читателя мало шансов выиграть первыше два мяча подряд!

Сосчитаем теперь $P(15:15)$. Имеем (подумайте, почему)
$$P(15:15) = P(15:0) \cdot q + P(0:15) \cdot p = 2pq = 0,48$$
— счет «по пятнадцати» после первых двух мячей будет возникать почти так же часто, как остальные два счета (30:0 и 0:30) вместе взятые.

Дальнейший подсчет производится совершенно аналогично. Двигаясь по рисунку 2 вниз, читатель может найти вероятность всех состояний (то есть возможных счетов) и заполнить клеточки, оставленные пустыми. Наже интересует левый столбик («игра автора»). В нем $A_1$ обозначает выигрыш автора сразу после счета 40:0, $A_2$ — сразу после счета 40:15, $A_3$ — сразу после 40:30.

2 Квант № 8

18

Ясно, что $P(40:0) = p^3 = 0,216$ и поэтому $P(A_1) = P(40:0) \cdot p = p^4 = 0,1296$,
автор выигрыает гейм «в сухую» довольно редко.

Легко подсчитать, что $P(40:15) = 4p^3q \approx 0,3456$,
$P(30:30) = 4p^2q^2 \approx 0,2304$ и $P(40:30) = 10p^3q^2 \approx 0,3970$,
откуда находится

$$P(A_2) = P(40:15) \cdot p = 4p^4q \approx 0,20736$$
$$P(A_3) = P(40:30) \cdot p = 10p^4q^2 \approx 0,20736$$.

Далее нетрудно видеть, что числа $P(A_3), P(A_4), P(A_5)$,… образуют геометрическую прогрессию с начальным членом $P(A_3) = 10p^4q^2 \approx 0,20736$ и значением $2pq = 0,48 < 1$. По известной формуле находим сумму прогрессии

$$P(A_3) + P(A_4) + \dots = \frac{10p^4q^2}{1 - 2pq} \approx 0,3988$$.

Прибавляя к ней начальные числа $P(A_1) + P(A_2)$, находим вероятность выигрыша гейма автором $P(\text{гейм автор}) = P(A_1) + P(A_2) + \dots = p^4 + 4p^4q + \frac{10p^4q^2}{1 - 2pq} \approx 0,7357$.

Таким образом, автор выигрыает у читателя в среднем около 74 геймов из 100, а читателю достается лишь 26 из 100.

Схемы, подобные той, что изображена на рисунке 2, называются цепями Маркова, по имени выдающегося русского математика А. А. Маркова (1856—1922). Цепь Маркова состоит из конечного или бесконечного числа состояний (y нас состояние — это счет в гейме), соединенных переходами (стрелками), на которых указываются переходные вероятности (y нас — числа p и q). Такие цепи описывают случайные процессы при условии, что переходные вероятности не зависят от предыдущего процесса.

Задание

1. При игре в пинг-понг игрок А выигрыает очень у игрок Б с вероятностью p; пусть $q = 1 - p$ (вероятность выигрыша Б). Тогда вероятности возникновения того или иного счета в начале игры следует:

$$1:0(p); 0:1(q);$$
$$2:0(p^2); 1:1(2pq); 0:2(q^2).$$

a) Продолжите эту схему.
b) Пользовать ей, составьте вероятность выигрыша партии игрок А (партия игреется до выигрыша им не менее 21 очка, но с преимуществом в 2 очке).
2. Исследуйте аналогичную модель для игры в волейбол.

Кто выигреет cet?

Тепер, по аналогичной схеме, пользовать рисуком 3 вместе рисука 2, читатель может самостоятельно сосчит-

Рис. 4.

тать вероятность выигрыша сета (партини) автором (или читателем). На рисунке 3 в прямоуольничках ставится счет геймов в сете («состояния»); вероятность выигрыша гейма автором равна $p' = 0,736$, читатель — $q' = 0,264$ ($p'$ и $q'$ — это «переходные вероятности» для новой «цепи Маркова»; как и $p, q$ в предыдушей цепи, они не только не зависят от предыдории, они просто постоянны). Вы должны получить

$$P(\text{сет автор}) \approx 0,966$$
$$P(\text{сет читателя}) \approx 0,034$$

Кто выигреет встречу?

Как видно, вероятность выигрыша сета автором близка к единице. Это, в общем, естественно, если учеть, что автор выигрыает отдельный мяч с вероятностью в полтора раза большей, чем читатель. Если же продвинутся дальше, то подсчет показывает (проверте сами), что матч из трех сетов автор выигреет с вероятностью 0,996, а из пяты с вероятностью 0,9996, то есть практические — наверняка. Ясно поэтому, что более трех сетов игреть в этом случае не целесообразно.

Но допустим теперь, что класс игровок практических одинаков, например, вероятность выигрыша мяча автором составляет 0,51, а читателя — 0,49. Иными словами, из эта разыгранных мячей читатель выигрыает в среднем