Как создавалась квантовая теория

2

Как создавалась квантовая теория

Академик А. Б. МИГДАЛ

Как возникает теория? Сначала в результате анализа накопленных экспериментальных и теоретических знаний появляется глубокая и ясная физическая идея, скажем, «движение небесных тел и падание камня на Земле вызываны одной причиной», или «время течет по-разному в неподвижной системе отчета и в равномерно движущейся». Из первой иен Ньюотен вывел свою теорию тяготения, из второй — Эйнштейн — теорию относительной С важнейшей физической теории современности — квантовой теории — все было совершенно наоборот: ее главные результаты возникали раньше, чем становились понятным их смысл!

На примере создания квантовой теории можно увидеть в действии многоестественного теоретических особенностей физики. Это было движение в полутье, наошуль, через смутные догадки, которые часто не подверждают и уводили в стороны, но это удачи были раззantedы; ученные оказались провидцами — их утверждение, построенные на шатких основаниях, точнейшим образом подверждают позже.

Постараемся проследить и почувствовать этот сложный и необъчный ход indeed.

Все началось с катастрофы

Парадокс под мрачным названем «катастрофа Рэлея—Джинса» достигла физика в наследство от прошлого века. Он возник, когда законы статистической физики применили к равновесному теловому излучению, которое установливается внутри ящика с нагретыми стенками. Это излучение представляет собой стояние электромагнитные волны.

Statisticalная физика установила замечательный закон «равнораспределеня энергии»: в теплом равновесии на каждую «степень свободы»*)

*) Числом степеней свободы называют число независимых координат, определяющих состояние системы. (Прим. ред.)

3

приходится одинаковая энергия. Так, на каждое возможное колебание приходится энергия, равная $kT$ (к — постоянная Больцмана, $T$ — абсолотная температура). Если возможных колебаний в системе много, то такая система заберет на себя большую энергия. Полная энергия колебательной системы равна $NkT$, где $N$ — число возможных колебаний.

Постотрим, сколько стоянных электромагнитных волн может образовать в ящике. Для того чтобы возникла стоячая волна, от стенки до стенки должны уложиться целое число полу волн (рисунок 1). Чем короче длина волны, тем больше возможностей выполнить это условие. Поэтому число возможных стоянных волн растет с уменьшением длины волны — и, значит, с увеличением частоты. Если на каждое колебание приходится одна и та же энергия, а число колебаний растет с увеличением частоты, то и интенсивность изменения длины волны — и, значит, с увеличением частоты. Между тем точными опитами было установлено, что интенсивность изменения длины волны — и, значит, с увеличением частоты. Но главное — общее число возможных стоянных волн в ящике оказывается бесконечным, и они должны быть забрать на себя всю энергию стенок, сколько бы теплла мы к ним ни подводили. Это было бы действительно катастрофой — все предметы вокруг должны были бы охлаждаться, их теплопередило бы в «бездонную бочку излучения».

В 1900 году Макс Планк нашел единственный возможность обяснить описанный парадокс. Он предположил, что частицы, излучющие волны с частотой $v$, могут изменять свою энергию не перерывным образом, а только скачками — дискретными порциями $hv$. Коэффициент пропорциональности $h$ вошел в научку под названием «постоянная Планка».

Нагреты стенки ящика можно представить себе как набор частц, излучших электромагнитные волны различных частот. Согласно гипотезе Планка, эти излучатели не могут испускать электромагнитные волны с энергиями, затем большеми, чем средняя тепловая энергия $kT$, приходящая на одну частцу. Излучатели высокой частоты как бы «заморожены» в состоянии с минимальной энергейой. Для возникления таких излучателей им следует передать энергию $hv$, много большеми, чем тепловая энергия. Но согласно законам статистической физики это событие маловерятно, так что возникеной оказывается лишь малая доля таких излучателей, и интенсивность испущенного им света мала. Так нашел свое объяснение эмпирический закон Вина.

Планк получил формулу, которая описала результаты экспериментов по распределению интенсивности излучения всех частот при различных температурах стенок; нужно было только правильно подобратьCONSTANTУ $h$. Численное значение этой величины оказалось равным $h=6,62 \times 10^{-34}$ Дж·с. Поянято, почему скачкообразность в изменении энергии излучателей не заменали в повышенной жизни — порции энергии настоящего малы, что ее изменение какется непрерывным.

Что же такое свет?

Известные всем опыты по интерфеции и дифракции доказывают, что свет — это волна. Ньюотон, обьясняя конечную скорость распространения света, предположил, что светшееся тело испускает частицы — корпусклы,— передающие свет. Но он не смог таким способом обяснить явления интерфеции и дифракции, и корпускулярная теория света была надолго забита.

В 1905 году Альберт Эйнштейн, обьясняя явление фотоэфекта — выраженная электронов из молекул газа при облучении его ультрафилотовым све-

4

том*),— заключит, что волна не может создать такой концентрации энергии на сдном электреоне, чтобы вырвать его с орбиты. Однако свойства фотоэфекта полностью обязываются, если предположить, что свет — это набор частиц — фотонов, которые, взаимодействуя с электронами, вырабатывают их наружу**).

Эйштейн показал, что при появлении или исчезновении кванта света возникает или исчезает количество движения; таким образом, фотон имеет импульс $p$, который связан с длиной волны света соответствием $p=h/\lambda$. Энергия волны заданной частоты может изменяться только порциями $hv$, так же как и энергия излучателей в рассуждениях Планка. Таким образом, дискретность распространилась и на электромагнитные волны.

Теория фотоэфекта отчасти подтверждила корпускулярную теорию Ньютона. Так что же такое свет — частица или волна? Объяснить это тогда никто не смог, и противоречие так и осталось чем-то вроде занозы.

Правила квантования

В 1913 году Нильс Бор установил правила, настолько загадочные даже для самого их создания, что он назвал их «постулатами» — недоказуемыми предположениями.

Бор сделал еще один шаг по той неведомой дороге, который шли Планк и Эйштейн,— он распространил дискретность на atom, утверждая, что допустимы не все орбиты электронов, а только неокоторы. Согласно существовшей в классической физике планетарной модели atomа, электрон, обращаясь вокруг ядра, движется с центромретильнымускорением и, следовательно, должен излучать электромагнитные волны — ведь по законом классической электродинамики не излучает только заряд, движущийся по прямой с постоянной скоростью. Излучащий же электрон, непрерывно теряя энергию, упал бы на ядро.

Согласно правиле, введенным Бором, электрон может излучать кванты

*) В школьном учебнике 10 класса рассмотрен случай фотоэфекта в металх. (Прим. ped.)
**) При фотоэфективе электрон поглощает фотон, который передает ему свою энергию и импульс. (Прим. ped.)

света — фороны — только при перехождение с одной орбиты на другую. Существует орбита с наименьшей возможной энергейей, и в таком состоянии электрон живет неограниченно долго — ему некуда переходить. Так была обяясена стабильность.atoma.

Смысл правил квантования был неясен, но теория Бора описала все главнейшие свойства atoms, например, то, что atoms испускают свет дискретных частиот. Бор выражил частоты излучаемого atomом света через заряд ядра, заряд и массу электрон и постоянную Планка.

Еще одна дорога

Собиться, которыйсуждено было объяснить смысл поступатов Бора, произшло в 1923 году. Но сначала оно лишь чувствует他自己 задело больше место — проблему волн-частиц.

Французский физик Луи де Бройль предложил, что электрон на самом деле не частицы, а волны, вернее — и частицы, и волны… Частцы должны описывать неокоторий волновым процессом, характеризующимся длиной волны $\lambda$, связанной с количеством движения частицы $p$ так же, как длина волны фотона связывана с его импульсом.

Через четыре года американские физики Девиссон и Джермер и независимо от них английии Томсон*) открыли дифракцию электронов на кристаллах (см. рисунок 3). Значит, электрон на самом деле волна!

Так подтвердилось не только удивительное предложение де Бройля, но и в точности его формула для длины волны электрона. История повторилась в обратном порядке: свет сначала изучили как волну, потом как набор частиц, а электрон — наоборот.

Новая механика

В 1926 году Эрвин Шредингер, обобщив гениальную договору де Бройля на случай, когда электрон движется не в свободном пространстве, а во внешнем поле, например, в кулоновском поле ядра, получил уравнение для функции, описывающей волновые

*) Сын знаменитого английского физика Дж. Дж. Томсона, впервые исследовавшего электрон. (Прим. ped.)

5

свойства частиц, которые он называют волновой функцией.

Если написать это уравнение в свободном от полей пространстве, функция будет описывать волновой процесс с длиной волны де Бройля, то есть волну с постоянной длиной. Во внешнем же поле длины не постоянна, она изменяется от точки к точке.

Оказалось, что решение уравнения Шредингера для атома водорода получается в точном согласиии с правилами квантования Бора не для всех энергий, а только для определенных дискретных значений, совпадающих с теми, которые следовали из боровских правил. Стασионарное — устойчивое — состояние электрона в atomе водорода — допустимая боровская орбита — на языке уравнения Шредингера означает, что получилась стоячая волна, а стоячая волна получается при условии, что в области движения электрона укладывается целое число волны де Бройля.

В этом и состоит смысл правил квантования: стояние волны могут образовать только при дискретных значениях энергии электрона в atomе, когда в области движения укладывается одна, две или любое целое число волн (рисунок 4).

Простой пример

Предположим, что частица движется между непроницаемыми стенками, расположенными на расстоянии $l$ друг от друга. У каждой из стенок волновая функция должна обращаться в нуль, то есть переходит в волновую функцию снаруки, которая равна нуль, поскольку за стенки частица не выходит. Поэтому, чтобы получилось стασионарное состояние с номером $n$, на длине $l$ должно уложиться целое число полуволн: $2l/\lambda=n$. Так, в первом состоянии, когда между стенками укладывается поливна длины волны, волновая функция равна нуль на стенках и имеет максимум посередине. Стоячую волну можно представить в виде двух волн, бегущих навстречу друг другу. Поэтому импульс стоячей волны равен нуль. Абсолютное же значение импульса такое же, как у соответствующего бегущей волны, и связано с ее длиной соответствием де Бройля: $p=h/\lambda=nh/2l$. Найдем энергию $E=p^2/2m$.*)

Отсюда легко получить формулу $E=\pi^2\hbar^2n^2/2ml^2$. Так в этом простом случае мы нашли энергии.

Итак, на первом этапе развития квантовой механики была установлена дискретность возникших значений ряда физических величины; найден один из основных масштабов природы — постоянная Планка, разграничивающая область явления, описывающая классический физический, и явления квантовой природы**); выясенно, что частицы выступают как носители и волновых, и корпускулярных свойства; найдено уравнение для волновой функции, описывающей состояние квантовой системы.

Но главный вопрос оставался нерешенным — что такое волновая функция, главный инструмент теории?

В 1905 году Эйнштейн перевернул привъяные представления о пространстве и времени, после чего самой собой возникли и были поняты формулы, полученные ранее Лоренцем. Предстояло сделать такой же важный шаг в квантовой механике. Физика — это не только формулы, а глубокое понимание физических явлений, обогащенное математическим языком.

*) Связь энергии $E$ с импульсом частицы $p$ получается из системы уравнения: $E=mv^2/2$ и $p=mv$. (Прим. ped.)
**) Законы квантовой механики переходят в классические в пределе $h \rightarrow 0$. (Прим. ped.)

6

Координата или скорость?

В 1927 году один из создателей квантовой механики Вернер Гейзенберг размышлял о понятиях координаты и скорости частицы. Он проделывал мышленные эксперименты и понял, что невозможно одновременно точно изменить координату и скорость — чем точнее изменять координату электрона, тем менее определенной становится его скорость…

Чтобы изменить координату, нужно посмотреть в микросопп на электрон, освещенный светом короткой волны. При этом координата электрона будет изменена с неопределенностью порядка длины волны использованного света*). Но, взаимодействуя с волной, электрон получит отдачу. Его импульс изменяется на величины порядка импульса одного фотона. А этот импульс, как мы уже знаем, равен $h/\lambda$. Чем меньше $\lambda$, тем лучше будет изменена координата, но это тем более неопределенным станет имплусс.

Итак, неопределенность координаты составляет $\Delta q \sim \lambda$, а неопределенность импульса $\Delta p > h/\lambda$. Умножая выражение для $\Delta p$ на $\Delta q$, получим

$$\Delta q \cdot \Delta p > h.$$

Это и есть соответствие неопределенностей Гейзенберга.

Проделав множество подобных мышленных экспериментов, Гейзенберг пришел к заключению, что для микроэлектрицы существует принципальное ограничение, которое природа накладывает на понятие координаты и импульса. Это ограничения не знала классическая физика, оно не вносит изменений в описание больших тел из-за малости $h$.

Особенно квантовой механики заключится в том, что свойства микросоппических объектов нельзя изучать, отвлекаясь от способа накладения. В зависимости от него электрон проявляет себя то как волна, то как частца. Конечно, есть такие свойства, которые не зависит от способа накладения: масса, заряд, спин частцы**)…

Прициплальная неопределенность некоторых величины есть следствие применения классических понятий к описанию неопределенных объектов. Но это неизбежно — ведь изменительные приборы должны давать определенные показания, и в этом смысле они обязательно классичны. Не значит ли это, что нашей описание объективных свойств микрообъектов неопределенно и двусмысленно? Нет, язык классический физики, на котором говорят средства наklюдения, на котором мы формируем мысли, позволяет до конца исследовать квантовые свойства микрообъектов.

Квантовая механика помогла, наконец, вытащить занозу, применить представление об электроне как о частице и о волне. Сказочные мифические существа — кентавры, кони-люди,— в одной ситуации вопросают человекаскую мудрость и благожелательность, в другой проявляют животный буйный прав и невоздержанность; один из них воспитывает героев, другие вредят им. Частца-волна электрон — то человек, то конь, то конавр, в зависимости от ситуации, от вопросов, которые задает эксперимент.

Физический смысл волновой функции

Вернемся к опыту. Пусть электроны падают на экран с ответием. Поставим далоко за экраном фотопластику. Электрон, попав на нее, «засветит» зерно эмульсии, и его координата определяется с точностью до размеров зерна. Пучок электронов в результате дифракции засветит круг с радиусом $R$, значительно больше, чем радиус ответия. Если уменьшать интенсивность лучка электронов так, чтобы на экран паал, скажем, один электрон в минуту, дифракционная картина не изменится, надо только подольше подождать, пока она проявиется. Значит, и одному электрону нужно приписать вероятность попадания в то или иное место фотопластики…

Анализ подобных опытов позволяет Максу Борну в 1926 году предпользовать, что квадрат волновой функции определяет вероятность того или иного значения координаты или импульса электрона в зависимости от типа поставленного опыта.

7

Что помогло прийти к таким заключению? Вспомним, что теория волновых явлений света — интерференции и дифракции — была разработана задолго до уравнения Максвелла*), до понимания электромагнитной природы света. Предполагалось только, что источник света испускает волны неизвестной природы, а интенсивность света пропорциональная квадрату той величины, которая колблется. В современном представлении в световой волне колблотся во времени и пространстве электрическое и магнитные поля, и интенсивность света пропорциональная их квадрату. Но почти все волновые проявления света обязываются независимо от его природы. Было естественно и для волн, связанных с микрочастицами, считать, что имеет некий волновой процесс, а интенсивность — в нашем случае верятность — пропорциональная квадрату волновой функции.

Сначала предполагали, что волновым свойством частицы соответствуетrealное физическое поле, подобное электромагнитному в световой волне. Но тогда уже один электрон давал бы в одном акте всего дифракционную картину, а он чернит только одно зерно… Значит, волновая функция частицы не физическое поле и не физическая волна. Это «волна информации». Она представляет собой запись потенциальных возможностей исхода того или иного последующего наблюдания.

Волновая функция — максимальное полное допустимое описание состояния частицы. Она заменяет классические состояния, которое задается координатами и скоростями.

Удивительные свойства волновой функции казались Эйнштейну физической недопустимыми. Спор Эйнштейна с Бором продолжался много лет и способствовал выяснению понятный квантовой механики. Если принять, что волновая функция — волна информации, а не физическое поле, все становится на свое место. Ведь если волновая функция — описание верятностей, значит, опыт, проделанный в одном месте, может скачком изменить результаты измерений в другом месте. Это скачнообразное изменение верятности вызывано уточненем, новой информацией. Мы задаем вопрос: «Какова верятность получить двойку по физике?». Прибавив к этому уточнение, определяенное условиями, например: «не заглядывая дома в учебник», мы получим скачкообразное изменение верятности, она подскочит до единиц. Обратное условия: «полностью поняв и вычувв урок», снова скачом светят верятность к нулю.

Представим себе, что две частицы с суммарным импульсом, равным нулю, разделились, и нам нужно найти импульс одной из них в Москве, другой — на Северном полюсе. Верятность скачком изменится, если мы изменим импульс Москвыской частицы и будем искать импульс другой при условии, что Москвыский нам известен. Верятность зависит от того, какой вопрос мы поставим, отберем ли мы любые исходы северных опытов или только те, при которых Москвыский импульс имеет заданную величины. Ниччего странного и необычного в этом нет.

Квантовая механика не дает однозначного ответа на некоторых вопросы, а только верятность того или иного результата.

Нарушается ли причинность?

Удивительные условия небесной механики в XVII—XVIII веках внутренних глубокую веру в однозначность предсказания. Гордясь могутстроить свойства науки, французский астроном, математик, физик Пьер Лаплас сказаел: «Дайте мне координаты и скорости всех частиц, и я предсказую будущее Вселенной!»

Но вот мы узнали, что одновременно точно задать координаты и скорости частиц невозможно! Согласно квантовой механике можно указать только верятность того или иного значения координат и скоростей.

Наука уже сталкивалась с верятностью предсказаниями; классическая статистическая физика может ответить на вопрос: какова верятность найти частицу нагретого газа с такой-то энергей? Но эта верятностьрождана сложностью системы, нечочноство определения начального состояния, и за него стоит строя однозначность механических законов.

В квантовой механике верятность подлинная, обусловленная неопределенностью классических понятений. Она су-

8

шествует даже для самой простой системы — для одной частицы. Вероятностный характер законов Вселенной — главное открытие квантовой механики.

Согласно квантовой механике, на некоторых вопросы нельзя однозначно ответить — на взгляд классической физики приинность нарушена! Да, мы не можем задать координаты и скорости частиц, можем только задать в начальной момент волновую функцию и однозначно найти ее в любой более поздний момент.

Мы можем с такой же гордость, как и Лаплас, воскликнуть: «Дайте мне волновую функцию всех частиц, и я предсказу будущее!»

Итак, в более точном смысле приинность сохраняется; из максимального полно определенного в квантовом механическом смысле начального состояния однозначно следует единственно возможное состояние.

Квантовая механика — необычайно красивая и внутреннее непротиворечная теория, хорошо согласуются с опытом для своего круга является。

Применение квантовой механики к электромагнитному полю и к другим физическим полям

Применение квантовой механики к системе, колблющемся около положения равновесия, — осциллярном — имело удивительные следствия. Если классический осцилляр — мятник или грузик наружке — находится в покое в положении равновесия, квантовый — совершает «нулевые» колбания. Кинетическая и потенциальная энергия этих колбаний порядка $h\nu$. Среднее значение координаты осциллярта равно нулю, но среднее значение квадрата координаты отлучно от нуля*)! Энергия квантового осциллярта изменяется порциями $h\nu$ и для состояния с номером $n$ равна $E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)h\nu$.

Если рассматривать звуковые колбания твердого тела как набор квантовых осцилляртов, получится, что при абсцилтом нулей температуры atoms твердого тела не неподвижны — они совершают нулевые колбания. Это в точности подтверждается опытами по рассеянию света твердыми телами. Но и электромагнитные волны в пустоте можно считать набором осцилляторов, и, значит, в вакууме, где нет ни частиц, ни квантов, должны проискать нулевые колбания электромагнитного поля.

Попробуем разобраться, что такое квант света — фотон.

Для этого проделаем опыт. Представим себе, что между параллельными металлическими экранами образовалась стоячая электромагнитная волна перепедикулярно им. Если расстояние между экранами $l$, между ними может уменьшаться стоячая волна с максимальной длиной $\lambda$ такой, что $l = \lambda/2$. Частота волны $v = c/\lambda$ связана с возможными значениями энергии волны соответствием $E_n = (n+1/2)h\nu$. В наиболее состоянии с $n=0$ между экранами нет квантов. В состоянии с $n=1$ появляется один квант с длиной волны $\lambda = 2l$. При $n=2, 3, \dots$ есть два, три и так далее квантов с этой длиной волны.

Для следующих строчек волн (обертовов) с длинами $\lambda=l, l/2, \dots$ можно повторить то же самое. Для $m$-й волны $\lambda_m = 2l/m$. В этом состоянии также может быть сколько уголков квантов, они определяются степенью возбуждения данного осциллятора, а значок $m$ определяет длину волны, то есть тип осциллятора. Число $n_m$ — номер возбуждения осциллятора — показывает число квантов данного типа.

Кванты принято характеризовать не длиной волны, а величиной, которая называется «волновым вектором». Модуль волнового вектора $k$ просто связана с длиной волны: $k = 2\pi/\lambda$. Для каждой $k$ свой осцилляр и свои кванты, число которых равняется номеру возбуждения осциллятора.

И в бегущей волне проискодят периодические колбания. Энергию волны для каждой волнового вектора тоже можно записать как энергию осциллятора, изменяющего порядки $h\nu$. Но бегущая волна обладает количеством движения, значит, квант будет иметь импульс. У частицы с массой, равной нулю, импульс равняется энергии, деленной на скорость света: $p = h\nu/c$.

*) См. статью А. Б. Мигдала «Вычисления без вычислений» в «Кванте» № 8 за 1979 год. (Прим. ред.)