Если массы заменить на площади...

35

Если массы заменить на плоскади…

ЧАН КУАНГ

В этой статье мы докажем несколько теорем, которые можно смело отнести к желчужинам элементарной геометрии. Бесспорно, эти теоремы должны доставить читателю удобные даже одними свойствами формулировками. Но мы расссказываем о них здесь по другой причине — они будут выведены из одной формулы — формулы Лагранжа для вычисления «момента инерции». Приведем ее для служая трех точек A, B, C:
$$\alpha |PA|^2 + \beta |PB|^2 + \gamma |PC|^2 = \frac{1}{\mu} (\alpha \beta c^2 + \beta \gamma a^2 + \gamma a b^2) + \mu |PZ|^2;$$
(1)

здесь A, B, C и P — произвольные точки, α, β и γ — произвольные числа (понимаемые как «массы», сосредоточенные в точках A, B и C), μ = α + β + γ ≠ 0, a, b, c — длины отрезков BC, CA, AB, наконец, Z — это центр масс системы материалов точек αA, βB, γC, то есть, по определению, точка, удовлетворяющая условиям
$$\alpha ZA + \beta ZB + \gamma ZC = 0$$
(материальный точкой называют пару (точка, число), αA, βB и γC — критические обозначения материалов точек (A, α), (B, β), (C, γ)). В принципи, сказанного достаточно, и чтобы вывести формулу (1), и чтобы понимать дальнейшее. Но все же мы советем ознакомиться с статьей В. Н. Дубровского «Момент инерции в геометрии» в предыдущем номере журнала, где доказывается формула Лагранжа (формула(7) из этой статьи), объясняется, как она связана с «моментом инерции», и приводятся еще некоторые ее геометрические следствия, а также необходимые свойства масс.

37

крашая на $abc \cdot |DA| \cdot |DB| \cdot DC/4RS^2$, получим, что
$$-c \cdot |DC| - a \cdot |DA| + b \cdot |DB| = 0,$$
то есть
$$|DB| \cdot |AC| = |DA| \cdot |BC| + |AB| \cdot |DC|.$$

Площадь педального треугольника
Выражение, стоящее в правой части (4), выглядает довольно неуклюжке, но, как мы сейчас увидим, оно имеет хороший геометрический смысл. Опустим из точки $Z$ перpendикуляры $ZA_1, ZB_1$ и $ZC_1$ на прямые $BC, CA$ и $AB$ (рис. 5). Образовавшийся треугольник $A_1B_1C_1$ называется педальным треугольником точки $Z$. Леонард Эйлер обнаружил, что его площадь равна
$$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{|OZ|^2}{R^2} \right) S_{ABC}$$
(обе площади ориентированные!). Выведем этот результат из нашей формулы (4). Для этого мы докажем, что $S_aS_bc^2 = abcR \cdot S_{ZA_1B_1}$. Складывая это равенство с аналогичными равенствами для двух других слгаемых в правой части (4), мы получим:

$$R^2 - |OZ|^2 = \frac{1}{S^2} abcR \left( S_{ZA_1B_1} + S_{ZB_1C_1} \right) + S_{ZC_1A_1}$$
$$= \frac{4R^2}{S_{ABC}} S_{A_1B_1C_1},$$
что эквивалентно формуле Эйлера.

Итак, рассмотрим выражение $S_aS_bc^2$. Ясно, что $|S_a| = a |ZA_1|/2$, $|S_b| = b |ZB_1|/2$, $c = 2R \sin \widehat{ACB} = 2R \sin A_1ZB_1$ (поскольку стороны углов $ACB$ и $A_1ZB_1$ взаимно перpendикуляры, их величины равны или дают в сумме $180^\circ$). Следовательно,
$$|S_aS_bc^2| = abcR \cdot \frac{1}{2} |ZA_1| \|ZB_1| \sin A_1ZB_1 = abcR |S_{ZA_1B_1}|.$$

Остается доказать, что знак произведения $S_aS_b$ совпадает со знаком $S_{ZA_1B_1}$. Это легко сделать, перебирая четыре возможных слугая расположения точки $Z$ относительно прямых $AC$ и $BC$ (внутри каждой из четырех углов, образованных этих прямыми, знаки $S_a, S_b$ и $S_{ZA_1B_1}$ постояны).

В заключение приведем еще одну старинную теорему: основанная перпендикуров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны (или их продолжения), лежат на одной прямой — «прямой Симсона» (рис. 6).