38
Рис. 6.
Эта теорема сразу следует из формулы Эйлера, потому что для точки Z, лежащей на описанной окружности, площадь педального треугольника равна нулю, то есть он вырождается в прямую.
Задание
Если точка Z служит центром масс системы материалов точка αA, βB, γC, то три числа α, β, γ называются барицентрическими координатами точки Z относительно точки A, B, C.
-
Докажите, что для любой точки плоскости барицентрические координаты определяны однозначно с точностью до пропорциональности и обратно, любая трейка чисел (α, β, γ) с нелевой суммой задаетровно одну точку плоскости.
-
Докажите, что барицентрические координаты «замечательных точек» в треугольнике ABC относительно его вершин равны: для центра Z вписанной окружности — (a, b, c); для центра Z внешней окружности, касающейся стороны BC, — (-a, b, c); для центра O описанной окружности — (sin 2A; sin 2B; sin 2C); для точки H пересечения высот — (tg A, tg B, tg C); для точки G пересечения медиан-(1, 1, 1).
-
Докажите, что расстояние между точками M и M’ с барицентрическими координатами (α, β, γ) и (α’, β’, γ’) относительно точки A, B, C при α+β+γ=α’+β’+γ’=1 можно вычислить по формуле |MM’|²=-(a²k_bk_c+b²k_a+c²k_bk_b), где k_a=α-α’, k_b=β-β’, k_c=γ-γ'.
-
Выразите расстояния от центра описанной окружности треугольника до центра вписанной и внешней окружности через радиус этих окружностей.
-
Докажите, что (в обозначениях задачи 2) |OG|²=R²-(a²+b²+c²)/9, где R — радиус описанной окружности.
Новости науки
Новый вид радиоактивного распада
В природае есть много элементов, в основном тяжелых, которые самопроизвольно излучают альфа-частицы, бета-частицы и гамма-лучи.*) Эти элементы образуют три естественного радиоактивных ряда (семейства), где каждый последующий член воз�nikaет в результате радиоактивного распада предыдущего.
Родоначальник одного ряда — это ядро 238U, изотопа урана с массовым числом 238 (семейство урана), другого — ядро тория 232Th (семейство тория) и третьero — ядро изотопа урана 235U, называемого также аktинуραном (семейство аktиния). Заканчиваются все три ряда источников ядром
того или иного изотопа свинца.*)
В семействе, которое начинается с 235U, есть ядро изотопа радия, которое распадается с излучением альфа-частицы, превращается в ядро радиона. За этим распадом следует еще два аналогичных — превращение радиона в полоний и полония в свинце:
223Ra → α → 219Rn → α → 215Po → α → 211Pb.
Физиков давно интересовал вопрос — обязаться ли α-частицам вылетать по очереди или они могут обединиться в ядро углерода 12C и вылететь одним большим «куском»? Этому процессу, естественно, мешает отсутствие в ядре радиого ядра углерода. Впрочем, α-частица тоже не «заготовлена» заранее, а должа «собратья» перед самым вылетом из ядра. Оказывается, α-частице это сделать все же легче, чем ядр углерода, и до последнего времени никак не наблюдал вылета легкого ядра (кроме ядра атома геляя, то есть альфа-частицы) из тяжелого.
*) Естественная радиоактивность была открыта в 1896 году.
В 1940 году было открыт (К. А. Петряком и Г. Н. Флеровым) спонтанное деление тяжелых ядер на два примерно одинаковых осколка, но это явление вовсе не похож на вылет легкой частицы. Лишь совсем недавно был обнаружен новый вид радиоактивного распада, который происходит с излучением ядра углерода. Оказывось, что из радия действительно вылетает ядра углерода, причем не 12C, а 14C, так что три α-частицы прихватывают с собой еще два нейтрона. При этом, как показывает расчет, достигается максимальный выгрыш энергии — 32 МэВ. Если бы вылетало ядро изотопа 12C, то оно уносило бы меньше энергии — 28 МэВ.
Вероятность вылета ядра 14C очень мала — она меньшевероятности α-распада радия в 1010 раз. Другими словами, одно ядр углерода вылетает на 10 миллиардов альфа-частицы. По оценкам вылет ядра 12C еще менеевероятен (меньше еще в 106 раз). С такой жевероятностью должны вылетать ядра и других изотопов (13C, 15C).
Можно с увеличенной сказать, что для физков открылась новая область исследований. Я. С.