Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →
29
Toán 8, 9
Bài viết “Thêm 13 cách chứng minh định lý bicsectrix” dưới đây dành cho học sinh lớp 8. Bài “Về Định lý Lagrange” dành cho học sinh lớp chín. Đương nhiên, những ghi chú nào trong số này có thể hữu ích và thú vị không chỉ đối với học sinh của các lớp này.
Thêm 13 cách chứng minh định lý bicsectrix
Trên tạp chí «Kvant» số 8 năm 1983, một ghi chú của S. R. Sefi-bekov “Bốn cách chứng minh định lý bicsectrix” đã được xuất bản. Các biên tập viên đã nhận được một số thư từ độc giả cung cấp những bằng chứng mới về định lý này. Cơ sở của ghi chú này là các tài liệu do S.G. Guba gửi đến. Ngoài ra, bằng chứng được chỉ ra bởi A.V. Alyaev, A.G. Goldberg, V.N. Dubov, A.I. Mostov đã được sử dụng.
Chúng ta hãy nhắc lại các điều kiện của định lý.
Trong bất kỳ tam giác nào, đường phân giác của góc trong chia cạnh đối diện thành các đoạn tỉ lệ với các cạnh liền kề. Nói cách khác, nếu tam giác ABC chứa CD bicsectrix thì AD:BD=AC:BC.
Chúng ta hãy trình bày thêm bảy cách chứng minh định lý này, sáu trong số đó học sinh lớp bảy có thể tiếp cận được sau khi hoàn thành chủ đề “Biến đổi các hình”.
Rõ ràng, nếu AC=BC thì định lý đúng. Vì vậy, chúng ta sẽ giả sử rằng AC≠BC. Ví dụ: Giả sử AC>BC. thì CD bicsectrix không thể phân bố lại cho cạnh AB, vì nếu không thì các tam giác vuông CAD và CBD sẽ bằng cạnh và góc nhọn liền kề, từ đó AC = BC.
Bằng chứng đầu tiên. Chúng ta hãy dựng điểm E trên tia CD sao cho AE=AD (Hình 1). Khi đó ∠AEC=∠ADE=∠CDB. Do đó, hai tam giác ACE và BCD đồng dạng (ở hai góc). Điều này có nghĩa là AE:BD=AC:BC. Xét AE=AD nên ta được AD:BD=AC:BC.
Bằng chứng thứ hai. Chúng ta hãy dựng điểm E trên tia CD sao cho AE=AC (Hình 2). Khi đó ∠AED=∠ACD, tức là hai tam giác AED và BCD đồng dạng. Từ sự giống nhau của chúng ta có AD:BD=AE:BC. Vì AE=AC nên định lý được chứng minh. Phương án thi công - kiểm tra qua điểm A một đường thẳng song song với CB cho đến khi cắt đường thẳng CD tại điểm E.
Bằng chứng thứ ba. Từ đỉnh A và B, chúng ta hạ các phân phối lại AE và BF xuống đường thẳng CD (Hình 3). Từ sự đồng dạng của các tam giác vuông ADE và BDF ta thu được AD:BD=AE:BF. Đồng thời, từ sự đồng dạng của các tam giác vuông ACE và BCF ta sẽ có AC:BC=AE:BF. Trong các tỷ lệ thu được, các tỷ lệ bên phải bằng nhau, do đó các tỷ lệ bên trái bằng nhau, tức là AD:BD=AC:BC.
Bằng chứng thứ tư. Vẽ một đường thẳng qua điểm D song song với cạnh AC (Hình 4). Khi đó, theo định lý Thales tổng quát