Bài toán M906—M910; F918—F922

37

Nhiệm vụ

M906—M910; F918—F922
M906. a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a đều có phương trình
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{a}$$

có ít nhất ba lời giải trong các số tự nhiên x và y.
6) Tìm số số nguyên dương lời giải của phương trình này để biết a=1985.

M907. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh a=BC, b=AC, c=AB biết rằng $3\hat{A} + 2\hat{B} = 180^\circ$. Chứng minh rằng $a^2 + bc - c^2 = 0$.

T. A. Dzhortmenadze

M908. Trên cạnh AB của tam giác ABC, chọn điểm P và vẽ các đường thẳng song song với BC và AC đi qua nó cho đến khi chúng cắt các cạnh AC và BC lần lượt tại các điểm M và N. Với cách chọn điểm P nào thì đoạn MN có độ dài ngắn nhất?
Giải bài toán a) cho tam giác có góc vuông C; 6)* cho tam giác ABC tùy ý.

E. G. Gotman

M909. a) Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộng của 4 số hạng khác nhau chỉ chứa lũy thừa của các số tự nhiên $n^k (k \geqslant 2)$. Liệu một cấp số như vậy có tồn tại từ 6) bất kỳ số hữu hạn nào, c) vô số số hạng không?
Có cấp số cộng vô hạn (không cố định) nào không chứa d) lũy thừa của một số tự nhiên, e) không phải là một số có các chữ số giống nhau không?

P. H. Azizyan, V. Tolstykh, A. V. Alleyev

M910. Điểm $A_1, A_2, \dots, A_6$ được lấy trên các cạnh của hình lục giác đều (Hình 1). Được biết, ba cặp cạnh không hài hước của hình lục giác $A_1 \dots A_6$ ($A_1A_2, A_3A_4, A_5A_6$) xác định tam giác KLM, các đỉnh của tam giác này nằm trên phần kéo dài của các đường chéo của một hình lục giác đều. Chứng minh rằng điều này cũng đúng với ba cạnh còn lại của lục giác $A_1 \dots A_6$.

S. Yu. Orevkov

F918. Một cặp nhóm A và B giống hệt nhau, không bao giờ được nối với nhau bằng một sợi dây có chiều dài l, bắt đầu rơi khỏi một mặt bàn nhẵn có chiều cao l và tại thời điểm ban đầu nhóm B có độ cao h=2l/3 tính từ

38

sàn nhà (Hình 2). Sàn tiếp cận được, trọng lượng $B$ nổi lên đó; trọng lượng $A$ bay khỏi bàn vào lúc này. Trọng lượng $A$ sẽ bằng bao nhiêu so với mặt sàn khi sợi dây lại căng ra?

G. L. Kotkin

F919. Hình 3 cho thấy mặt cắt ngang của thiết bị sử dụng chiều dài làm tiêu chuẩn. Thanh trung tâm $C$ và vỏ ngoài $A$ của thiết bị được làm bằng vật liệu có hệ số giãn nở nhiệt $\alpha_1$; độ dài của chúng ở $t_1=20$ °C bằng nhau và bằng $l$. Trọng lượng bên trong $B$ được làm bằng vật liệu có hệ số giãn nở nhiệt $\alpha_2$. Chiều dài của ống bên trong ở $t_1=20$ °C phải là bao nhiêu để tiêu chuẩn đầy đủ $|CD|$ không thay đổi khi nhiệt độ thay đổi?

A. P. Ershov

F920. Không khí được thổi qua một ống có tiết diện thay đổi. Lỗ đầu vào của ống có diện tích $S_1$ và lỗ đầu ra có diện tích $S_2$. Ở tốc độ không khí đầu vào là $v_1$, nhiệt độ - $T_1$, áp suất - $p_1$; ở đầu ra nhiệt độ không khí là $T_2$, áp suất là $p_2$. Tốc độ không khí thoát ra là gì?

G. L. Kotkin

F921. Một tụ điện bản song song được nối với nguồn điện áp $U$. Các bản của tụ điện có diện tích $S$ mỗi bản, khoảng cách giữa các bản là $d_1$. Một tấm kim loại có diện tích $S$ và độ dày $d_2$ (Hình 4), có khối lượng $m$, được ép vào một tấm. Nhựa đang bong ra. Với tốc độ bao nhiêu thì nó sẽ chạm vào bản kia của tụ điện? Bỏ qua ảnh hưởng của trọng lực.

F922. Chụp ảnh những con kiến ​​ở cự ly gần, người thực nghiệm đã sử dụng một vòng mở rộng để tăng khoảng cách từ phim đến đối tượng thêm $\Delta l=7,5$ mm. Hình ảnh sắc nét của con kiến ​​thu được trong trường hợp khoảng cách $b=1,05$ m được đặt trên khung đối tượng (các giá trị khoảng cách từ đối tượng đến đối tượng được biểu thị trên khung mà không sử dụng các vòng mở rộng). Tiêu cự của vật là $F=50$ mm. Con kiến ​​cách vật thể bao xa? Coi thấu kính là một thấu kính mỏng.

A. P. Ershov

Problems

M906—M910; P918—P922

M906. a) Prove that for any positive integer $a$ the equation

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{a}$$

has at least three positive integer solutions $(x, y)$.

b) Find the number of positive integer solutions for $a=1985$.

M. V. Slavinski