Задачи М906—М910; Ф918—Ф922

37

Задчи

M906—М910; Ф918—Ф922
M906. а) Докажите, что при любом натуральном а уравнение
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{a}$$

имеет по крайней мере три решения в натуральных числах x и y.
6) Найдите число натуральных решений этого уравнения при a=1985.

M907. Про треугольник ABC с длинами сторона a=BC, b=AC, c=AB известно, что $3\hat{A} + 2\hat{B} = 180^\circ$. Докажите, что $a^2 + bc - c^2 = 0$.

T. A. Джортменадзе

M908. На стороне AB треугольника ABC выбирается точка P, и через нее проводятся прямые, параллельные BC и AC, до пересечения со сторонами AC и BC соответственно в точках M и N. При каком выборе точки P отрезок MN имеет наименьшую длину?
Решите эту задачу a) для треугольника с прямым углом C; 6)* для произвольного треугольника ABC.

Э. Г. Готман

M909. а) Докажите, что существует арифметическая прогрессия из 4 различных членов, содержащая только степени натуральных чисел $n^k (k \geqslant 2)$. Существует ли такая прогрессия из 6) любого конечного числа, в) бесконечного числа членов?
Существует ли бесконечная (не постоянная) арифметическая прогрессия, не содержащая г) ни одной степени натурального числа, д) ни одного числа, составленного из одинаковых цифр?

P. H. Азизян, B. Толстых, A. B. Аллеев

M910. На сторонах правильного шестиугольника взяты точки $A_1, A_2, \dots, A_6$ (рис. 1). Известно, что три попарно не смешные стороны шестиугольника $A_1 \dots A_6$ ($A_1A_2, A_3A_4, A_5A_6$) определяют треугольник KLM, вершины которого лежат на продолжениях диагоналей правильного шестиугольника. Докажите, что это верно и для трех других сторон шестиугольника $A_1 \dots A_6$.

С. Ю. Оревков

Ф918. Пара одинаковых группов A и B, связанных неверсом нитью длины l, начинает сокальывать с гладкого стола высоты l, причем в начальной момент групп B находится на высоте h=2l/3 от

38

пола (рис. 2). Доступный пола, грузик $B$ приплпает к нему; грузик $A$ в этот момент слетает со стола. На какой высоте над уровнем пола будет грузик $A$, когда нить вновь окажется натянутой?

Г. Л. Коткин

Ф919. На рисунке 3 показано долевое сечение прибора, использующего в качестве эталона длины. Центральный стержень $C$ и внешняя оболочка $A$ прибора сделаны из материалов с коэффициентом теплового расширения $\alpha_1$; их длины при $t_1=20$ °C одинаковы и равны $l$. Внутренняя груза $B$ сделана из материалов с коэффициентом теплового расширения $\alpha_2$. Какой должа быть длина внутренней трубы при $t_1=20$ °C, чтобы при изменении температуры полная эталона $|CD|$ не менялась?

А. П. Ершов

Ф920. Через трубку переменного сечение продукют воздуха. Входное отверстие трубки имеет площадь $S_1$, выходное — $S_2$. На входе скорость воздуха $v_1$, температура — $T_1$, давление — $p_1$; на выходе температура воздуха $T_2$, давление — $p_2$. Какова скорость воздуха на выходе?

Г. Л. Коткин

Ф921. Плоский конденсатор подключен к источнику напряжения $U$. Пластины конденсатора имеют площадь $S$ каждой, расстояние между пластинами равно $d_1$. К одной пластине прижата металлическая пластинка площади $S$ и толщины $d_2$ (рис. 4), имеющая массу $m$. Пластику отpusходит. С какой скоростью она ударится о другую пластину конденсатора? Влиянием силы тяжести пренебречь.

Ф922. Фотография муравы с близкого расстояния, экспериментатор использовал удлинительное колюц, которое увеличило расстояние от пленки до объекта на $\Delta l=7,5$ мм. Резкое изобравнение муравы получилось в том случае, когда на шкаffe объекта было установлено расстояние $b=1,05$ м (на шкаffe указываются значения расстояний от предмета до объекта без использования удлинительных колц). Фокусное расстояние объекта $F=50$ мм. На каком расстоянии от объекта находился муравей? Считать объектив тонкой линзой.

А. П. Ершов

Problems

M906—M910; P918—P922

M906. a) Prove that for any positive integer $a$ the equation

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{a}$$

has at least three positive integer solutions $(x, y)$.

b) Find the number of positive integer solutions for $a=1985$.

M. V. Slavinski