Многогранники-торы

Квант 1985, №2 с. 3-4 Тег XK38

Многогранники-торы

А. В. БУШМЕЛЕВ, С. А. ЛАВРЕНЧЕНКО

В этой заметке расссказывается о том, как найти многогранник с наименьшим числом вершин, имеющий форму тора (бублика). Картоные модели таких «рекордных» многогранников-торов (с 7 и 8 вершинами) показаны на фотографины выше. В заметке расссказывается не только о теории вопроса, но даются рецепты изготовления подобных моделей.

Многогранником называют поверхность, ограничивающего некоторый объем и состоящую из конечного числа плоских многогуляников — граней многогранника. Стороны граней называются ребрами. К каждому ребру примыкаютровно 2 грани. От всякой грани можно перейти к другому, переходя через ребра. Грани могут пересекаться либо в одной вершине, либо по одному целому ребру.

Предположим, что наши многогранники — резиновые, а потому, после «раздувания» их как воздушных шариков, один из них будет походить на сферу, другие — на тор, третьи — на крепдель и т. д. (рис. 1). В дальнейшем под многогранниками будут подразмещаться исключительно многогранники с треугольными гранями.

Треугольные сети на поверхности

При «раздувания» данного многогранника ребра и грани искривляются, и на «раздутом» многограннике образуется сеть из кривойных треугольников. Таким образом, каждому многограннику соответствует треугольная сеть на сфере (если многогранник типа сферы) или на торе (если многогранник типа тора).

Такую треугольную сеть можно начертить непосредственно на поверхности сферы или тора. Для этого нужно отметить на поверхности определенное число точек (узлы), соединить их непересекающимся линиями без самопересечений (дугги) так, чтобы поверхность оказалась разбитой на части (области), каждая из которых ограничена треягуми и треягузами, а пересечение двух областей либо пусто, либо состоит из одного узла, либо состоит из одного ребра.

Reализация сетей многогранники

Теперь естественно поставить такой вопрос: всякая ли треугольная сеть, начерченная указанным выше образом на поверхности сферы или тора, получается из вершин, ребер и граней некоторых многогранника его «раздувания»? Другими словами, можно ли всякую треугольную сеть на сфере или на торе реализовать в виде настоящого многогранника так, чтобы узлы

и вершины, дуги и ребра, области и грани взаимно-однозначно соответствовали бы друг другу с сохранением примыкания (то есть так, чтобы узлы, соединенные другой, отвечали бы вершинам, соединенным соответствующим ребром, и дуги, ограничивающие область, отвечали бы ребрам, ограничивающим соответствующее грань)?

Для сферы положительной ответы был установлен еще давно немецким математиком Штейницем, который доказал к тому же, что многогранник, реализующий сеть, всегда можно выпуклым. В настоящее время доказано и обобщение теоремы Штейница на случай того: всякая треугольная сеть на торе реализуется многогранником.

Примеры треугольных сетей на торе

Для того чтобы привести такие примеры, можно взять резиновую камеру в форме тора, отметить на ней узлы и нарисовать дуги сети. Однако, то, что при этом получится, затруднительно будет изобразить на листе бумаги, поэтому будем пользоваться следующей разверткой тора на плоскости. Проведем на нашей камере две замкнутые линии — $C_1$ и $C_2$ (рис. 2a)). Затем разрежем камеру вдоль линии $C_1$ (рис. 26)), после чего камеру можно продеформировать в цилиндр (рис. 2в)). Разрезаем этот цилиндр по линиям $C_2$ , и то, что получилось (рис. 2г)), растяиваем на плоскости в виде квадрата (рис. 2д)). Итак, тор можно изобразать на плоскости в виде квадрата с отношением противоположными сторонами.

Без доказательства сообщаем, что список треугольных сетей на торе с 7 и 8 узлами исчерпывается рисунком 3.

Задача. Докажите, что многогранников типа тора с числом вершин меньше 7 не существует.

Указание. Воспользовитесь формулой Эйлера $\Gamma - P + B = 0$ и соответствием $3\Gamma = 2P$ (вытекающим из того, что для треугольных сетей к каждому ребру примыкаютрово 2 грани, а каждая грань ограничена 3 ребрами), где $\Gamma$ , $B$ , $P$ число граней, вершин и ребер, соответственно.

Методика реализации сетей с малым числом узлов

Начем с реализации сети 6) (рис. 3) (модель изображена на с. 3 справа). ШестЬ вершин располагаются в некоторой плоскости $a = (v_2v_5v_7)$ (рис. 4). В этой же плоскости $a$ лежат 4 грани — $v_7v_2v_3$ , $v_7v_3v_8$ , $v_8v_4v_5$ , $v_2v_4v_5$ . Расположим вершину $v_1$ гдеибудь над $a$ , а $v_6$ — где-нибудь под ней. Для каждой грани, исходящей из $v_1$ (из $v$ ), ребро, противолежащее вершине $v_1$ (вершине $v_6$ ), лежит в плоскости $a$ ; все такие ребра помещены снимом (красным) цветом на рисунке 4.

Переходим к реализации остальных сетей. Нам потребуется преобразование перестройки многогранников (рис. 5), которое можно применить к пале граней, дающих в объединении плоский выпуклый четырехугольник. В изложенном выше построении расположим $v_1$ над ребром $v_7v_5$ , а $v_6$ — под ним. Перестройка, примененная к грамям $v_1v_7v_5$ и $v_6v_7v_5$ , приводит