29
Математика 8, 9
Публикуемая ниже заметка «Еще 13 доказательства теоремы о bicсектрисе» адресована восемиклассикам. Заметка «О теореме Лагранжа» предназначаена для девятиклассиков. Естественно, какая из этих заметок может быть полезной и интересной не только учащимся указанных классов.
Еще 13 доказательства теоремы о bicсектрисе
В журнале «Квант» № 8 за 1983 год была помещена заметка С. Р. Сефи-бекова «Четыре доказательства теоремы о bicсектрисе». Редакция получила ряд писем от читателей, в которых приводятся новые доказательства этой теоремы. Основной настоящей заметки послужили материалы, которые прислал С. Г. Губа. Кроме того, были использованы доказательства, указанные А. В. Аляевым, А. Г. Гольдбергом, В. Н. Дубовым, А. И. Мостовым.
Напомним условия теоремы.
Во всяком треугольнике bicсектриса внутреннего угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Иными словами, если в треугольнике ABC проведена bicсектриса CD, то AD:BD=AC:BC.
Приведем еще семь доказательств этой теоремы, шесть из которых вполне доступны семиклассиком после прохождения темы «Преобразования фигур».
Очевидно, если AC=BC, то теорема верна. Поэтому будем считать, что AC≠BC. Пусть, например, AC>BC. тогда bicсектриса CD не может быть перепределилуран к стороне AB, так как в противном случае прямогольные треугольники CAD и CBD были бы равны по катету и прилежащему острому углу, откуда следовало бы, что AC=BC.
Первое доказательство. Построим на луче CD точку E, такую, что AE=AD (рис. 1). Тогда ∠AEC=∠ADE=∠CDB. Следовательно, треугольники ACE и BCD подобны (по двум углам). Это значит, что AE:BD=AC:BC. Принаяв во внимание, что AE=AD, получим AD:BD=AC:BC.
Второе доказательство. Построим на луче CD точку E, такую, что AE=AC (рис. 2). Тогда ∠AED=∠ACD, то есть треугольники AED и BCD подобны. Из их подобия имеем AD:BD=AE:BC. Поскольку AE=AC, то теорема доказана. Вариант построения — проверки через точку A прямую, паралельную CB, до пересечения с прямой CD в точке E.
Третье доказательство. Из вершин A и B опустим перепределилуры AE и BF на прямую CD (рис. 3). Из подобия прямогольных треугольников ADE и BDF получим AD:BD=AE:BF. В то же время из подобия прямогольных треугольников ACE и BCF будем иметь AC:BC=AE:BF. В полученных пропорциях правые отношения равны, поэтому равны и левые, то есть AD:BD=AC:BC.
Четвертое доказательство. Проведем через точку D прямую, паралельную стороне AC (рис. 4). Тогда по обобщенной теореме Фалеса