Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

54

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Математика

Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-математический факультет)

1. Решите уравнение
   $$x^2 + 3x + |x + 3| = 0.$$
2. Средний уравнение
   $$\frac{\cos 2\pi x}{1 + tg \pi x} = 0$$
   найдите тот, расстояние от которого до числа $\sqrt{13}$ на числовой прямой будет наименьшим.
3. Из середины $D$ гипotenузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ проведен луч, перепедикулярный к гипotenузе и пересекающий один из катетов. На нем отложен отрезок $DE$, длина которого равна поливине длины отрезка $AB$. Длина отрезка $CE$ равна 1 и совпадает с длиной одного из катетов. Найдите площадь треугольника $ABC$. Представьте в виде десятичной дроби приближенное значение этой площади с точностью до 0,01.
4. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 2^{3x+1} + 2^{y-2} = 3 \cdot 2^{y+3x}, \\ \sqrt{3x^2 + 1 + xy} = \sqrt{x+1}. \end{cases}$$
5. В четырехугольной парамиде $SABCD$ основание $ABCD$ имеет свойство симметрины диагональ $AC$, длина которого равна 9, а точка $E$ пересечения диагоналей четырехугольника $ABCD$ делит отрезок $AC$ так, что длина отрезка $AE$ меньше длины отрезка $EC$. Урез середину бокового ребра парамиdes $SABCD$ проведена плоскость, параллельная основанию и пересекающая с ребрами $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ соответственно в точках $A', B', C', D'$. Получившийся многоугольник $ABCDA'B'C'D'$, являющийся часть парамиdes $SABCD$, пересекается плоскостью $a$ по правильному шестиугольнику, длина стороны которого равна 2. Найдите площадь треугольника $ABD$, если плоскость $a$ пересекает отрезки $BB'$ и $DD'$.

Вариант 2
(химический факультет)

1. Решите неравенство
   $$\frac{\log_3(1-x)}{x^2-3} \geq 0.$$
2. Экскаватор рост котлован с постоянной произвольностью. После того как он закончил работу, второй экскаватор стал рыть такой же котлован также с постоянной произвольностью. Время, которое затратили обе экскаватора на рыть двух котлованов, в 4 $\frac{1}{12}$ раза превышает время, которое затратили бы обе экскаватора, вырыв совместно один котлован. Первый экскаватор работает с большей произвольностью, а суммарная произвольность общих экскавatorов составляет 70 м³/ч. Чему равна произвольность каждой экскавatoria?
3. Определите, при каких значениях $x$ функция
   $$f(x) = x^2 (18 \sin 3x - 45 \cos 3x) + x (12 \cos 3x + 30 \sin 3x) + 68 \sin 3x - 170 \cos 3x$$ имеет минимумы.
4. В правильную четырехугольную парамиду $SABCD$ с вершиной $S$, у которой длина ребра основания равна 2, а длина бокового ребра равна $\sqrt{3}$, присана правильная четырехугольная парамидя $S'A'B'C'D'$ с вершиной $S'$, у которой длины всех ребер равны между собой. При этом вершина $S'$ лежит в плоскости $ABCD$, а вершины $A', B', C', D'$ лежат на четырехугольных парамидях $SABCD$. Доказите, что вершина $S'$ лежит в точке пересечения диагоналей квадрата $ABCD$, и найдите объем парамиды $S'A'B'C'D'$.
5. Найдите все $a$, при которых неравенство
   $$-\frac{1}{2}|a+2| \cdot |x+a+4| + \left(|a+2| - \frac{a^2+4a+3}{|a+2|}\right) \times |x+2| - \frac{1}{2}|a+2| \cdot |x-a| \geq -2$$ выполняетсяровно для двух различных значений $x$.
   Вариант 3
   (бюлологический факультет)
6. Решите неравенство
   $$\frac{x}{1-x} < x-6.$$
7. Решите уравнение
   $$\cos 2x+2 \cos x+7 = 2 \sin \left(\frac{7}{2} \pi+x\right) + 4 \sin^2 \frac{x}{2}.$$
8. Решите уравнение
   $$\sqrt{4+2 \log_2 \left(1-\frac{8x}{(2x+1)^2}\right)} = \log_2 \left(\frac{2x+1}{2x-1}\right) + 2 \log_2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right).$$
9. В основании четырехугольной парамидии $SABCD$ лежит ромб $ABCD$ со стороны длины $a$. Длина диагонали $AC$ ромба в 1,5 раза больше длины его стороны. Основание высоты парамидии совпадает с центром ромба, и ее длина в 1,5 раза больше |AC|. Через точку $A$ и середину ребра $CS$ проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания парамидии угол 45°. Какова площадьечения парамидии этой плоскости? Сколько таких плоскостей можно построить?
10. Решите систему уравнений:
    $$\begin{cases} y^4 - 4y^3 - 16y^2 - 8xy - 4x^2 + 32y + 64 = 0, \\ \sin (5\pi x) - \sqrt{x(x-6)+13} \times \cos \left(\pi \left(y^2+2x+\frac{1}{2}\right)\right) + \sin \left(\pi (2y^2-x)\right) = 0. \end{cases}$$
    Вариант 4
    (факультет повоеведения)
11. Производительность трех насосов относится как 5:4:2. За 7 часов первый насос перекачаал на 6 м³ воды больше, чем третьий. Определите произвольность каждой из трех насосов.
12. Решите уравнение

55

2 cos² x = 1 + √2 - cos 2x.

3. Решите неравенство
   $$\log_2 \left| 1 + \frac{9}{x^2} \right| < 1.$$

4. В треугольнике ABC угол при вершине A равен 45°, длина стороны AB равна c, длина стороны AC равна b, причем b ≥ c. На продолжении стороны BC за точку C выбрана точка M так, что угол BAM равен 75°. Примя AM пересекает окружность, описанной вокруг треугольника ABC, в точке N, расположенной между A и M. Определите длину AN.

5. Укажите все значения a, при которых уравнение
   $$\sqrt{5a + \sqrt{5a - x - \frac{x^2}{4}}} + x + \frac{x^2}{4} = 0$$
   имете решение.

Вариант 5
(геоэффициент факультет)

1. Решите уравнение
   $$2 \sin \frac{x}{4} \cos 3x = \cos 3x.$$

2. В правильном треугольнике со стороной, равной 6, на одной из сторон взята точка на расстоянии 1 от ближайшей вершины. Найдите расстояние от этой точки до центра треугольника.

3. Найдите наименьшее значение функции
   $$f(x) = 6x + e^{-6x}.$$

4. В правильной четырехугольной парамиде угол между боковыми ребрами, лежащими в одной грани, равен $\frac{\pi}{3}$. Через точку, лежащую на одном из боковых ребер, проведена прямая, перpendикularная этому ребру и пересекающая высоту парамиды в середине. Известно, что длина отрезка этой прямой, лежащого внутри парамиды, равна 6. Найдите длину бокового ребра парамиды.

5. Найдите все действительные значения a, при каждом из которых система уравнения
   $$\begin{cases} y (ax - 1) = 2 |x + 1| + 2xy, \\ yx + 1 = x - y \end{cases}$$
   имете действительных решений.

Вариант 6
(отделение структурной и прикладной линейности филологического факультета)

1. Решите уравнение
   $$27^x + 9^x = 3^{x+1}.$$

2. Решите уравнение
   $$\cos \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + \cos x = 0,5.$$

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
   $$y = x^2 - 5 |x + 1| - 2$$
   на отрезке [-3; 3].

4. На сторонах AB и BC треугольника ABC с острым углом при вершине B взяты точки P и Q, причем P — середина стороны AB. Известно, что |AB| = 4, |BC| = 5, |BQ| = 3. Найдите длину отрезка PQ, если площадь треугольника ABC на $\frac{7 \sqrt{15}}{4}$ больше, чем площадь треугольника PBQ.

5. При каком значении параметра b системы неравенств

$$\begin{cases} y \geqslant (x - b)^2, \\ x \geqslant (y - b)^2 \end{cases}$$

имете единственное решение?

Вариант 7
(факультет психологии)

1. Вычислите, не используя микрокалулятор:
   $$\frac{928 \cdot 10^{-2}}{0,8} - 0,6) : \left( \frac{42 \cdot 3 \frac{5}{6} + 3,3}{0,625} - 0,84 : 0,8 \right)^{-1}.$$

2. Два насаса за 4 часа совместной работы подают 96 кубометров воды. Если бы второй насос подавал в час на 6 кубометров больше, чем он подает сейчас, то тогда на накачивание каждого кубометра второй насос расходовал бы на 3 минуты больше, чем расходует на накачивание каждого кубометра первой насос. Сколько кубометров воды в час подает первой насос?

3. Решите уравнение
   $$2 \sin x (5 + \cos 2x) = 5 \sqrt{2} \sin 2x.$$

4. Две окружности радиусов 4 и 5 пересекаются в точках B и C. Через центры O₁ и O₂ окружностей проведена прямая; A₁ и A₂ — две из четырех точек пересечения этой прямой с окружностями, причем точка A₂ лежит на окружности с центром O₂, а длина отрезка A₁A₂ равна 15. Найдите площадь выпуклого четырехугольника A₂BA₁C.

5. Первый член геометрической прогрессии, знаменатель которого — натуральное число, равен 5, а разность между утренным вторым ее членом и половиной третьего ее членом больше 20. Найдите знаменатель этой прогрессии.

6. Найдите все натуральные трехзначные числа, каждое из которых обладает следующими двумя свойствами:
   — вторая цифра числа в 2 раза меньше последней его цифры;
   — сумма самого числа с числом, получащимся из него перестановкой первой и третьей его цифр, делится на 10 без остатка.

7. Найдите все пары чисел (x, y), удовлетворяющие одновременному двум неравенствам:
   $$\begin{cases} 3^{2x+y-1} + 4 \cdot 3^{2x-1} \leqslant 2, \\ 4x+y \geqslant 2 - \log_3 4. \end{cases}$$

Физика

Задачи устного экзамена

Физический факультет

1. Поед при подходе к платформе начинает тормозить и оставливается, прошеду s=75 м. Найдите начальное скорость поезда, если за пределедно секунд он прошел расстояние l=2,25 м. Движение поезда равна медленное.

2. Тело начинает скольнить вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол a. В нижней точке тело ударяется о стенку, поставленную перpendикularно направленную его движению. Удар абсцилтоно упругий. Определите коэффициент трия при движении тела, если после удара оно поднялось до половины первоначальной высоты.

3. Брус массой m поднимается вдоль наклонной плоскости при помощи вервки, намаываемой на вал электромотора (рис. 1). Движение бруса равноускоренное, в начальной момент t₀=0 скорость бруса была равна v₀,

56

a в момент $t$ стала равна $v$. Определите развиваемую электромотором мощность в момент $t$, если угол наклона наклонной плоскости $a$, а коэффициент треня между брусом и плоскостью $\mu$.

4. Температура газов, образующих при сторании топлива в цилиндрах двигается автоматически, равна $t_1=827$ °C, температура выжлопных газов равна $t_2=97$ °C. Сколько километров проедет автоматically, имеющий в бake $V=40$ л топлива, если теплота топлива $q=3,2 \cdot 10^{10}$ Дж/м$^3$, а сила сопротивления движению остается постоянной и по модулю равной $F=1,7 \cdot 10^3$ Н? Двигается считать идеальной тепловой машиной, работающей с максимальным возможным коэффициентом полезного действия.

5. Калорийер подает в помещение $V=50\ 000$ м$^3$ воздуха при температуре $t_1$ и относительной влажности $\varphi_1=60\%$, забирая его с улицы при температуре $t_2$ и относительной влажности $\varphi_2=80\%$. Сколько воды дополнительно испаряет caloriphер в подаваемый воздуху? Плотность насыщенных воды паров при $t_1$ равна $\varphi_1=15,4 \cdot 10^{-3}$ кг/м$^3$, а при $t_2$ — $\varphi_2=9,4 \cdot 10^{-3}$ кг/м$^3$.

6. Источник какого направления надо подключить с помощью низкомового провода длиной $l=19,2$ м и диаметром $d=3 \cdot 10^{-4}$ м кlamочке, расчитанной на направление $U_1=120$ В и мощностью $P=40$ Вт, чтобы она горела нормально? Удельное сопротивление низкого $\varphi=1,1 \cdot 10^{-6}$ Ом·м.

7. По двум параллельным шинам в однородном магнитном поле скольчит перемычка (рис. 2). Поскольку шин образует угол $a$ с горизонтальной плоскостью. В нижней части шины соединены через резistor с сопротивлением $R$. Линний индукции магнитного поля направлены вертикально. Коэффициент треня между перемычкой и шинами $\mu$. Масса перемычки $m$, длина перемычки $l$. Чему равна индукция магнитного поля, если перемычка скольчит с постоянной скоростью $v$? Сопротивление шин и перемычки не учитывать.

8. Проволочный виток, замыкающий обкладки конденсатора, помещен в однородное магнитное поле, линни индукции которого перепедикулярны к плоскости витка (рис. 3). Индукция магнитного поля равномерно изменяется со скоростью $\Delta B/\Delta t=5 \cdot 10^{-2}$ Тл/c. Емкость конденсатора $C=100$ мК. Площадь, охваченная витком, $S=200$ см$^2$. Определите заряд конденсатора.

9. Поливинка шара изготовлена из произрачного ведцева с показателем преломления $n=4/3$. Радиус шара $R=5$ см. На расстоянии $h=3$ см от оси ООО’ параллельно оси на полушар со стороны плоской поверхности падает луч света (рис. 4). На каком расстоянии $z$ от плоской поверхности полушара этот луч пересечет ось?

10. В некотором фоотапарате максимальное расстояние от объектава (в виде тонкой линии) до фоотпленки в полтора раза больше фокусного расстояния объектава. С помощью этого фоотапарата нужно сформировать мелкий плоский предмет. Каково при этом минимальное возможное отношение размеров предмета к размерам его изображения на фоотпленке?

Механико-mатематический факультет

1. Двигаатель пакеты, запущенной с поверхности Земли вертикального вверх, сообщает ей постоянноеускорение $a=10$ м/c$^2$. С какой скоростью пакета удается на Землю, если двигаатель прорабалл $t=22$ с? Сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение свободного давления равным $g=10$ м/c$^2$.

2. Шарик массой $m=10$ г, падая без начальной скорости с некоторой высоты, ударился о горизонтальной плоскости и подпрыгнул на высоту $H=0,8$ м. При ударении изменение импульса шарика составило $\Delta P=0,17$ кг·м/c. Найдите, на какую высоту подпрыгнет шарик после следующей ударки, если при каждой их прохождения равновесия, шарик будет движаться со скоростью $v=2,1$ м/c? Принять $g=10$ м/c$^2$.

3. На невескомой нерастижной нити подвешен маленький шарик. Перiod малых колбаний такого магнитка $T=1,3$ с. На какой максимальный угол будет отклоняться нить от вертикали, если при колбанях, проходя положение равновесия, шарик будет движаться со скоростью $v=2,1$ м/c? Принять $g=10$ м/c$^2$.

4. В вертикальном цилиндре объемом $V=2$ л подяжелим поршнем находится газ при температуре $T=300$ К. Масса поршня $m=50$ кг, его площадь $S=50$ см$^2$. Температур газа повышили на $\Delta T=100$ К. Найдите изменение внутренней энергии газа, если его теплемкость $C=5$ Дж/K. Атмосферное давление

57

$p_0=10^5$ Па. Тренние поршня о стенки цилиндра не учитывать. Приять $g=10$ м/c$^2$.

5. Процессы, произходящие в цилиндре теплового диггателя с идеальным газом, изобравены на диггамме $p-V$ (рис. 5). Известно, что $T_4=300$ К, $T_2=500$ К, $T_3=450$ К. Найдите, на сколько градусов температура в точке 1 отличается от температуры в точке 3.

6. Резистор сопротивлением $R=45$ Ом и конденсатор соединины последовательно с аккумулятором; при этом заряд на обкладках конденсатора равен $q_1=6 \cdot 10^{-5}$ Кл. Если же резистор и конденсатор подключит к аккумулятору параллельно, то заряд на обкладках конденсатора будет $q_2=4 \cdot 10^{-5}$ Кл. Найдите внутреннее сопротивление аккумулятора.

7. Два резистора, источник постоянного тока и волтметр соединины, как показано на рисунке 6. При замкнутом ключе волтметр показывает напряжение $U_1=16$ В. Если ключ разомкнуть, волтметр показывает $U_2=20$ В. Найдите электродвижущую силу источника, пребрегая ответвлением тока в волтметр.

8. Обмотка мощного электромагнитита питается постоянным током и потребляет мощность $P=5$ кВт. Для предотвращения перегрева обмотки магнит сабжен охлаждащим устройством, по которой течет вода, поглощаюшая $\eta=84\%$ выделяющегося в обмотке колчества теплоты. Определите необходимый расход воды (в кубических метрах за секунду), если температура воды не должна повышаться более чем на $\Delta T=25$ К. Плотность воды $\rho=10^3$ кг/м$^3$, удельная темперакость воды $c=4,2 \times 10^3$ Дж/(кг·К).

9. С помощью кинокамеры сяли колбанияяжелого груза, подвешенного на проволоке. Съемка власть при помощи объектива с фокусным расстоянием $F=5$ см. Изобравнение магнитка на пленке имеет длину $l=20$ мм. За время съемки $t=1$ мин магнит совершил $n=24$ попытки колбания. С какого расстояния (от объектива до магнитка) власть съемка? Мягтник считать математически; приять $g=10$ м/c$^2$.

10. Светящаяся точка движется с постоянной скоростью $v_1=0,2$ м/c вокруг главной оптической оси собирающей линзы. Плокость окружности параллельна линзе и находится на расстоянии $d=60$ см от нее. Определите скорость $v_2$, с которой движется изобравнение точки, даваемое линзой. Учесть, что если расстояние между линзой и светящейся точкой увеличить на $l=40$ см, то скорости движения точки и изобравнения будут одинаковыми.

Факультет вычислительной математики и кибернетики

1. Два тела с массами $m_1=1$ кг и $m_2=3$ кг, связанные неевесомой и нерастящим нитью длиной $l=40$ см, свободно врашают на гладкой горизонтальной поверхности с одинаковой угловой скоростью $\omega=10$ с$^{-1}$. Нить все время натянута, и одна ее точка неподвижна. Найдите полную кинетическую энергию этой системы.

2. Лифт массой $M=1000$ кг поднимается лебедкой с постояннымускорением. На некотором участке пути длиной $l=1$ м лифт движался со средней скоростью $v=5$ м/c, и скорость его возросла на $\Delta v=0,5$ м/c. Какая работа совершена по перемещению лифта на указанном отрезке пути? Треннем претензь.

3. Из резервуара большой емкости с помощью насса откачивают воду. На конечник гладкого шланга, из которого вытекает вода, имеет плоздь поперечного сечения $S=10$ см$^2$ и находится на уровне поверхности воды в резервуара. Мотор насса потребляет мощность $P=0,5$ кВт. Коэффициент полезного действия установки $\eta=0,26$. С какой скоростью вытекает вода из шланга?

4. В вертикальном цилиндре с площью поперечного сечения $S=2 \cdot 10^{-3}$ м$^2$, закрытом сверху поршнем, находится газ. На поршень положили гирю массой $m=5$ кг и повышили температуру на $\Delta T=kT$ ($k=0,1$). При этом объем газа уменьшился на $\Delta V=kV$ от первого начальной величины. Какова масса поршня, если внешнее давление $p_0=10^5$ Па? Треннем претензь.

5. Положительные точные заряды $q_1=2 \times 10^{-6}$ Кл и $q_2=5 \cdot 10^{-6}$ Кл, находящиеся в вакууме, действуют друг на другу с силой $F=0,25$ Н. Определите направление поля в точке, расположенной по середине между зарядами.

6. В схеме, изобравенной на рисунке 7, емкость конденсатора $C=23$ мФ, резисторы имеют одинаковые сопротивления $R=20$ Ом. Электродвижущая сила батареи $\mathcal{E}=12$ В, ее внутреннее сопротивление $r=2$ Ом. Определите заряд на конденсаторе.

7. Какова минимальная масса медного провода, предназначенного для передачи потребителя мощности $P=12$ кВт на расстояние $l=100$ м от генератора с напряжением $U=220$ В, если допустимые потери мощности составляет $k=2\%$ от $P$ — мощности, допущей до потребителя? Плотность меди $d=8,9$ г/c$^3$, удельное сопротивление $\rho=1,75 \cdot 10^{-6}$ Ом·см.

8. Над столом подвешена маленькая лампочка, расположенная в вершине конусообразного абажура, у которой угол между осью и образующей $a=30^\circ$. На какую величину уменьшится радиус светлого круга на поверхности стола, если на пути луча параллельно поверхности стола помещить плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной $d=5$ см с показателем преломления $n=1,5$?

9. Тонкий стержень расположен вдоль поля оптической оси линзы с фокусным расходием $F=10$ см. Изобравнениестерняя находится по другую сторону линзы, причем изобравнение близкшего к линзе конца — на расстоянии $f_1=24$ см, а дальнейно — на расстоянии