Обобщение чисел

6

Обобщение чисел

Академик Л. С. ПОНТРЯГИН

В этой статье рассакано о развитию понятия числа — от счета предметов в глубокой древности до создания дейстvtельных чисел, компlexных чисел и квадерионов. Во второй части статьи (в следующем номере «Кванта»), на основании современных элементарных свойства чисел, векторов и многочленов, будет обязывано, почему дальнейшее обобщение понятия числа невозможно.

По мере того как проявлялись новые практические применения чисел и в результате развития теоретической математики понятие числа развивалось, появлялись новые числа. Первым практическим применением чисел был счет предметов. Для этого использовались целые положительные числа, которые приято называют натуральными. При изменении длии и при торговых расчетах приходилось делить целые числа друг на друга. При этом результат деления не всегда был целым числом. Поэтому возникла потребность в дробных или, что то же самое, рациональных числах. Для того чтобы вычитание рационального числа из другого рационального числа всегда было возможно, пришлось ввести отрицательные рациональные числа. Так образовался запас, или множество, всех рациональных чисел.

Еще в глубокой древности, задолго до появления отрицательных чисел, которые стали рассматривать в середине нашего тысячетеля, было установлено, что отношение длин диагонали квадрата к длине его стороны не является рациональным числом. Стало необходимым ввести новые числа, которые называют irrationalными. Так возникла запас, или множество, всех дейстvtельных чисел.

§1. Комплексные числа

В процессе развития алгебры математики стали рассматривать квадратные корни из отрицательных чисел. Квадратные корни из отрицательных чисел встречались в промежутках вычислениях, результаты которых оказались обучными действительными числами. Так возникла потребность в присоединении новых чисел — квадратных корней из отрицательных чисел. В действительности, достаточно добавить только одно «новое» число, так называемую минимую единицу i, которая определяется условием

$$i^2 = -1.$$

Это новое число i и было присоединено к множеству всех действительных чисел. С так возникшими числами приходилось произвольить всевозможные алгебраические вычисления, так что пришлось рассматривать многочлен относительно i. При учете условия (1), многочлен любой степени относительно

7

но $i$ превращается в многочлен первого степени, то есть записья в виде $z=x+iy=x+yi$, (2)

где $x$ и $y$ были обычными действительными числами. Числа вида (2) были названы компликсыми числами. Операции сложения и умножения компликсых чисел были определены как операции над многочленами относительно $i$ с учетом условия (1) следующим образом. Если $z_1=x_1+y_1i; z_2=x_2+y_2i$ (3) суть два компликсы числа, то сумма их определяется формулой

$$z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=\left(x_1+x_2\right)+\left(y_1+y_2\right)i.$$ (4)

Особую роль среди всех компликсых чисел играет число нуль, определяемое формулой

$$0=0+0i.$$ (5)

Оно обладает тем замечательным свойством, что

$$0+z=z+0=z.$$ (6)

Кажdomу компликсу числу соответствует противоположное ему число $-z$, определяемое условием

$$z+(-z)=0.$$ (7)

Существование противоположного числа обеспечивает возможность вычитания. Именно

$$z_1-z_2=z_1+(-z_2).$$ (8)

Произведение чисел $z_1$ и $z_2$ как многочленов относительно $i$ с учетом соответствия (1) дает следующий результат:

$$z_1z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+\left(y_1x_2+y_1y_2\right)^2=x_1x_2-y_1y_2+\left(x_1y_2+x_2y_1\right)i.$$ (9)

Среди всех компликсы чисел для умножения играет особую роль единица, определяемая формулой

$$1=1+0i.$$ (10)

Она обладает следующим свойством:

$$1z=z1=z.$$ (11)

Для того чтобы осуществить деление компликского числа $z_1$ на компликсу числа $z_2$, достаточно определить величины $1/z_2=z_2^{-1}$. Число $z_2^{-1}$ называется обратным к числу $z_2$. Для компликсу числа $z=x+yi$ обратное число определяется формулой

$$z^{-1}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i.$$ (12)

Из этой формулы видно, что число $z^{-1}$ всегда существует, когда $z \neq 0.$

Легко проверяется, что если число $z^{-1}$ определяено формулой (12), то мы имеем

$$z \cdot z^{-1}=z^{-1}z=1.$$ (13)

Тепер деление компликского числа $z_1$ на компликсу число $z_2 \neq 0$ определяется формулой

$$z_1/z_2=z_1\left(z_2^{-1}\right).$$ (14)

Таким образом возникла запас или множество двух компликсы чисел, среди которых содержится множество всех действительных чисел. Именно, это компликсы числа вида

$$z=x+0i.$$ (15)

В самом деле, при сложении и умножении двух компликсы чисел вида (15) $z_1=x_1+0i, z_2=x_2+0i$ по формулам (4) и (9), соответственно, мы получаем (проверте!) $z_1+z_2=(x_1+x_2)+0i$ и $z_1z_2=x_1x_2+0i$, то есть просто просмотр сложение и умножение действительных чисел $x_1$ и $x_2$. Таким образом, нет нуждаявать компликсу число $z=x+0i$ и действительное число $x$, можно считать действительные числа частю компликсы. Поэтому многочленов компликсы чисел называется расширеемм многочленов действительных чисел.

Уражнение

1. Найдите $a^2, a+b^2, ab^{-1}$, если $a=2+3i, b=5-i$.
2. Решите уравнения $az+b=0, az^2=b$, если $a=3+i, b=2-3i$.

§ 2. Основная теорема алгебры

Для того чтобы получить все компликсы числа, мы начали с присоединения к действительным числам только одного числа $i$, являющегося корнем алгебраической уравнения

$$z^2+1=0.$$ (16)

Однако оказывается, что мы тем самым пришли к таким запасу чисел, для которого любое алгебраическое уравнение уже имеет хотя бы один корень. Это есть основная теорема алгебры, доказанная величим немецким математиком К. Ф. Гауссом на рубеже XVIII и XIX веков. Сформируем эту теорему точнее.

Пусть

$$f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_{n-1}z+a_m,$$ (17)

где $a_0 \neq 0$, произвольный многочлен степени $n \geq 1$ относительно $z$ с действительными коэффициентами. Тогда

8

Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), великий немецкий математик, а также астроном, физик и геодезист. Выдающийся математическое способности Гаусс проводился еще в раннем детстве. К моменту зациты докторской диссертации, в 22 года, он был автором многих ярких открытий, в том числе первого строого доказательства основной теоремы алгебры. К этой теореме он относился с особым пристрастием, и впоследствии нашел не менее шести других ее доказательств! Трудно назвать такой отрасл теоретической и прикладной математики, в котором Гаусс не внес существеное включение. Из вопросов, затронутых в этой статье, отметим еще придуманную из геометрической интерпретационной комплексных чисел, в результате которого исчезли последние возможности против использования комплексных чисел в математике.

$f(z)$ имеет хотя бы один корень, то есть существует такое компплексное число $a$, что

$$f(a) = a_0 a^n + a_1 a^{n-1} + \dots + a_{n-1} a + a_n = 0.$$

(18)

Эта теорема была доказана Гауссом для действительных коэффициентов $a_0, a_1, \dots, a_n$. После эта теорема была доказана и для того случая, когда коэффициенты многочлена $f(z)$ являются компплексными числами.

Заметим, что для компплексных чисел имеет место коммутитивность умножения, то есть многожители можно менять местами:

$$z_1 z_2 = z_2 z_1.$$

(19)

После того как компплексные числа были построены и изучены, возникли ли почти в обобщении дальнейше. Именно нельзя ли построить величины с несколькими минимыми единицами, $i_1, i_2, \dots, i_k$, то есть совокупность величины — «обобщенных чисел» — вида

$$x = x_0 + x_1 i_1 + x_2 i_2 + \dots + x_k i_k,$$

(20)

где $x_0, x_1, \dots, x_k$ суть действительные числа, и для этих величины определять сложение и умножение, обладающие общными свойствами сложения и умножения чисел. Оказывается, что такие величины можно построить с третья edиницами $i_1, i_2, \dots, i_k$. Они называются кватернионами. Для них выполненые общные свойства сложения и умножения чисел, кроме закона коммутативности умножения (см. (19)). В конце прошло века выдающийся немецкий математик Ф. Г. Фробениус доказал, что дальнейшее по этому пути уже невозможно. Доказательство этой теоремы Фробениуса, составляющее главное содержание настоящего статия, будет изложено в следующем номере.

Для доказательства теоремы Фробениуса мне придется воспользоваться некоторыми результатами из алгебры, не входящими в выше действияную программу средней шкoles, касающимся деления и разложения многочленов на множители.

§ 3. Деление многочленов

При делении целого положительного числа $a$ на целое положительное число $b$, мы приходим к равенству

$$a = bh + k,$$

(21)

где $h$ и $k$ — целые неотрицательные числа, $k < b$. Число $h$ называется частным, а $k$ — остатком при делении числа $a$ на число $b$.

Способ деления чисел хорошо известен из аргументов. Но также, как и целые числа, можно делить друг на друга многочлены. Будем исходить из двух многочленов:

$$a(z) = a_0 z^p + a_1 z^{p-1} + \dots + a_p,$$

$$b(z) = b_0 z^q + b_1 z^{q-1} + \dots + b_q.$$

(22)

Будем предполагать здесь, что числа $a_0$ и $b_0$ не равны нулю, так что многочлен $a(z)$ имеет степень $p$, а многочлен $b(z)$ имеет степень $q$. В результате деления многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$ мы приходим к следующему токдеству, аналогичному равенству

9

в (21):

$$a(z) \equiv b(z) h(z) + k(z),$$

где степень многочлен $k(z)$ меньше $q$. Многочлены $h(z)$ и $k(z)$ называются соответственно частным и остатком при делении многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$.

Если $k(z)$ — тождественный нуль, то говоря, что многочлен $a(z)$ делится на многочлен $b(z)$, а $h(z)$ является частным от их деления.

Равенство (21) доказано варифметике, а тождество (23) должно доказывать в алгебре. Но деление многочленов не входит в ные действующую школьную программу. Чтобы доказать (23), мы должны построить такие многочлены $h(z)$ и $k(z)$, которые удовлетворяют этому тождеству. Процесс этого построения представляется собой очень важный алгоритм. Этот алгоритм очень похож на обычный алгоритм деления чисел «уголком». Поэтому, прежде чем разбирать его в общем виде, советую посмотреть практический пример деления двух многочленов, показанный на рисунке 1.

Опишем теперь алгоритм деления многочлена $a(z)$ степени $p$ на многочлен $b(z)$ степени $q$ в общем случае. Если $p < q$, то тогда $h(z) \equiv 0$, $k(z) \equiv a(z)$ и тождество (23) выполняено.

Теперь мы можем строить многочлены $h(z)$ и $k(z)$ в предположении, что $p \geq q$. Сперва построим тождество

$$a(z) \equiv b(z) h_1(z) + a_1(z),$$

в котором степень многочлена $a_1(z)$ меньше $p$. Для этого положим

$$h_1(z) = \frac{a_0}{b_0} z^{p-q}.$$

Тогда разность

$$a(z) - b(z) h_1(z) \equiv a_1(z)$$

имеет степень меньше, чем $p$, так как в этом многочлене коэффициент при $z^p$ равен нулю. Остальные степени $z$, входящие в этот многочлен, очень меньше $p$. Таким образом, тождество (24) построено.

Если многочлен $a_1(z)$ имеет степень, меньше чем $q$, то тождество (24) уже является тождеством (23). В противном случае к многочлену $a_1(z)$ применим ту же процедуру, которая применена к многочлену $a(z)$ при построении тождества (24). Тогда мы получим для него тождество

$$a_1(z) \equiv b(z) h_2(z) + a_2(z),$$

причем степень многочлена $a_2(z)$ уже меньше, чем степень многочлена $a_1(z)$. Если многочлен $a_2(z)$ уже имеет степень, меньше чем $q$, то, подставляя $a_1(z)$ из последнего тождества в тождество (24), мы получим тождество

$$a(z) \equiv b(z)(h_1(z) + h_2(z)) + a_2(z),$$

которое уже является тождеством (23). Если многочлен $a_2(z)$ тоже имеет степень, больше чем $q$, то мы продолжим наше

построение dalleше и в конце концов доказем нужное тождество (23).

Здесь мы описали процесс деления многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$, то есть нахождение многочленов $h(z)$ и $k(z)$, входящих в тождество (23). Докажем теперь, что эти многочлены однозначно определяны многочленами $a(z)$ и $b(z)$. Допустим, что нарушу с тождестом (23) имеет место тождество

$$a(z) \equiv b(z) h_0(z) + k_0(z),$$

причем степень многочлена $k_0(z)$ меньше $q$. Вычитая тождество (25) из (23), получим

$$b(z)(h(z) - h_0(z)) = k_0(z) - k(z).$$

Так как степень многочлена $b(z)$ равна $q$, а степень многочлена $k_0(z) - k(z)$ меньше $q$, последнее тождество может иметь место лишь при условии $h(z) - h_0(z) \equiv 0$, так что и $k_0(z) - k(z) \equiv 0$.

Заметим в заключение, что в процессе деления многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$ не могут появиться комплисные числа, так что если многочлены $a(z)$ и $b(z)$ имеют действительные коэффициенты, то многочлены $h(z)$ и $k(z)$, входящие в тождество (23), также имеют действительные коэффициенты.

У практике 3. Разделите многочлен $x^8 + 2x^5 + 2x^4 + x^2 + 2x$ на многочлен $x^3 + 1$.

§ 4. Разложение многочленов на неприводимые многоители

Пусть

$$f_0(z) = z^n + a_1z^{n-1} + \dots + a_n$$

— многочлен произвольной положительной степени $n$ с произвольными действительными или комплисными коэффициентами. Как было отмечено ранее, этот многочлен имеет хотя бы один комплисный корень $a$. Докажем теперь, что если $f_0(z)$ имеет асоидим корнем, то есть

$$f_0(a) = 0,$$

то многочлен $f_0(z)$ делится на двулен $z - a$, так что имеет место равенство

$$f_0(z) \equiv (z - a)f_1(z),$$

где, очевидно, $f_1(z)$ имеет степень $n-1$.

11

Рис. 2.

ся на неприводимый многочлен первой или второй степени с действительными коэффициентами, так что частное $f_2(z)$ от деления новых есть многочлен с действительными коэффициентами. Значит, многочлен $f_0(z)$ разлагается на действительные неприводимые многочлены степени 1 или 2.

Из этого вытекает важный вывод:

Произвольный корень a многочлена $f_0(z)$ является корнем неприводимого многочлена первой или второй степени.

Упражнение 4. Разложите многочлен $2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 8x$ на неприводимые многочлены 1 и 2.

§ 5. Кватернионы

Как уже упоминалось, кватернионы имеют три минимые единицы. Эти единицы принято обозначать через $i, j, k$.

(37) Таким образом, каждый кватернион записывается в виде

$$x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k,$$

(38) где $x_0, x_1, x_2, x_3$ — действительные числа, называемые координатами кватерниона $x$.

Пусть

$$y = y_0 + y_1 i + y_2 j + y_3 k$$

— второй кватернион. Кватернионы $x$ и $y$ считаются равными тогда и только тогда, когда их координаты равны, то есть когда имеет место равенство

$$x_0 = y_0, x_1 = y_1, x_2 = y_2, x_3 = y_3.$$

(40) Сложение кватернионов $x$ и $y$ производит по правилам

$$x + y = x_0 + y_0 + (x_1 + y_1) i + (x_2 + y_2) j + (x_3 + y_3) k.$$

(41) Можно сказать, что кватернионы складываются покоординатно, то есть так, как складываются векторы 3-мерного векторного пространства при помощи сложения их координат. (Только координат у кватерниона не три, а четыре.) В этом смысле можно рассматривать кватернионы как векторы «четырехмерного пространства». Представить себе четырехмерное пространство, конечно, трудно. Здесь вам может помочь анализ с трехмерным пространством (рис. 2).

При умножении кватернионов действительные числа можно переставлять с единицами $i, j, k$. Поэтому для задания правил перемножения кватернионов следует задать правила перемножения единиц (37). Оно следует:

$$i^2 = j^2 = k^2 = -1;$$

(42)

$$ij = -ji = k; \quad jk = -kj = i; \quad ki = -ik = j.$$

(43)

В общем виде формулы сложения и умножения кватернионов можно посмотреть в «Кванте», 1983, № 9, с. 13. Для того чтобы задать кватернион, обратный к кватерниону $x$, ведем понятие сопряженного кватерниона $\bar{x}$. Мы определим его по формуле

$$\bar{x} = x_0 - x_1 i - x_2 j - x_3 k.$$

(44)

Простые вычисления дают

$$x\bar{x} = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = |x|^2.$$

(45)

Кватернион $x^{-1}$, обратный к $x$, определяется формулой

$$x^{-1} = \frac{\bar{x}}{|x|^2}.$$

(46)

Для него имеет место соответствие $x^{-1}x = xx^{-1} = 1$.