Bài toán M921—M925; F933—F937

38

Bài toán

M921—M925; F933—F937

M921. Trong tứ giác lồi ABCD, đã biết giá trị của hai góc $\angle A=\alpha$ và $\angle B=\beta$ và diện tích kép của nó là $AB\cdot CD+BC\cdot AD$. Tìm tỉ số độ dài tất cả các cạnh của nó $AB:BC:CD:DA$ nếu
a) $\alpha=5\pi/12$, $\beta=7\pi/12$; 6) $\alpha=\pi/2$, $\beta=\pi/3$*;
b) Tìm xem $\alpha$ và $\beta$ nào tồn tại một tứ giác như vậy và biểu thị tỉ số các cạnh của nó theo $\alpha$ và $\beta$.

M922. Chứng minh rằng phương trình
$$\sin^p x+\cos^q x=1,$$
trong đó $p$ và $q$ là các số dương, có lời giải trong khoảng $0<x<\pi/2$ khi và chỉ khi $(p-2)(q-2)<0$ hoặc $p=q=2$.

A. M. Sedletsky

M923. Chứng minh rằng mặt phẳng của một số bằng độ dài hình chiếu của nó lên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó.

M924. Mỗi hai trong số $n$ điểm (không có ba điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng) được kết nối bằng một đoạn và các mũi tên được đặt trên tất cả các đoạn. Tam giác ABC có các đỉnh tại các điểm này được gọi là tam giác định hướng nếu các mũi tên được đặt theo các hướng AB, BC, CA hoặc AC, CB, BA (ví dụ: trên hình 1 chỉ có ba tam giác định hướng trong số 10).
a) Giải thích cách sắp xếp các mũi tên sao cho không xuất hiện các hình tam giác định hướng.
b)* Số lượng tam giác định hướng tối đa có thể có (cho mỗi $n$) là bao nhiêu? (Vẽ ví dụ tương ứng cho $n=4$, 5 và 6.)
I. Tsalenchuk, học sinh lớp 10.

M925. (Sự tiến hóa của các đốm màu.) Có một hình màu xanh lam $K_0$ trên mặt phẳng màu trắng. Từ đó, thu được một hình màu xanh lam mới $K_1$ theo quy tắc sau, áp dụng đồng thời cho tất cả các điểm $M$ của mặt phẳng: nếu ít nhất một nửa diện tích của hình tròn bán kính 1 với tâm tại điểm $M$ bị chiếm bởi phần lướt, thì điểm $M$ trở thành màu xanh lam và nếu nhỏ hơn một nửa thì màu trắng**). Bước tiếp theo từ

*) Gần a) và 6) bài toán được đưa ra trong kỳ thi tuyển sinh năm 1984 tại Khoa Kinh tế của Đại học Tổng hợp Mátxcơva.
**) Giả sử các hình thu được ở mỗi bước đều có diện tích; đây sẽ là trường hợp, ví dụ: nếu hình $K_0$ bị giới hạn bởi các đoạn thẳng và cung tròn.

39

kết quả là hình màu xanh lam $K_1$, theo quy tắc tương tự, thu được hình $K_2$, sau đó từ nó - $K_3$, v.v. Chứng minh rằng a) đối với một hình giới hạn tùy ý $K_0$, bắt đầu từ một bước nhất định, toàn bộ mặt phẳng sẽ trở thành màu trắng; b) nếu $K_0$ là đường tròn có bán kính 100 thì đường tròn này sẽ trùng nhau không muộn hơn một triệu bước.

A. L. Toom

F933. Hai cục đường có thể được cho vào ly trà theo nhiều cách khác nhau. Bạn có thể chỉ cần đặt đường ở dưới cùng (hình 2, a), hoặc có thể lắp các miếng “vrasor” nếu kính có hình dạng hữu hạn (hình 2, b). Trong trường hợp nào đường sẽ tan nhanh hơn nếu trà không được khuấy?

L. A. Ashkinazi

F934. Bình cách nhiệt được chia thành hai phần bằng một piston nhẹ. Ở phía bên trái của bình có $m_1=3$ g hydro ở nhiệt độ $T_1=300$ K, ở phía bên phải - $m_2=16$ g oxy ở nhiệt độ $T_2=400$ K. Piston dẫn cơ thể yếu đi, và nhiệt độ trong bình dần dần cân bằng. Lượng nhiệt từ lớp phân loại vào thời điểm piston ngừng chuyển động là bao nhiêu?

Z. A. Rafanlov

F935. Dòng điện $I_0$ chạy dọc theo một dây dẫn thẳng dài có tiết diện không đổi. Ở phần $AB$ của dây dẫn (hình 3), điện trở suất của nó giảm từ $\rho_1$ ở phần $A-A$ xuống $\rho_2$ ở phần $B-B$. Độ lớn và dấu của điện tích không gian hình thành ở phần $AB$ là bao nhiêu?

V. V. Mozhaev

F936. Dòng điện $I_0=0,1$ A chạy qua một nút điện siêu dẫn dài có độ tự cảm $L_0=0,1$ H, chứa $N=200$ vòng dây. Từ xa, một cuộn dây dẫn kín có cùng bán kính với số vòng quay của cuộn dây điện từ được đưa đến nút điện từ; độ tự cảm của cuộn dây $L_1=1\cdot 10^{-3}$ H. Các cuộn dây được đặt giữa các cuộn dây của cây thông Solenodia với chúng. Dòng điện chạy qua cuộn dây sẽ thay đổi như thế nào? Năng lượng của hệ sẽ thay đổi như thế nào?

F937. Một người đàn ông có “chiều cao” $h=20$ cm được vẽ trên một bức tường thẳng đứng, đầu người đàn ông ở độ cao $H=2$ m so với sàn nhà. Sử dụng một thấu kính có tiêu cự $F=0,1$ m sẽ thu được ảnh của một người trên sàn nhà. Tìm kích thước của hình ảnh sắc nét nhất.

A. R. Zilberman

Problems

M921—M925; P933—P937

M921. The angles $\widehat{A}=\alpha$ and $\widehat{B}=\beta$ of the convex quadrilateral $ABCD$ are known; its doubled area equals $AB\cdot CD+BC\cdot AD$. Find the ratios of its sides $AB:BC:CD:DA$ if

42

M902. Chuỗi nagural 1, 2, 3, … được chia thành nhiều cấp số cộng. Chứng minh rằng mặc dù một trong những cấp số nhân này nhưng số hạng thứ nhất chia hết cho hiệu của nó.

$$\angle AKB, \text{ то есть } \frac{1}{2} \angle B + \angle C = \frac{1}{2} \angle A + \angle C \text{ или } \angle A = \angle B; \text{ либо } \angle AMB + \angle AKB = 180^\circ, \text{ то есть } \angle A + \frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle A + \angle B = \frac{3}{2} (\angle A + \angle B) = 180^\circ \text{ или } \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 60^\circ.$$

V. L. Gugenmacher

M903. Có một khối đa diện lồi nào mà bất kỳ phần nào của nó theo một mặt phẳng không đi qua đỉnh đều là một đa giác có a) chẵn; b) số cạnh lẻ?

Chúng ta biểu thị bằng $a_1, a_2, \dots, a_n$ số hạng đầu tiên của cấp số mà chuỗi tự nhiên được chia và bằng $d_1, d_2, \dots, d_n$ sự khác biệt của chúng. Tích của tất cả sự khác biệt được bao gồm trong một trong các cấp số nhân, nghĩa là đối với một số $i, 1 \leq i \leq n$ và một số $k$ tự nhiên

$$d_1 d_2 \dots d_n = a_i + k d_i.$$

Từ đẳng thức này suy ra rằng $a_i$ chia hết cho $d_i$.

A. V. Kelarev

a) Đáp số: tồn tại. Chúng ta hãy chứng minh rằng điều kiện bài toán được thỏa mãn bởi bất kỳ khối đa diện nào từ mỗi đỉnh mà số cạnh chẵn xuất hiện, ví dụ: bát diện (xem hình).

Chúng ta hãy xem xét một phần tùy ý của một khối đa diện không đi qua các đỉnh. Rõ ràng, nó có thể được đọc để di chuyển sao cho nó trở nên không song song với bất kỳ cạnh nào của khối đa diện và số cạnh của nó vẫn giữ nguyên. Bây giờ chúng ta sẽ di chuyển mặt phẳng phần song song. Khi đó số cạnh của nó sẽ chỉ thay đổi khi đi qua một đỉnh và mỗi lần chỉ đi qua một đỉnh. Nếu một số chẵn các cạnh $n$ hội tụ trong đó và $k$ trong số chúng giao nhau với mặt phẳng cắt trước khi đi qua đỉnh này (và do đó, $n - k$ - sau khi chuyển đổi; xem hình), thì số đỉnh của phần sẽ chuyển sang $n - 2k$ và do đó, tính chẵn lẻ của nó sẽ được giữ nguyên. Và vì ở cuối mặt phẳng cắt sẽ không giao nhau với bất kỳ cạnh nào nên số cạnh phải luôn luôn chẵn, ngoại trừ khi đi qua các đỉnh.

b) Đáp số: không tồn tại. Từ lời giải bài toán a) suy ra rằng nếu tất cả các phần của khối đa diện không đi qua các đỉnh có cùng tính chẵn lẻ (cụ thể là số lẻ), thì một số cạnh chẵn sẽ xuất hiện từ mỗi đỉnh. Nhưng sau đó, như đã chỉ ra ở đó, số cạnh của bất kỳ phần nào như vậy phải là số chẵn.

N. V. Vasiliev, V. N. Dubrovsky

M904. Với mọi số tự nhiên
$$A = 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + \dots + 10 a_1 + a_0$$
(với ký hiệu thập phân $a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0$) đặt

a) Chứng minh rằng nếu ký hiệu thập phân $A$ chứa ít nhất hai chữ số và $A \neq 19$ thì
$$D(A) < A.$$

Đặt $A = 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + \dots + a_0, a_n \geq 1$, sau đó $A \geq 10^n$. Đồng thời

43

$$D(A) = a_n + 2a_{n-1} + 2^2a_{n-2} + \dots + 2^{n-1}a_1 + 2^n a_0.$$
Ví dụ: $D(1985) = 1 + 2 \times 9 + 2^2 \cdot 8 + 2^3 \cdot 5 = 91$,
$D(91) = 9 + 2 \cdot 1 = 11$,
$D(11) = 3$.
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $A = A_0$ trong dãy $A_1 = D(A_0)$, $A_2 = D(A_1)$,… luôn tồn tại số $A^* = A_k < 20$ thỏa mãn $D(A^*) = A^*$.
b) $A^*$ bằng $A = 19^{85}$ là bao nhiêu?

$$D(A) = a_n + 2a_{n-1} + \dots + 2^n a_0 \leq 9 + 2 \cdot 9 + \dots + 2^n \cdot 9 = 9(2^{n+1} - 1) < 18 \cdot 2^n < 10^2 \cdot 2^{n-2}.$$
Do đó, $D(A) < A$ tại $n \geq 2$. Đối với $n = 1$, nghĩa là đối với $A = 10a_1 + a_0$, chúng ta có:
$$A - D(A) = 10a_1 + a_0 - a_1 - 2a_0 = 9a_1 - a_0 > 0$$
cho tất cả các giá trị của $a_1$ và $a_0$, ngoại trừ $a_1 = 1$, $a_0 = 9$ ($A = 19$) và $D(19) = 19$. Cuối cùng, đối với $n = 0$, tức là đối với các số có một chữ số $A$, rõ ràng là $D(A) = A$.

Như vậy, dãy $A = A_0$, $A_1$, $A_2$, … sẽ tiêu diệt nghiêm ngặt cho đến khi gặp số $A_k = A^*$ bằng 19 hoặc một chữ số; cho số này $D(A^*) = A^*$.

6. Đáp số: $A^* = 19$. Hãy chứng minh rằng nếu số $A$ chia hết cho 19 thì $D(A)$ cũng chia hết cho 19. Suy ra rằng với $A = 19^{85}$ thì số $A^*$ chia hết cho 19, và vì theo mệnh đề a) $A^* < 20$, điều này chỉ có thể xảy ra với $A^* = 19$.

Đối với bất kỳ số nào $A = 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + \dots + a_0$ hãy xem xét sự khác biệt
$$2^n A - D(A) = (20^n - 1) a_n + 2 (20^{n-1} - 1) a_{n-1} + \dots + 2^{n-1} \cdot (20 - 1) a_1.$$
Mỗi số hạng ở vế phải của phương trình này chia hết cho 19, vì $20^k - 1 = 19 \cdot (20^{k-1} + 20^{k-2} + \dots + 1)$, nên nếu $A$ chia hết cho 19 thì $D(A)$ cũng chia hết cho 19.

E. I. Gurnits, A. L. Fedorov

F913. Một cục pho mát được ném từ mặt đất nằm ngang theo góc $\alpha = 60^\circ$ về phía chân trời với tốc độ $v_1 = 12$ m/s. Tuy nhiên, một khối có khối lượng gấp đôi được ném lên đỉnh của perumu thứ nhất một góc $\beta = 30^\circ$ so với đường chân trời, và vận tốc ban đầu của các khối hóa ra là nhẹ trong một mặt phẳng thẳng đứng. Sau cú va chạm, các khối u đã bị cắt bỏ. Tìm vận tốc (modulo) của một khối gỗ xẻ rơi xuống đất.

◆ Xét chuyển động của khối tâm (cm) của các khối. Tốc độ c. m. ngay trước khi chạm đất có độ lớn bằng vận tốc c. m. khi ném cục u, và
$$3m\vec{v} = m\vec{v}_1 + 2m\vec{v}_2,$$
(1)
trong đó $\vec{v}$ là tốc độ c. m. khi ném, $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$ là vận tốc của cục u lúc này, $m$ là khối lượng nhỏ hơn cục u.

Ta đặt gốc tọa độ tại điểm ném khối lượng $m$, hướng trục $X$ nằm ngang sao cho nó đi qua điểm ném khối lượng lớn, và trục $Y$ – thẳng đứng hướng lên trên. Chúng ta hãy viết đẳng thức (1) trong các hình chiếu trên trục $X$ và $Y$, trước đó đã chia cả hai cạnh của nó cho $m$:

$$3v_x = v_1 \cos \alpha - 2v_2 \cos \beta,$$
(2)
$$3v_y = v_1 \sin \alpha + 2v_2 \sin \beta$$

(ở đây $v_x$ và $v_y$ là hình chiếu của $\vec{v}$ trên trục $X$ và $Y$). Ta tìm vận tốc $v_2$ từ điều kiện tại điểm va chạm sẽ xảy ra ở thời điểm $t$ thì tọa độ dọc theo trục $Y$ của các khối là như nhau:

$$v_1 t \sin \alpha - \frac{gt^2}{2} = v_2 t \sin \beta - \frac{gt^2}{2},$$

Ở đâu

$$v_2 = v_1 \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = v_1 \sqrt{3}.$$

Thay biểu thức tìm được cho $v_2$ vào (2), chúng ta thu được:

$$v_x = -\frac{5}{6} v_1, \quad v_y = \frac{\sqrt{3}}{2} v_1.$$

44

Vậy vận tốc của vật bị cắt khi chạm đất là

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \frac{\sqrt{13}}{3} v_1 \approx 14 \text{ m/c.}$$

V. I. Chivilev

F914. Nước sốt kín có thể tích $V = 33,6$ dm³ chứa nitơ $u = 1$ mol nước. Ở nhiệt độ $t = 100^\circ\text{C}$ áp suất trong nước sốt là $p = 2 \cdot 10^5$ Pa. Xác định lượng nitơ trong nước sốt.

Áp suất $p$ trong nước sốt bao gồm áp suất riêng phần của nitơ $p_a$ và hơi nước $p_n$. Giá trị tối đa có thể có $p_n$ là áp suất hơi nước bão hòa $p_H$ ở nhiệt độ nhất định. Ở $T = 373$ K $p_H = 10^5$ Pa. Hãy xem lượng hơi nước $v_1$ trong nước sốt phải là bao nhiêu để tạo ra áp suất $p_H$:

$$p_H V = v_1 RT \Rightarrow v_1 = \frac{p_H V}{RT} = \frac{10^5 \cdot 33,6 \cdot 10^{-3}}{8,3 \cdot 373} \text{ моль} \approx 1,1 \text{ моль.}$$

Điều này có nghĩa là khi $v = 1$ mol nước bay hơi, hơi thu được sẽ không bão hòa. Áp suất của hơi nước này là

$$p_n = v \frac{RT}{V} \approx 0,9 \cdot 10^5 \text{ Pa.}$$

Do đó, áp suất riêng phần của nitơ trong nước sốt là

$$p_a = p - p_n \approx 1,1 \cdot 10^5 \text{ Pa},$$

và lượng nitơ trong nước sốt -

$$v_a = \frac{p_a V}{RT} \approx 1,2 \text{ моль.}$$

S. M. Korshunov

F915. Một chất lỏng có tính thấm điện môi chảy giữa các bản của tụ điện phẳng cách điện với tốc độ $v$. Một từ trường có cảm ứng $\vec{B}$ hướng vuông góc với tốc độ $\vec{v}$ và song song với các bản. Xác định chiều của bản tụ điện. Khoảng cách giữa các tấm $d$.

Lực Lorentz hướng ngược nhau tác dụng lên các điện tích trái dấu của các lưỡng cực chuyển động của chất điện môi từ phía của từ trường (xem hình). Điều này dẫn đến sự phân cực của chất điện môi, và do các bản trên và bản dưới của tụ điện, các điện tích bề mặt trái dấu sẽ tồn tại trong chất điện môi, có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Những điện tích phân cực này tạo ra một điện trường.

Đặt hướng của trường này bằng $E$ (tại hình $\vec{E}$ hướng từ trên xuống dưới). Khi đó lực tác dụng lên điện tích dương của lưỡng cực chuyển động bằng

$$F = q (vB - E).$$

Theo định nghĩa về độ thấm điện môi, lực này phải nhỏ hơn ε lần so với lực $F_0$ tác dụng lên điện tích $q$, chuyển động với tốc độ $\vec{v}$, trong trường hợp không có chất điện môi. Nhưng trong trường hợp không có chất điện môi $E = 0$ và $F_0 = qvB$. Vì thế

$$F = \frac{F_0}{\varepsilon} \Rightarrow q (vB - E) = q \frac{vB}{\varepsilon},$$

$E$ đến từ đâu:

$$E = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon} vB.$$

45

Do đó, hiệu điện thế giữa các bản của tụ điện bằng

$$U = Ed = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon} vBd.$$

E. A. Romshevsky

F916. Trong mạch như ở hình 1 (D là một diode lý tưởng), công tắc K đóng trong một thời gian τ rồi mở. Tại thời điểm mở lớp, điểm trong cuộn cảm bằng $I_0$. Sau khi mở công tắc bao lâu thì dòng điện $I_L$ trong cuộn dây đạt giá trị cực đại nếu nó bằng $2I_0$? Xây dựng biểu đồ $I_L$ theo thời gian $t$ ($0 < t < \infty$).

Sau khi đóng khóa K trong một khoảng thời gian rất ngắn, chiều đến tụ điện và cuộn cảm trở thành suất điện động của nguồn $\mathcal{E}$ (xem hình 1: $\mathcal{E} = \varphi_A - \varphi_B$, dòng điện qua diode không chảy qua). Trong thời gian τ, điện tích không đổi $q = C\mathcal{E}$ sẽ duy trì trên tụ điện và dòng điện qua cuộn dây sẽ tăng theo định luật tuyến tính:

$$L \frac{di}{dt} = \mathcal{E} \Rightarrow i = \frac{\mathcal{E}}{L} t \quad (0 < t \leq \tau).$$

Tại thời điểm $t = \tau$, theo điều kiện, $i = I_0$, tức là

$$I_0 = \frac{\mathcal{E}}{L} \tau.$$

Nếu tại thời điểm này phím K được mở thì cuộn dây sẽ tiếp tục hoạt động theo thời gian do tụ điện phóng điện, như xảy ra trong mạch dao động thông thường, tức là theo định luật có chu kỳ $T = 2\pi \sqrt{LC}$.

Khi dòng điện đạt giá trị cực đại thì chiều tới cuộn cảm, diode, tụ điện trở thành 0, tức là tụ điện đã phóng điện hoàn toàn. Dựa vào định luật bảo toàn năng lượng, ta có:

$$\frac{LI_0^2}{2} + \frac{C\mathcal{E}^2}{2} = \frac{LI_{\max}^2}{2}.$$

Cho rằng $I_{\max} = 2I_0 = \frac{2\mathcal{E}}{L} \tau$, chúng ta tìm thấy $LC = 3\tau^2$.

Giá trị của hàm $y = \sin x$ thay đổi từ 0,5 thành 1 khi đối số thay đổi từ $\pi/6$ thành $\pi/2$, tức là trong 1/6 khoảng thời gian. Do đó, thời gian $\Delta t$, sau đó điểm yếu trong cuộn dây thay đổi từ $I_0$ thành $2I_0$, bằng $T/6$, tức là

$$\Delta t = \frac{\pi}{3} \tau \sqrt{3} \approx 1,8\tau.$$

Tại thời điểm $t = \tau + \Delta t \approx 2,8\tau$ so sánh điện thế giữa hai điểm A và B thì điện trở của đoạn chứa diode theo chiều từ B đến A bằng không. Như vậy, tại những thời điểm tiếp theo sẽ có chính xác một dòng điện không đổi $I = 2I_0$ chạy qua cuộn cảm và diode thì điện tích của tụ điện sẽ bằng không.

Đồ thị của $I(t)$ được hiển thị trong hình 2.

Cần phải hoàn thành một bước hoàn thiện quan trọng hơn lời giải. Tại thời điểm $t = \tau$ sẽ có sự chuyển tiếp suôn sẻ (nghĩa là không có bước nhảy tùy ý) từ phần tuyến tính sang phần xoang xoang. Điều này là do thực tế là $di/dt$ tùy ý tỷ lệ thuận với hướng trên cuộn cảm $U_L = LI'$, tại mỗi thời điểm bằng điện áp trên tụ điện $U_C = q/C$. Và vì điện tích trên tụ điện không thể thay đổi nên không thể có điểm gấp khúc trong biểu đồ $I(t)$.

A. I. Kirkinsky, E. A. Romshevsky