Trường Kỹ thuật Cao cấp Moscow được đặt theo tên. N. E. Bauman

52

Hình 7. Hình 8.

tỷ lệ $T$, áp suất $p$. Ở nhiệt độ đầu ra $T_1$, áp suất $p_1$. Tìm tốc độ không khí ở phần thoát.

3. Tại các điểm $A$ và $B$ (hình 6) ở khoảng cách $|AB| = a$ điện tích $+9q$ và $-q$ là cố định. Một hạt có khối lượng $m$ và có điện tích $+q$ chuyển động về phía chúng theo đường thẳng $AB$. Vận tốc tối thiểu mà hạt này phải có ở khoảng cách rất lớn là bao nhiêu để có thể đạt tới điểm $B$?

4. Ước tính tốc độ gió tối thiểu có thể lật đổ tàu chở ô tô.

5. Hai bình giống hệt nhau được đun nóng đến cùng nhiệt độ. Trong trường hợp này, một bình được rửa bằng nước nóng, trong khi bình kia vẫn khô. Sau đó cô đặt bình vào nước lạnh, đặt cả hai bình xuống. Sau khi chúng nguội đi, mực nước hút vào bình sẽ thay đổi. Giải thích hiện tượng đó.

Tùy chọn 3

1. Hai hạt có vận tốc nằm ngang, ngược chiều nhau $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$ đồng thời bay ra từ một điểm. Sau khoảng thời gian nào thì góc giữa các hướng vận tốc của các hạt này sẽ bằng $90^\circ$? Gia tốc áp suất tự do $g$.

2. Một vòng cứng, mỏng không dẫn điện có khối lượng $M$, tích điện đều $+Q$, có một khe nhỏ có kích thước $l$ trong diện tích điểm $A$, nhỏ hơn nhiều so với bán kính của vòng (hình 7). Chiếc nhẫn được đặt trong mặt phẳng nằm ngang nên chỉ có thể quay tự do tương đối với trục thẳng đứng đi qua tâm của chiếc nhẫn $O$. Lúc đầu kết thúc, colute bắt đầu chuyển động sau khi một điện trường đồng nhất nằm ngang không đổi có hướng $\vec{E}$, vuông góc với $OA$, được bật lên. Tìm tốc độ tối đa của vòng.

3. Trụ đóng đứng thẳng đứng $A$ và $B$ có cùng chiều cao $H$ và diện tích đáy lần lượt là $S$ và $S/2$. Chúng được gắn trên hai hình trụ góc rộng $C$ với diện tích đáy $3S$ (hình 8). Ở phần trên, các hình trụ $A$ và $B$ được nối với nhau bằng ống 1, còn ở phần dưới, thông qua một lỗ nhỏ ở phía dưới, cả ba hình trụ được nối với nhau bằng một kênh hẹp chung 2. Hình trụ ban đầu $A$ được đổ đầy nước lên trên và lỗ ở dưới cùng của hình trụ này được đóng lại. Tìm chiều cao mực nước xác định trong xi lanh $C$ sau khi mở lỗ trong xi lanh $A$. Áp suất khí quyển $p_0$, mật độ nước $q$, gia tốc áp suất tự do $g$. Nhiệt độ không đổi. Bỏ qua thể tích của ống, kênh và thành bình.

4. Hãy ước tính sự thay đổi thể tích của quả bóng đá khi nó bị va chạm mạnh.

5. Khi đặt một vật chứa trong suốt, có mặt phẳng chứa đầy nước giữa bóng đèn và thấu kính, thì màn hình sẽ thấy hình ảnh sắc nét của đường xoắn ốc của bóng đèn. Nếu tháo kivet ra, hình ảnh sẽ bị mờ. Giải thích hiện tượng đó.

Ấn phẩm được biên soạn bởi G. V. Meledin

Trường Kỹ thuật Cao cấp Moscow được đặt theo tên. N. E. Bauman

Toán học

Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. Tàu máy đi ngược dòng sông 6 km rồi đi thêm 27 km về phía hạ lưu, mất 1 giờ. Tìm vận tốc của mã nhiệt trong nước yên lặng nếu vận tốc của sông là 6 km/h.

2. Giải phương trình
   $$\cos 2x + \cos x + \cos 3x = 0.$$

3. Giải phương trình
   $$3^x = 3 + 2(\sqrt{3})^x.$$

4. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2(x - 3) < 0.$$

5. Ở đầu có bán kính đáy $R$ và tiết diện trục là tam giác đều, dòng chữ là ký hiệu tam giác đều sao cho một trong các mặt bên của nó nằm trong mặt phẳng đáy hình nón, còn hai đỉnh còn lại nằm trên mặt bên của hình nón. Tìm thể tích của đối tượng nếu chiều cao của nó là $2/3R$.

Tùy chọn 2

1. Tổng số hạng thứ nhất và thứ tư của một cấp số nhân là 28, tổng số hạng thứ hai và thứ ba là 12. Tìm cấp số nhân.

2. Giải phương trình
   $$9\cos \frac{x}{3} - 2 \cdot 3\cos \frac{x}{3} = 3.$$

3. Giải phương trình
   $$x^3\sqrt{x^2} + 16 = 8\sqrt[6]{x^5}.$$

4. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2\left(\frac{5x + 4}{x - 2}\right) > \mathrm{tg}g\frac{5}{4}\pi.$$

5. Một hình lập phương có cạnh có chiều dài $a$ được lắp một hình lục giác đều sao cho đường chéo của hình lập phương đi qua tâm của đáy hình và trên mỗi mặt của hình lập phương có hai đỉnh của hình. Tìm thể tích của hình đó nếu cạnh đáy của nó nhỏ hơn cạnh hình lập phương 3 lần.

Vật lý

Bài toán thi vấn đáp

1. Một vật có khối lượng $m=0,1$ kg quay trong mặt phẳng thẳng đứng trên một sợi dây dài $l=1$ m. Trục quay được đặt phía trên sàn ở độ cao $H=2$ m. Khi đi qua tầng dưới,

54

a) Giải phương trình
$$2f(x) + g(x) = 0.$$
6) Tại mức nào $x$ hàm số $y = f(x) g(x)$ có giá trị nhỏ nhất?
b) Giải bất đẳng thức $\frac{f(x)}{g(x)} \ge 0$.
r) Với những giá trị nào của $a$ thì phương trình $f(x) = ag(x)$ có đúng ba nghiệm?
2. Trong một tam giác đều $ABC$, các góc $B$ và $C$ ở đáy bằng $a$, độ dài đoạn $BC$ bằng 1, điểm $D$ trên đường thẳng $AC$ sao cho $|BC| = |BD|$, $D \neq C$.
a) Tìm $L(a)$ ở đâu $L(a) = |AB| + |CD|$.
6) Tại giá trị nào thì $a$ nhận $L(a)$ giá trị nhỏ nhất của nó?
b) Giải phương trình $L(a) = 3\sqrt{2}/2$.
3. Cho hàm $y = f(x)$, trong đó $f(x) = \log \frac{x+5}{3-x}$.
a) Tìm miền xác định của hàm $y = f(x)$.
6) Giải phương trình $f(x) = -1$.
b) Tìm phạm vi của hàm $y = f(x)$.
Tùy chọn 2

1. Cho hàm $y = f(x)$, trong đó $f(x) = \ln \left(2\left(1 - \frac{1}{x}\right)\right)$.
   a) Tìm miền định nghĩa của hàm số này.

6. Biểu thị $x$ dưới dạng hàm của $y$.
   b) Tìm phạm vi của hàm $y = f(x)$.
   r) Giải bất đẳng thức $f(x) > 0$.

2. Tổng điện trở của một mạch điện nhất định có điện trở không đổi $R > 0$ và điện trở thay đổi $r \ge 0$ bằng $S(r) = \frac{4R^2 + 3Rr}{3R + 2r}$.
   a) Giá trị của $r$ nếu $S(r) = \frac{15}{11} R$ là bao nhiêu?

6. Kiểm tra hàm $S(r)$ xem có đơn điệu không.
   b) $S(r)$ có thể nhận những giá trị nào?

3. Cho hàm $y = f(x)$, trong đó $f(x) = \frac{\cos 2x}{1 + 3\sin^2 x}$.
   a) Giải phương trình $f(x) = -\frac{2}{13}$.

6. Khoảng thời gian ngắn nhất của chức năng này là gì?
   b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
   Kiểm tra miệng

1. Tính $tg 2a$ nếu $\cos a = -\frac{5}{13}$, $\sin a > 0$.
2. Giải bất đẳng thức $\frac{5x-3}{4-x} < 2$.
3. Tìm miền xác định của hàm $y = \sqrt{\log_2(x^2 - 1)}$.
4. Vẽ đồ thị hàm số $y = \cos x + |\cos x|$.
5. Giải phương trình $tg 3x = tg 5x$.
6. Cái nào lớn hơn: sin 1 hay cos 1?
7. Tìm hàm nghịch đảo của hàm $y = \frac{2x+1}{x-2}$.
8. Vẽ trên mặt phẳng tọa độ tập hợp được xác định bởi phương trình $x|y| = y|x|$.
9. Giải phương trình $x^3 + x^2 = a$, biết rằng ba nghiệm của nó tạo thành một cấp số cộng.
10. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $y = |\cos x| + |\cos 2x|$.
11. Chứng minh bất đẳng thức sin $x$ sin $z + \cos x$ cos $y$ cos $z \le 1$.
12. Các đỉnh $A$ và $C$ của hình chữ nhật $ABCD$ nằm trên các nhánh khác nhau của hyperbola $y = -\frac{1}{x}$. Các cạnh của hình chữ nhật song song với các trục tọa độ. Diện tích $S$ của nó có thể nhận những giá trị nào?
    Vật lý
    Bài toán thi vấn đáp
13. Hai mã nhiệt chuyển động với tốc độ bằng nhau về phía điểm $O$ và quỹ đạo của chúng cắt nhau tại điểm này một góc $\alpha = 60^\circ$. Xác định khoảng cách tối thiểu giữa các mã nhiệt trong quá trình di chuyển nếu ban đầu chúng nằm cách điểm $O$ ở khoảng cách lần lượt là $l_1 = 20$ km và $l_2 = 30$ km.
14. Một vật có khối lượng $m$ bị kéo xuống bởi một lực từ độ cao $h$ trên bề mặt dầu hỏa và thể tích của phần nhô ra trên bề mặt là $\alpha = 8\%$ tổng thể tích của vật. Bộ phận nào của cơ thể sẽ bị ngâm khi bơi trong nước nếu mật độ của nước là $\rho_b = 10^3$ kg/m$^3$, mật độ của dầu hỏa là $\rho_k = 0,8 \cdot 10^3$ kg/m$^3$?
15. Thể tích $V$ của một khối lượng nhất định của khí lý tưởng thay đổi khi nhiệt độ tăng dần theo định luật $V = aT^n$, trong đó $a$ và $n$ là các hệ số không đổi và $n < 1$. Áp suất thay đổi như thế nào: tăng hay giảm?
16. Bán kính của một bong bóng nổi lên từ đáy bể chứa phụ thuộc vào khoảng cách $h$ đến mặt nước như thế nào?
17. Một vật dẫn điện dài có thể được tích điện tới điện thế cực đại nào bằng cách hướng một chùm electron bay với tốc độ $v$ vào nó? Khối lượng $m$ và điện tích $e$ của electron được coi là đã biết.
18. Hai bóng đèn có công suất định mức $P_1 = 40$ W và $P_2 = 100$ W được nối thành một mạng nối tiếp. Loại đèn nào tạo ra lượng nhiệt lớn và bao nhiêu?
19. Một điện tích điểm bay với tốc độ $v = 100$ m/s vào một điện trường đều hướng về các đường hợp lưu của nó. Loại từ trường nhân tạo nào (về độ lớn và hướng) có thể bù đắp cho tác dụng của điện trường lên một điện tích nhất định để nó chuyển động theo đường thẳng?
20. Chùm tia tới chiếu vào một tấm kính phẳng một góc $a$. Xác định sự thay đổi của chùm tia bên trong tấm nếu chỉ số phân bố ngăn xếp là $n$ và độ dày tấm là $h$.
21. Một nguồn sáng điểm đặt cách màn $l = 0,95$ m. Bạn nên đặt thấu kính có tiêu cự $F = 0,16$ m và đường kính khung $D_1 = 0,1$ m cách nguồn một khoảng bao nhiêu để trên màn thu được một vòng tròn được chiếu sáng rực rỡ có đường kính $D_2 = 0,025$ m?
    Đã chuẩn bị xuất bản
    S. G. Fedin, S. V. Fomin