Công cơ và năng lượng cơ học

46

Công cơ và năng lượng cơ học

Ô. Yu. Ovchinnikov

§ 1. Trong cơ học, công được thực hiện bởi một lực không đổi $\vec{F}$ khi vật chuyển động một lượng $\vec{s}$ bằng tích của lực và mô hình chuyển vị nhân với cosin của góc $\alpha$ giữa vectơ lực và vectơ chuyển vị:

$$A = Fs \cos \alpha.$$

Khái niệm này không phải lúc nào cũng tương ứng với ý tưởng chung của công việc. Ví dụ, một vận động viên cử tạ đang ôm một vật nặng trên tay hoặc một người khuân vác đang xách một chiếc vali nặng không thực hiện công cơ học (giải thích tại sao?).

Khi lực tác dụng lên một vật không đổi (mô hình hoặc hướng của nó thay đổi), công của lực đó có thể được tìm thấy như sau. Chúng ta hãy chia toàn bộ chuyển vị của vật thành các vùng nhỏ $\vec{s}_1, \vec{s}_2, \dots, \vec{s}_n$ sao cho trên mỗi vùng đó lực có thể coi là không đổi và bằng $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n$ tương ứng. Sau đó chúng ta sẽ tìm việc tại mỗi địa điểm:

$$A_1 = F_1s_1 \cos \alpha_1,$$

$$A_2 = F_2s_2 \cos \alpha_2, \dots,$$

$$A_n = F_ns_n \cos \alpha_n;$$

và tổng công việc sẽ bằng tổng công việc ở các khu vực riêng lẻ:

$$A = A_1 + A_2 + \dots + A_n.$$

Trong trường hợp đã biết hình chiếu của lực lên hướng chuyển động $F_s = F$ cos $\alpha$ thay đổi như thế nào từ điểm này sang điểm khác thì có thể tìm công bằng đồ họa (hình 1). Tổng diện tích phần BC bằng diện tích hình BDEC.

Bài toán 1. Để nâng một xích chính đồng nhất trên bàn ngang chính lên một cách đồng đều thì công việc được thực hiện là gì? Vị trí ban đầu của chuỗi được biểu thị bằng hình 2 và chiều dài của nó là $l = 6$ m; trọng lượng $m = 3$ kg.

Tại thời điểm ban đầu, sợi dây chịu tác dụng của một lực hấp dẫn $mg$ và cần có một lực để giữ nó

$$F_0 = mg.$$

Khi bạn nhấc dây xích lên bàn, lực cần thiết để nâng sẽ giảm đi. Chúng ta hãy biểu thị độ dài của phần sợi dây đã nằm trên bàn bằng $x$ (hình 2, b). Lúc này phải tác dụng lực lên dây xích

$$F = mg - \frac{mg}{l}x.$$

Hãy vẽ đồ thị sự phụ thuộc $F = F(x)$ (hình 2, s). Khi đó công mà lực này sẽ thực hiện khi nâng toàn bộ dây xích lên đều sẽ bằng diện tích bảo vệ của tam giác ba giàu:

$$A = \frac{1}{2} mgl = 90 \text{ Дж.}$$

Lưu ý rằng công thực hiện bằng công thực hiện để nâng trọng tâm của dây xích. Vì lúc đầu

47

Tại thời điểm nó được đặt cách mặt bàn một khoảng l/2 thì công A=mg(l/2) sẽ được yêu cầu.

Bài toán 2. Một sợi xích đồng nhất có chiều dài 2l và một hệ gồm hai thanh nối với nhau bằng một bản lề, mỗi thanh có chiều dài l (hình 3, a), được treo ở các điểm B và C, nằm trên cùng một đường ngang. Khối lượng của dây xích bằng khối lượng của các thanh thông thường. Trọng tâm nào - một sợi xích hoặc một hệ thanh - nằm bên dưới?

Bằng cách tác dụng lên sợi xích sao cho vị trí của nó trùng với vị trí của hệ các thanh (hình 3, b). Rõ ràng, trong trường hợp này trọng tâm của sợi xích và các thanh cũng trùng nhau. Vì để di chuyển sợi xích đến một vị trí mới cần phải thực hiện một số công lên nó, nên có thể lập luận rằng vị trí mới của trọng tâm của nó cao hơn vị trí trước đó.

Do đó, trọng tâm ban đầu của sợi xích là trọng tâm của hệ thanh.

Bài toán 3. Trong thí nghiệm đầu tiên, một lò xo có độ cứng k và chiều dài không điều chỉnh l0 bị kéo căng đến độ dài l. Trong thí nghiệm thứ hai, lò xo này trước tiên được cắt thành hai phần bằng nhau, sau đó lấy một phần và kéo dài nó đến độ dài l. Xác định công việc cần thực hiện trong opitech thứ nhất và thứ hai.

Theo định luật Hooke, khi lò xo bị dãn một đoạn x

xuất hiện lực đàn hồi F_ypr=-kx (dấu trừ chứng tỏ lực đàn hồi có xu hướng đưa lò xo về trạng thái ban đầu). Để một lò xo phát triển, một ngoại lực \vec{F} phải tác dụng lên nó, trong mô hình bằng độ đàn hồi, nhưng ngược chiều với nó:

F=-F_ypr=kx.

Hãy vẽ đồ thị sự phụ thuộc F=F(x) (hình 4, a) và sử dụng nó để tìm công phải hợp với ngoại lực để làm giãn lò xo không biến dạng một lượng x:

A=\frac{1}{2}(kx)x=\frac{kx^2}{2}.

Trong trường hợp lò xo đã bị giãn một giá trị x1 và bây giờ cần tăng lên x2 thì công của ngoại lực sẽ bằng (hình 4, b)

A=\frac{kx^2}{2}-\frac{kx^2}{2}.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán của chúng tôi. Trong thí nghiệm thứ nhất, để kéo căng một sợi xích lò xo có độ cứng k từ trạng thái không biến dạng đến chiều dài l cần phải thực hiện công:

A_1=\frac{kx^2}{2}=\frac{k(l-l_0)^2}{2}.

Trong thí nghiệm thứ hai, với cùng độ dài l, anh ta chỉ kéo dãn lò xo sao cho độ dãn x2=l-l0/2. Ngoài ra, độ cứng của đế lò xo không bằng độ cứng của xích lò xo: ​​nó bền gấp đôi (bạn tự chứng minh điều này nhé). Vì vậy, ở thí nghiệm thứ hai cần phải làm bài phù hợp.

48

$$A_2 = \frac{(2k)x_2^2}{2} = \frac{(2k)(l-l_0)/2)^2}{2} = k\left(l - \frac{l_0}{2}\right)^2.$$

§2. Trong cơ học, người ta thường phân biệt giữa động năng do chuyển động gây ra và thế năng, được xác định bởi vị trí tương đối của vật thể trong một hệ hoặc một bộ phận của cùng một vật thể.

Động năng của một vật có khối lượng $m$ chuyển động với tốc độ $v$ bằng

$$E_k = \frac{mv^2}{2}.$$

Thế năng của một vật nằm trong trường hấp dẫn ở độ cao $h$ trên mức 0 bằng

$$E_p = mgh,$$

và thế năng của một vật biến dạng đàn hồi bằng

$$E_p = \frac{kx^2}{2}.$$

Giữa khái niệm “công cơ học” và “năng lượng cơ học” có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Công do các lực bằng nhau tác dụng lên hệ bằng độ biến thiên động năng của hệ:

$$A = E_{k2} - E_{k1}.$$

Công do trọng lực hoặc lực đàn hồi tác dụng trong một hệ thực hiện bằng độ biến thiên thế năng của hệ với dấu ngược lại:

$$A = -(E_{p2} - E_{p1}).$$

Bài 4. Một miếng cao su dài (so với kích thước của hình hoa thị) có độ cứng $k$ được gắn vào thanh. Tìm tốc độ tối đa của một hòn đá có khối lượng $m$ được thả ra khỏi hình hoa thị, nếu lần đầu tiên nó bị kéo về một khoảng cách $x$ (hình 5).

Vì cao su dài nên chúng ta có thể giả sử rằng hai lực đàn hồi song song $\vec{F}$ tác dụng lên hòn đá. Khi hòn đá bị kéo lại một đoạn $x$ thì độ giãn dài tổng cộng của lò xo sẽ ​​là $2x$, và mô hình lực đàn hồi sẽ là $F = k(2x) = 2kx$.

Khi cao su trở về trạng thái không biến dạng ban đầu thì lực đàn hồi tác dụng lên đá sẽ sinh công

$$A = 2\frac{(2kx)x}{2} = 2kx^2.$$

Do công này, hòn đá sẽ thu được động năng

49

Công việc của luồng tham chiếu sẽ bằng

$$A = F_H x,$$
và thế năng của tải trọng trong trường hấp dẫn của Trái Đất sẽ thay đổi thành

$$\Delta E_p = mg(2x) = 2mgx.$$

Như vậy,

$$F_H x = 2mgx,$$

Ở đâu

$$F_H = 2mg.$$

§ 3. Năng lượng thuộc về số ít đại lượng vật lý thỏa mãn định luật bảo toàn.

Đặc biệt, nếu hệ các vật thể đóng kín và các vật thể chỉ tương tác với nhau thông qua trọng lực và độ đàn hồi, thì tổng cơ năng của hệ (tức là tổng động năng và thế năng) không đổi. Tác dụng của lực ma sát dẫn đến hiện tượng một phần cơ năng biến thành nội năng của hệ. Nhưng ngay cả trong trường hợp này, tổng của tất cả các loại năng lượng trong hệ vẫn không thay đổi.

Bài 7. Một cậu bé đi giày trượt sẽ tăng tốc đến vận tốc v và lăn lên một ngọn đồi phủ đầy băng. Đến độ cao nào, tính từ chân cầu trượt, nó có thể nâng lên được nếu hệ số ma sát là μ và độ dốc của cầu trượt so với đường chân trời là α?

Tại thời điểm ban đầu, cậu bé có động năng $$mv^2/2$$, và ở thời điểm cuối cùng - thế năng $$mgh$$ (ở đây m là khối lượng của cậu bé, h là độ cao nâng mong muốn). Do tổng cơ năng giảm nên sinh công chống lại lực ma sát $$F_{tp} = \mu mg\cos \alpha$$:

$$\frac{mv^2}{2} - mgh = (\mu mg \cos \alpha) \frac{h}{\sin \alpha}.$$

Từ đây chúng ta tìm được chiều cao h mong muốn:

$$h = \frac{v^2}{2g(1 + \mu ctg \alpha)}.$$

Bài 8. Một hòn đá có khối lượng m trượt khỏi mặt trượt chính có chiều cao H. Quá trình này được đo bằng khoảng cách trong hai hệ thống báo cáo quán tính khác nhau. Theo quan điểm của người quan sát trong một hệ đứng yên, thế năng của hòn đá mgH biến thành động năng $$mv^2/2$$, do đó sau khi trượt xuống dốc hòn đá có tốc độ v (hình 7). Quan sát, trong một hệ thống báo cáo chuyển động với tốc độ v sang bên phải, sẽ nói rằng lúc đầu hòn đá có thế năng mgH và động năng $$mv^2/2$$, còn ở cuối nó không có cái này hay cái kia. Năng lượng “biến mất” ở đâu?*)

Có thể nói ngay rằng định luật bảo toàn năng lượng cũng đúng trong trường hợp này. Lý do được hình thành trong một nghịch lý là lý luận được thực hiện cho một hệ không đóng băng - một hòn đá và Trái đất mà hòn đá tương tác lại không được tính đến. Hãy sửa lỗi này.

a) Trong hệ thống báo đứng yên (gắn với khối tâm của hệ đá - Trái đất), tại thời điểm ban đầu hòn đá và Trái đất đứng yên, mọi năng lượng đều bằng thế năng của hệ. Tại thời điểm cuối cùng, hòn đá đạt được tốc độ $\vec{v}$ và Trái đất đạt được tốc độ $\vec{u}$, tốc độ này có thể tìm thấy từ định luật bảo toàn động lượng:

$$mv - Mu = 0,$$

Ở đâu

$$u = \frac{m}{M} v,$$

trong đó M là khối lượng của Trái đất.

Theo định luật bảo toàn năng lượng,

$$mgH = \frac{mv^2}{2} + \frac{Mu^2}{2} = \frac{mv^2}{2} \left(1 + \frac{m}{M}\right).$$

Vì khối lượng của hòn đá không hề nhỏ so với khối lượng của Trái đất nên các giá trị của m/M có thể vượt quá so với đơn vị. Sau đó chúng tôi nhận được

$$mgH = \frac{mv^2}{2},$$

*) Những câu hỏi tương tự được thảo luận chi tiết trong bài viết của V. A. Orlov “Nghịch lý của cơ thể “to hơn”, đăng trên số thứ ba của tạp chí năm 1978. (Note ped.)