Câu đố số

số nguyên tố shero, ngụ ý sự vô hạn của tập hợp các số nguyên tố và tất nhiên là tập hợp các số tự nhiên. Đây là một bằng chứng sâu sắc về thực tế này. Cho $p$ là số nguyên tố. Hãy thay đổi tất cả các số nguyên tố lên tới $p$, bao gồm cả $p$ và thêm một số vào tích này. Chúng ta nhận được số $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot p + 1$. Số này lớn hơn $p$ sẽ là số nguyên tố hoặc hợp số. Nếu là số nguyên tố thì chứng tỏ có số nguyên tố lớn hơn $p$. Nếu nó gồm các số nguyên tố 2, 3, 5, …, $p$ thì nó không chia hết - khi chia cho các số này thì dư bằng 1. Điều này có nghĩa là nó phải chia hết cho một số nguyên tố lớn hơn $p$. Vì vậy, trong trường hợp này cũng vậy, chúng ta phải thừa nhận rằng có một số nguyên tố lớn hơn $p$. Nhưng điều này cũng có nghĩa là không có con số đơn giản nhất.

Thuật ngữ “số tự nhiên” lần đầu tiên được sử dụng bởi triết gia La Mã Boethius (khoảng 480-524), nhưng được sử dụng phổ biến sau khi nó được nhà toán học người Pháp D’Alembert (1717-1783) đưa vào Bách khoa toàn thư.
Vào thế kỷ 19, các nhà toán học

$$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$$
$$1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{1}{3} n (2n - 1)(2n + 1)$$
$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n (n + 1) = \frac{1}{3} n (n + 1)(n + 2)$$

Câu đố số

chéo
Nằm ngang:
a) Là số có các chữ số liên tiếp, xếp theo thứ tự tăng dần; b) một số là bội số của 9; d) hình vuông hoàn chỉnh; e) một số là bội số của 36.
Thẳng đứng:
a) Là số có các chữ số liên tiếp được sắp xếp theo thứ tự giảm dần; b) bình phương của một số nguyên tố; c) khối đầy đủ; e) lũy thừa của 2.

N. K. Antonovich
Các số giống nhau khi nhân
Có thể thay đổi hai số có hai chữ số để thu được một số có bốn chữ số đã biết trước đó và tất cả các chữ số của chúng đều giống nhau không?

F. K. Kadirov
Các số giống nhau khi thêm
Có thể lấy một số tự nhiên như vậy $A$ rồi dừng lại như thế này không?

cộng các số vào đó để khi cộng số thu được với số $A$ thì tổng đó là số viết bằng số chín năm 1985: 99…999?

M. Bayramov, học sinh lớp 10 đến từ Baku

Cược số học

LYUBA
TÌNH YÊU
DƯA HẤU

THỂ THAO

• CẢNG
  ORT
  RRRR

N. K. Antonovich

34

Giống như họ Dacosta, và bằng cách thử hết cái này đến cái khác, có lẽ họ sẽ tìm ra con số là chìa khóa của mật mã.

Không rõ vì sao việc thiếu chia văn bản thành từng chữ riêng biệt cho mỗi thẩm phán lại là một trở ngại không thể vượt qua. Trên thực tế, nó chỉ làm tăng số lượng tìm kiếm cần thiết. Manozl trả lại số phận: “Chà, chà! Nếu tên của Dacosti được nhắc đến, thì, lấy từng chữ cái của những dòng này để tìm chữ đầu tiên trong số bảy chữ tạo nên tên của anh ấy, cuối cùng chúng ta sẽ tìm thấy anh ấy.

Đây rồi - đường dẫn trực tiếp tới lời giải bài toán! Sự quá mức cần thiết không phải là tuyệt vời. Văn bản bao gồm 252 chữ cái. Vì vậy, cần phải sắp xếp tối đa 246 phương án. Tại một thời điểm, khi viết từ DAKOSTA phía trên đoạn IBNTFE, chúng ta sẽ xác định được dãy số 5134325. Điều tự nhiên khi cho rằng số 5 cuối cùng là điểm bắt đầu của giai đoạn tiếp theo:

DACOSA
… 5 1 3 4 3 2 5 1 3 4 3 2 5 1 3 4 …
… T G O I BNT F E O I X …

Thay vì khóa 432513, chúng tôi đã tìm thấy hoán vị tuần hoàn 513432 của nó, điều này không hề cản trở việc giải mã văn bản.

Cuối cùng, hãy thảo luận về câu hỏi tiếp theo. Chúng tôi biết được nội dung của tài liệu và do đó có thể đoán được các từ có trong đó. Từ này được sử dụng để giải mã. Nhưng phải làm gì khi không rõ nội dung của tài liệu?

Có một số cách. Như trước đây, bạn có thể thử gỡ lỗi một số từ (hoặc một phần của từ) có trong tài liệu. (Văn bản thường chứa các từ “which”, “then”, “if”, “what”, v.v.; sự hiện diện của “at”, “pre”, “under”.) Việc tìm kiếm như vậy có thể làm tăng đáng kể lượng tìm kiếm, nhưng có nhiều cơ hội thành công. Rõ ràng, một cách hợp lý hơn là phân tích tần suất sử dụng các chữ cái khác nhau trong mật mã. Nhưng làm thế nào điều này có thể được?! Rốt cuộc, Jarrix trực tiếp nói rằng nếu khóa của mật mã là một con số, thì đường dẫn này không thể áp dụng được: “Điều gì xảy ra sau đây? Ý nghĩa của mỗi chữ cái được xác định bởi một số được đặt ngẫu nhiên bên dưới nó và một chữ cái trong mật mã không chỉ định cùng một chữ cái trong văn bản theo bất kỳ cách nào.”

Hãy xem xét thiết bị mã hóa sau (hình 1). Để đơn giản, giả sử rằng khóa mã hóa là một số có ba chữ số. Trên bốn vòng tròn đồng tâm, vòng tròn nhỏ hơn bất động và phần còn lại có thể xoay so với tâm của chúng, chúng ta viết ra các chữ cái trong bảng chữ cái. Hãy chọn số 259 làm chìa khóa. Hãy xoay vòng tròn đầu tiên ngược chiều kim đồng hồ bằng hai chữ cái, vòng thứ hai bằng năm chữ cái và vòng tròn thứ ba bằng chín chữ cái (hình 2). Việc mã hóa sẽ được thực hiện như sau. Chữ cái đầu tiên của văn bản nằm trên một vòng tròn cố định và chúng ta cùng nhau viết chữ cái tương ứng của vòng tròn thứ nhất, cùng với chữ cái thứ hai của văn bản chúng ta viết chữ cái tương ứng của vòng tròn thứ hai, v.v., cùng nhau 3k+i

35

(i=1, 2, 3; k=0, 1, 2, …) chữ cái của văn bản - chữ cái tương ứng của vòng tròn thứ i.

Từ chính quá trình mã hóa, theo sau, nếu sự khác biệt giữa số vị trí mà bất kỳ chữ cái nào trong văn bản đứng trên đó là bội số của 3, thì cùng một số sẽ được sử dụng khi mã hóa chúng. Do đó, tuyên bố của Jarricas rằng một chữ cái trong mật mã không biểu thị cùng một chữ cái trong văn bản là sai.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải mã. Giả sử chúng ta biết rằng khóa là một số có ba chữ số. Rõ ràng là để tìm chữ số đầu tiên của số này, cần phải kiểm tra phân tích một tập hợp bao gồm các chữ cái đầu tiên, thứ tư, …, 3k+1, … của văn bản; để xác định chữ số thứ hai - một tập hợp gồm các chữ cái thứ hai, thứ năm, …, 3k+2, …; để xác định chữ số thứ ba - một tập hợp bao gồm các chữ cái thứ ba, thứ sáu, …, 3(k+1), ….

Câu hỏi vẫn là: phải làm gì khi không biết khóa bao gồm bao nhiêu chữ số? Không có cách nào xung quanh điều này mà không đi quá nhiệt tình. Đầu tiên, chúng tôi giả định rằng khóa là số có hai chữ số, sau đó là số có ba chữ số, v.v., cho đến khi văn bản được giải mã.

Bỏ qua các lựa chọn trung gian, chúng ta hãy xem xét ngay trình tự giải mã mật mã của chúng ta trong trường hợp khóa là một số có sáu chữ số.

Chúng tôi chia toàn bộ văn bản của mật mã thành sáu bộ chữ cái theo các quy tắc được mô tả ở trên*) và đếm số lần các chữ cái trong bảng chữ cái được bao gồm trong mỗi bộ. Kết quả tính toán được thể hiện ở Bảng 1.

Mỗi bộ chỉ chứa 42 chữ cái: tất nhiên điều này là không đủ để đưa ra kết luận đáng tin cậy về tần suất sử dụng của từng chữ cái mật mã. bài toán của chúng tôi được đơn giản hóa bởi thực tế là đối với mỗi bộ, chỉ cần gỡ lỗi số mà các chữ cái trong bảng chữ cái bị dịch chuyển trong quá trình mã hóa là đủ.

Hãy lấy bốn chữ cái phổ biến nhất: A, E, I, O - và đếm tổng số lần xuất hiện của chúng trong văn bản gốc cho các giá trị dịch chuyển khác nhau từ 0 đến 9. Kết quả được thể hiện trong Bảng 2.

| Đặt không. | Giá trị dịch chuyển |
| :— | :— |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | 5 | 1 | 1 | 9 | 13 | 1 | 6 | 4 | 7 | 6 |
| 2 | 6 | 2 | 2 | 19 | 3 | 4 | 9 | 5 | 4 | 5 |
| 3 | 8 | 8 | 11 | 3 | 5 | 12 | 11 | 5 | 5 | 5 |
| 4 | 5 | 4 | 6 | 3 | 8 | 15 | 1 | 4 | 6 | 8 |
| 5 | 6 | 17 | 3 | 7 | 6 | 1 | 9 | 7 | 2 | 8 |
| 6 | 9 | 4 | 6 | 12 | 3 | 10 | 7 | 8 | 7 | 4 |

Vì chúng ta đã chọn các chữ cái xuất hiện thường xuyên nhất nên tự nhiên giả sử rằng chữ số đầu tiên của khóa là 4, chữ số thứ hai là 3, chữ số thứ tư là 5, chữ số thứ năm là 1, chữ số thứ sáu là 3. Đối với chữ số thứ ba, nó phải được chọn từ các số 2, 5, 6. Việc giải mã cuối cùng của mật mã giờ đây không còn khó khăn nữa.

Gửi độc giả của chúng tôi
Việc đăng ký tạp chí «Kvant» cho năm 1986 vẫn tiếp tục. Chỉ số tạp chí trong danh mục Soyuzechati là 70465. Giá đăng ký trong năm là 4 rúp 80 kopecks. Tất cả các bưu điện đều chấp nhận đăng ký mà không bị hạn chế trong suốt cả năm.