Olympic Vật lý khu vực Novosibirsk

58

Bài tập
dịp kỉ niệm
thành phố Mátxcơva
toán học
Thế vận hội

Năm nay Olympic Toán Matxcova lần thứ 48 được tổ chức; Hơn 700 học sinh đã tham gia vào nó. Mặc dù con số của nó không phải là “tròn” nhưng Thế vận hội này có thể được coi là một lễ kỷ niệm - Thế vận hội đầu tiên diễn ra cách đây đúng 50 năm. Vòng chung kết Olympic 1985 diễn ra vào ngày 24 tháng 3 tại Đại học Moscow. Chúng tôi trình bày bài toán đề xuất về nó.

lớp 7

1. Tìm tất cả các giá trị của $x$ và $y$ thỏa mãn đẳng thức
   $$xy + 1 = x + y.$$

2. Cho năm số dương khác nhau, có thể chia chúng thành hai nhóm sao cho tổng các số trong các nhóm này bằng nhau. Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này?

3. Độ dài $a, b, c, d$ của bốn đoạn thỏa mãn bất đẳng thức $0 < a \leq b \leq c < d, d < a + b + c$. Có thể tạo ra một hình thang từ những đoạn này không?

4. Một zats nằm ở trung tâm của hình vuông, và ở mỗi góc trong số bốn góc có một con sói. Liệu một zac có thể chạy ra khỏi hình vuông không nếu sói chỉ có thể chạy dọc theo các cạnh của hình vuông với tốc độ tối đa bằng 1,4 lần tốc độ tối đa của zac?

5. Một thùng sữa đã được đưa đến Matazin. Người bán có tất cả mọi thứ không có trọng lượng (bạn có thể đặt bình ở hai bên cân), cũng như ba bình giống hệt nhau, hai bình rỗng và bình thứ ba chứa 1 lít sữa. Làm thế nào có thể đổ 85 lít sữa vào một bình mà không cần cân?
   lớp 8

6. Tìm tất cả các giá trị của $x, y$ và $z$ thỏa mãn đẳng thức
   $$(x - y + z)^2 = x^2 - y^2 + z^2.$$

7. Các số $a_1, a_2, \dots, a_{1985}$ đại diện cho các số 1, 2, …, 1985 được sắp xếp lại theo một thứ tự nào đó. Mỗi số $a_k$ được nhân với số $k$ của nó, sau đó số lớn nhất sẽ được chọn trong số tất cả 1985 sản phẩm thu được. Chứng minh rằng nó không nhỏ hơn $993^2$.

8. Một hình vuông giấy được đặt trên một tờ giấy “trong một cái lồng”, diện tích của nó bằng bốn lần diện tích của cái lồng. Số lượng nút nhỏ nhất có thể bao phủ hình vuông này là bao nhiêu? (Nút là giao điểm của tờ giấy tuyến tính; nếu một nút nằm trên đường viền của một hình vuông thì nó được coi là bị che.)

9. Vô số người giàu xếp hàng phía sau chú Chernomor. Chứng minh rằng anh ta có thể ra lệnh cho các phần của chúng bị hỏng sao cho có vô số phần giàu còn lại trong hàng và tất cả chúng đều đứng theo thứ tự chiều cao (không nhất thiết phải theo thứ tự chiều cao giảm dần).

10. Chứng minh rằng nếu độ dài mỗi đường phân giác của một tam giác lớn hơn 1 thì diện tích của tam giác đó lớn hơn 1/√3.

lớp 9

1. Tìm tất cả các giá trị của $x, y$ và $z$ thỏa mãn đẳng thức
   $$\sqrt{x - y + z} = \sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z}.$$
2. Một số quốc gia có 1.985 sân bay. Một chiếc máy bay cất cánh từ mỗi người trong số họ và hạ cánh xuống một sân bay máy bay từ địa điểm phóng. Phải chăng kết quả là tất cả máy bay năm 1985 đều có mặt ở 50 sân bay? (Trái đất có thể được coi là bằng phẳng và các tuyến đường thẳng.)
3. Xem bài toán 3 cho lớp 8.
4. Chứng minh rằng trong nhóm 12 người bất kỳ, bạn có thể chọn hai người và trong số 10 người vẫn còn năm người, sao cho mỗi người trong số năm người này thỏa mãn điều kiện sau: hoặc anh ta là bạn của tất cả những người được chọn lúc đầu, hoặc anh ta không là bạn của bất kỳ ai trong số họ.
5. Chứng minh rằng mọi số $2^n$, trong đó $n=3, 4, 5, \dots$ có thể được biểu diễn dưới dạng $2^n = 7x^2 + y^2$, trong đó $x$ và $y$ là số lẻ.

lớp 10

1. Giải phương trình
   $$\frac{x - 49}{50} + \frac{x - 50}{49} = \frac{49}{x - 50} + \frac{50}{x - 49}.$$
2. Xem bài toán 3 cho lớp 7.
3. Hãy xác định “độ phức tạp” của một số nhất định bằng độ dài ngắn nhất của một chuỗi số (nếu có), bắt đầu từ 0 và kết thúc bằng số này, đồng thời mỗi chuỗi tiếp theo đều bằng 0 $m/2^{50}$, trong đó $m=1, 3, 5, \dots, 2^{50}-1$, tìm số có “độ phức tạp” nhất.
4. Tập hợp dữ liệu 1985, mỗi tập hợp bao gồm 45 phần tử và hợp của hai tập hợp bất kỳ chứa chính xác 89 phần tử. Hợp của tất cả các tập hợp năm 1985 này chứa bao nhiêu phần tử?
5. Chứng minh rằng nếu khoảng cách giữa các cạnh giao nhau của một tứ diện bằng $h_1, h_2, h_3$ thì thể tích của tứ diện đó không nhỏ hơn $h_1h_2h_3/3$.

Ấn phẩm đã được chuẩn bị
S. V. Gashkov, I. N. Sereev

Olympic Vật lý khu vực Novosibirsk

lớp 8

1. Một cái thùng hình Konchek, chứa đầy một phần nước, được đóng lại bằng hai nút giống hệt nhau, tác dụng lực bằng nhau lên chúng (hình 1). Thực hiện di chuyển bucca từ nơi này sang nơi khác, giữ nó với đường kính rộng hướng xuống, sau đó từ từ lật bucca với đường kính hẹp hướng xuống. Sau đó, phích cắm bay ra và nước bắt đầu chảy ra khỏi thùng. Tại sao phích cắm lại bị tuột ra?

59

2. Một sợi dây linh hoạt với các mắt xích nhỏ nối hai quả bóng nhỏ, nặng hơn nhiều so với bất kỳ mắt xích nào trong dây xích. Tuy nhiên, một trong những quả bóng được giữ ở giữa một chiếc bàn ngang nhẵn có hình tròn, trong khi một quả bóng khác cùng với một đoạn dây xích nhỏ tỏa sáng từ mép của nó. Giả sử rằng chiều cao của cái bàn lớn hơn chiều dài của sợi dây, hãy xác định vị trí các điểm tiếp xúc đầu tiên của các quả bóng với sàn nếu bạn tưởng tượng hệ thống với chính nó: 1) bên trong một vòng tròn có cái bàn làm “mái nhà”; 2) bên ngoài vòng tròn được đề cập; 3) trên biên giới của nó. Kẻ giả vờ Trennem.

3. Vật bắt đầu trượt xuống mặt phẳng nghiêng gồ ghề và tại điểm thấp nhất chạm vào một bức tường đàn hồi vuông góc với hướng chuyển động của nó. Sau va chạm, vật tăng lên một nửa độ cao ban đầu. Giả sử rằng mô đun vận tốc không thay đổi trong quá trình va chạm, hãy xác định cái nào mất nhiều thời gian hơn: đi lên hay đi xuống. Bao nhiêu lần?

4. Một vật nhỏ có khối lượng $m$, treo trên một sợi dây không trọng lượng, bị lệch khỏi vị trí cân bằng một góc $a$ rồi thả ra. Xác định lực căng của sợi dây tại thời điểm đầu tiên.

5. Lực kế bao gồm hai xi lanh được nối với nhau bằng một lò xo nhẹ (hình 2). Tìm tỷ số khối lượng của các hình trụ này nếu với lực $F_1$ và $F_2$ tác dụng lên chúng, số đọc đường kính là $F$.

lớp 9

1. Toa tàu một ray có một động cơ có khả năng tạo ra công suất $N=100$ kW. Xe kéo bắt đầu di chuyển ở một bên và dừng ở bên kia. Tìm thời gian tối thiểu cần thiết cho việc này. Hệ số ma sát của bánh xe trên đường ray $\mu=0,2$. Khoảng cách giữa các ga là $l=800$ m, trọng lượng toa xe là 100 kg. Sức cản không khí khi di chuyển giảm.

2. Lực nâng của một quả bóng bay khi giao tiếp với khí quyển sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu lần đầu tiên sử dụng hydro làm khí và heli làm khí lần thứ hai? Khối lượng vỏ của quả bóng là pretenbrets.

3. Một ống kín mỏng chứa đầy chất lỏng có mật độ $Q$ và quay trong mặt phẳng nằm ngang quanh một trục đi qua một trong các đầu của ống (hình 3). Áp suất chất lỏng trong ống được đo bằng hai đồng hồ đo áp suất đặt ở khoảng cách $l_1$ và $l_2$ tính từ trục quay. Sự khác biệt $\Delta p=p_2-p_1$ mà đồng hồ đo áp suất thể hiện khi ống quay đều với vận tốc góc $\omega$ là bao nhiêu?

4. Xem bài toán 5 cho lớp 8.

5. Trên một số đoạn đường cao tốc, xe số tự động trong đoàn giảm tốc độ từ $v_1$ xuống $v_2$. Khoảng cách ban đầu giữa các máy lái tự động phải là bao nhiêu để chúng không bị choáng? Chiều dài của mỗi máy là $l$.

lớp 10

1. Hệ thống bao gồm hai bình $A$ và $B$, được kết nối với nhau bằng một ống dài mỏng và chứa đầy chất lỏng đồng nhất (hình 4). Hai thí nghiệm được thực hiện với hệ thống. Trong thí nghiệm đầu tiên, bình $A$ được làm nóng, trong thí nghiệm thứ hai - $B$. Điều này có khiến chất lỏng chảy qua ống không? Nếu có, cách nào? Sự giãn nở của các bình và ống khi đun nóng, cũng như độ dẫn nhiệt của hệ thống là hiện tượng giả định.

2. Một tải trọng có khối lượng $M$ nhắm vào đầu dưới của một chùm tia thẳng đứng không biến dạng và được thả ra với tốc độ ban đầu, sau đó nó bắt đầu thực hiện một dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kỳ và biên độ dao động sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu một con bọ có khối lượng $m$ bằng 96% khối lượng của tải rơi xuống tải mà không cần lực đẩy? Hạ cánh mà không cần đẩy có nghĩa là tại thời điểm tiếp xúc, tốc độ của bọ và tải trọng là như nhau. Xem xét trường hợp hạ cánh: 1) ở điểm cao nhất và 2) ở điểm thấp nhất của quỹ đạo.

3. Thiết bị, có sơ đồ như hình hình 5, được kết nối với mạng điện xoay chiều có điện áp $U=220$ V. Vôn kế sẽ hiển thị điện áp nào trong một thời gian dài?

4. Xem bài toán 5 cho lớp 9.

5. Hai vật nhỏ có khối lượng $m$ đều được tích điện bằng nhau $q$ và nằm cách nhau một khoảng $r$ (hình 6). Đầu tiên, cơ thể 1 đã được phát hành. Khi nó di chuyển ra xa $2r$ thì vật 2 cũng được thả ra. Tìm vận tốc của các vật ở một khoảng cách lớn với nhau. Không có đào tạo.

Ấn phẩm được biên soạn bởi V. G. Kharitonov