Olympic Toán toàn Liên minh lần thứ XIX

51

XIX
Vesoyuznaya
Thế vận hội
trong toán học

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. V. VAVILOV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. V. REZNICHENKO

Giai đoạn cuối cùng của Kỳ thi Toán học toàn Liên minh lần thứ 19 đã diễn ra trên đất Belarus thân thiện ở thành phố Mogilev từ ngày 6 đến ngày 13 tháng 4. 162 học sinh, đại diện là các đội từ các Trường Tài nguyên Liên minh, Moscow, Leningrad và một số trường đặc biệt, đã tham gia các trường hiện đại - những người chiến thắng trước đó, trường tài nguyên, giai đoạn Olympic và sở hữu bằng cấp I và II tại Olympic Liên đoàn cân nặng năm ngoái. Theo truyền thống, đội chủ nhà cũng tham gia Thế vận hội - ba học sinh đến từ Mogilev.

Olympic năm nay được tổ chức nhằm kỷ niệm 40 năm Chiến thắng trong Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại, và người ta đánh giá cao việc nó diễn ra ở Belarus, nơi đã phải chịu đựng rất nhiều đau khổ trong trận chiến đẫm máu với kẻ thù, và là nơi tưởng nhớ các anh hùng chiến tranh được coi là thiêng liêng.

Tại lễ khai mạc giai đoạn cuối của Thế vận hội được tổ chức tại Cung điện tiên phong và học sinh xinh đẹp, đại diện Ban tổ chức Olympic, Thứ trưởng Bộ Giáo dục Các lực lượng vũ trang nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết M. M. Krugley Tello đã chúc mừng sự khởi đầu tiến bộ của các học sinh tham gia.

Giai đoạn cuối cùng của việc nâng cao Olympic, theo quy định, diễn ra trong hai vòng. Trong mỗi bài, học sinh đề xuất bốn bài toán, trong đó năm giờ được phân bổ cho lời giải. Điều kiện bài toán và danh sách thắng

Chúng tôi đặt cha mẹ ở cuối bài viết.

Bạn có thể thấy mức độ cải thiện của những người tham gia trong việc giải bài toán trong Bảng 1, trong đó kết quả được đưa ra dưới dạng phần trăm.

Bảng 1

Lớp | Số công việc
— | —
VIII | đã đối phó 84 18 68 32 48 68 16 27
| đã giải quyết được một phần 0 5 14 16 16 11 9 7
| thất bại 16 77 18 52 36 21 75 66
| đã đương đầu 32 20 25 15 27 37 31 12
| giải quyết được một phần 39 27 14 10 15 8 17 2
| thất bại 29 53 61 75 58 55 53 86
| đã đối phó 66 46 56 19 84 44 39 6
| đã giải quyết được một phần 14 3 8 6 2 14 8 3
| thất bại 20 51 36 75 14 42 53 91

Tổng kết, sau khi kiểm tra các tác phẩm, Jorry đã phân phát bài toán tùy theo độ khó của chúng và trao cho mỗi tác phẩm một số điểm nhất định (xem Bảng 2).

Bảng 2

Lớp | Số công việc
— | —
VIII | 6 10 6 8 7 6 9 8 60
IX | 5 8 7 10 7 6 7 10 60
X | 5 8 7 10 5 7 8 10 60

Những người tham gia Olympic đạt ít nhất 30 điểm được nhận bằng; phân bố các tính năng theo lớp được đưa ra trong Bảng 3.

Bảng 3

| | Bằng cấp | TRÊN-
lấy đi
hơn
30
điểm |
| :— | :— | :— |
| Lớp VIII (trên tổng số 44) Số điểm | 6 56—60 | 7 41—50 | 10 30—38 | 48 % |
| Lớp IX (trên tổng số 59) Số điểm | 6 50—60 | 9 36—44 | 12 25—35 | 31 % |
| Lớp X (trên 59) Số điểm | 2 56—57 | 8 47—52 | 20 30—42 | 49 % |
| Tổng cộng trong số 162 | 14 | 24 | 42 | 42 % |

53

$$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - 1;$$

6. rằng với mọi số đủ lớn thì bất đẳng thức là đúng

$$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - 1985.$$

lớp 10

1. Giải bất đẳng thức

$$|\sin x - \sin y| + \sin x \cdot \sin y \leq 0.$$

2. Vẽ hình ngũ giác lồi ABCDE trên mặt phẳng. Hãy dựng điểm $A_1$, đối xứng với điểm $A$ so với điểm $B$, điểm $B_1$, đối xứng với điểm $B$ so với $C$, …, điểm $E_1$, đối xứng với điểm $E$ so với điểm $A$, và sau đó là sự tương ứng ngũ giác ABCDE. Chứng minh rằng bằng compa và thước, biết vị trí các điểm $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1$, có thể dựng lại hình ngũ giác ABCDE.

3. Trình tự $a_1, a_2, a_3, \dots$ được đưa ra theo quy tắc: $a_{2n} = a_n$ cho $n \geq 1$ và $a_{4n+1} = 1$, $a_{4n+3} = 0$ cho $n \geq 0$. Chứng minh rằng dãy số này không có chu kỳ.

4. Có $n$ đường thẳng ($n > 2$) trên mặt phẳng, chia mặt phẳng thành nhiều vùng. Một số khu vực này có màu, không có hai khu vực màu nào chạm vào đường viền. Chứng minh rằng số vùng màu không vượt quá $(n^2 + n)/3$.

Ngày thứ hai

lớp 8

5. Có một hình lập phương, một hộp hình lập phương có nắp cùng kích thước và có sáu màu sắc. Mỗi cạnh của hình lập phương và một cạnh của hộp được sơn màu đỏ. Chứng minh rằng một khối lập phương có thể được đặt vào một hộp sao cho mỗi mặt của khối đó kề với một mặt của hộp được tô màu khác nhau.

6. Thuốc nổ $A_0A_5$ chia một vòng tròn có tâm tại $O$ thành hai hình bán nguyệt. Một trong số chúng được chia thành năm cung bằng nhau $A_0A_1, A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5$. Đường $A_1A_4$ cắt $OA_2$ và $OA_3$ tại các điểm $M$ và $N$. Chứng minh rằng tổng độ dài của các đoạn $A_2A_3$ và $MN$ bằng bán kính của hình tròn.

7. Các học sinh câu lạc bộ toán học của trường đã chế tạo một chiếc máy tính có thể biến bốn số ($a, b, c, d$) thành bốn ($a - b, b - c, c - d, d - a$) bằng cách nhấn một nút. Chứng minh rằng nếu không phải tất cả các số trong bộ tứ ban đầu đều bằng nhau thì sau một số lần nhấn nút sẽ thu được một bộ bốn, ít nhất một trong các số đó lớn hơn 1985.

8. Các số 1, 2, 3, …, $2n - 1$, $2n$ được chia thành hai nhóm, mỗi nhóm số $n$. Gọi $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ là các số của nhóm thứ nhất, viết theo thứ tự tăng dần và $b_1 > b_2 > \dots > b_n$ là các số của nhóm thứ hai, viết theo thứ tự giảm dần. Chứng minh rằng

$$|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + \dots + |a_n - b_n| = n^2.$$

lớp 9

5. Một hình song song được làm từ những chiếc cốc giống hệt nhau. Khi các mặt của hình bình hành có một đỉnh chung được biểu diễn. Hóa ra một nửa số cốc được sơn ít nhất một mặt. Có bao nhiêu chiếc cốc có cạnh được tô màu?