XIX Всесоюзная олимпиада по математике

51

XIX
Весоюзная
олимппада
по математике

Кандидат физико-mатематических наук
В. В. ВАВИЛОВ,
кандидат физико-mатематических наук
С. В. РЕЗНИЧЕНКО

Заключительный этап XIX Весоюзной олимппады школьников по математике состоялся на гостеприимной белорусской земле в г. Могилеве с 6 по 13 апреля. В современных участовале 162 школьника, представленные команды соозных ресурсик, Москвы, Ленинграда и некоторых спецшкол, —обедители предыдущего, ресурсиканского, этапа олимппады и обладаели дипломов I и II степени Весоюзной олимппады прошло года. В олимпиде по традиции участовала также команда хозяйв — три школьника из г. Могилева.

В этом году олимппада была посвящена 40-летию Победы в Великой Отечественной войне, и глубоко снимаюно, что она проходила именно в Белоруссии, так много выстрадавшей в кровавой битве с врагом, и где свято чут память героев войны.

На торжественном открытии заключительной этапа олимппады, состоящем в прекрасном Дворце пionеров и школьников, представитель оргомитета олимппады заместитель министра просвещения ВССР М. М. Круглей телло поздравил участников с началом совершенствования.

Заключительный этап совершенствования олимппады, как общно, в два тура. В каждом из них школьником было предложено по четые задачи, на решение которых отводилось по пять часов. Условия задачи и список побе-

Дителей мы помещаем в конце статьи.

Как участники совершенствовали справились с решением задач, видно из таблицы 1, где результаты даны в процентах.

Таблица 1

Класс | № задания
— | —
VIII | справлись 84 18 68 32 48 68 16 27
| справлись частчно 0 5 14 16 16 11 9 7
| не справлись 16 77 18 52 36 21 75 66
| справлись 32 20 25 15 27 37 31 12
| справлись частчно 39 27 14 10 15 8 17 2
| не справлись 29 53 61 75 58 55 53 86
| справлись 66 46 56 19 84 44 39 6
| справлись частчно 14 3 8 6 2 14 8 3
| не справлись 20 51 36 75 14 42 53 91

При подведении итогов, после проверки работ, жорри произвел распределение задачи по их трудности и присуdlю каждой из них определенное число баллов (см. таблицу 2).

Таблица 2

Класс | № задания
— | —
VIII | 6 10 6 8 7 6 9 8 60
IX | 5 8 7 10 7 6 7 10 60
X | 5 8 7 10 5 7 8 10 60

Участники олимппады, набравшие не менее 30 баллов, получили дипломы; распределение признаков по классам данного в таблице 3.

Таблица 3

| | Дипломы | На-
брали
более
30
баллов |
| :— | :— | :— |
| VIII класс (из 44) Количество баллов | 6 56—60 | 7 41—50 | 10 30—38 | 48 % |
| IX класс (из 59) Количество баллов | 6 50—60 | 9 36—44 | 12 25—35 | 31 % |
| X класс (из 59) Количество баллов | 2 56—57 | 8 47—52 | 20 30—42 | 49 % |
| В целом из 162 | 14 | 24 | 42 | 42 % |

53

$$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - 1;$$

6. что для всех достаточно больших номеров справедливо неравенство

$$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - 1985.$$

10 класс

1. Решите неравенство

$$|\sin x - \sin y| + \sin x \cdot \sin y \leq 0.$$

2. На плоскости нарисован выпуклый пятугольник ABCDE. Построим точку $A_1$, симметрично точке $A$ относительно точки $B$, точку $B_1$, симметрично точке $B$ относительно $C$, …, точку $E_1$, симметрично точке $E$ относительно точки $A$, и после этого соответствие пятугольник ABCDE. Доказите, что при помощи циркуля и линейки, зная расположение точек $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1$ можно восстановить пятугольник ABCDE.

3. Последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots$ задается правилами: $a_{2n} = a_n$ при $n \geq 1$ и $a_{4n+1} = 1$, $a_{4n+3} = 0$ при $n \geq 0$. Доказите, что эта последовательность не имеет периода.

4. На плоскости проведено $n$ прямых ($n > 2$), деляших плоскость на несколько областей. Некоторые из этих областей окрашены, причем никакие две окрашенные области не могут соприкасаться по границе. Доказите, что число окрашенных областей не превыходит $(n^2 + n)/3$.

Второй день

8 класс

5. Имеется куб, кубичская коробка с крышкой тех же размеров и шестей краскок. Каждый красной окрашивается одна грань куба и одна из граней коробки. Доказите, что куб можно таким образом положить в коробку, чтобы каждая грань куба прилегала к грани коробки, окрашенной другим цветом.

6. Динамит $A_0A_5$ делит окружность с центром в точке $O$ на две полукружности. Одана из них разделена на пять равных дуг $A_0A_1, A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5$. Прямая $A_1A_4$ пересекает $OA_2$ и $OA_3$ в точках $M$ и $N$. Доказите, что сумма длины отрезков $A_2A_3$ и $MN$ равна радиусу окружности.

7. Ученики школьного математического кружка мастерили вычислительной машину, которая четверку чисел ($a, b, c, d$) нажатем кнопки превращает в четверку ($a - b, b - c, c - d, d - a$). Доказите, что если в исходной четверке не все числа равны, то после некоторых числа нажатей кнопки получится четверка, хотя бы одно из чисел которого больше 1985.

8. Числа 1, 2, 3, …, $2n - 1$, $2n$ разбиты на две группы по $n$ чисел в каждой. Пусть $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ — числа первого группы, записанные в возрастанию порядке, и $b_1 > b_2 > \dots > b_n$ — числа второго группы в убывающем порядке. Доказите, что

$$|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + \dots + |a_n - b_n| = n^2.$$

9 класс

5. Из одинаковых кубков составлен параллелепед. При грани параллелепеда, имеющие общую вершину, показили. Оказалось, что у половины всех кубков окрашена хотя бы одна грань. У сколько кубков имеются окрашенные грани?