Решения задач М931—М935; Ф943—Ф947

36

a thread $AB$ (Fig. 3, p. 34) is punctured; the thread, which had been floating freely on the film, stretches into a definite shape. Find the tension in the thread. The distance between the «directrices» is $d$, the length of the thread is $l$ ($l > \pi d/2$), the coefficient of surface tension of the soap solution is $\sigma$.

L. G. Markovich

P967. A pile of very thin metal plates, located at the same distance from each other, is charged from a battery in the following way. The negative contact of the battery is connected to the plate furthest to the right, while the positive contact is connected in sequence first to the first plate from the left, then to the second one, the third and so on until the next to last plate (the second one from the right, see Fig. 4). Find the ratio of the charge of the far right plate to that of the third from the right. Assume that the thickness of the pile is much less than its linear measurements.

E. P. Sokolov

Решения задач

M931 — M935; Ф943 — Ф947

Рассмотрим треугольники $AA_1B_1$ и $BB_1A_1$ (рис. 1). Они имеют общую сторону $A_1B_1$ и равные по условию стороны $AA_1$ и $BB_1$. Кроме того, равны их углы $AB_1A_1$ и $BA_1B_1$, поскольку смежные с ними углы — это углы при основании равноведренного треугольника $A_1B_1C$ (отрезки $CA_1$ и $CB_1$ равны, как касательные, проведенные к окружности из одной точки); по той же причине углы $AB_1A_1$ и $BA_1B_1$ тулы, следовательно, остальные углы рассматриваемых треугольников остры. По теореме синусов

$$\sin \angle A_1AB_1 = \frac{A_1B_1}{A_1A} \sin \angle AB_1A_1 =$$

$$= \frac{A_1B_1}{B_1B} \sin \angle BA_1B_1 = \sin \angle B_1BA_1,$$

позному $\angle A_1AB_1 = \angle B_1BA_1$ (эти углы остры), значит, и $\angle AA_1B_1 = \angle BB_1A_1$. Таким образом, треугольники $AA_1B_1$ и $BB_1A_1$ равны (по двум сторонам и углу между ними). В частности, $AB_1 = BA_1$ и $AC = AB_1 + B_1C = BA_1 + A_1C = BC$. Аналогично доказывается, что $AC = AB$.

Отметим, что, вообще говоря, признак равенства треугольников «по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них» не верен (см. рис. 2).

В. Н. Дубровский

M932. В кавадратной клетке со стороны 1 м находится анаконда длиной 10 м. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он в любой момент может одним выстрелом прострелть анаконду сразу в 6 местах. Не преувеличивает ли барон? (Анаконду можно считать произвольной ломаной длины 10, расположенной внутри кавадрата $1 \times 1$.)

37

М933. 13 рыцарей из k разных кланов (1<k<13) сидят за круглым столом. Каждый держит золотой или серебряный кубок, причем золотых кубковровно k. Король Артур приказал рыцарем одновременно передать кубки своим соседям справа, потом сделать то же самое еще раз и т. д. Докажите, что в некоторых моментах найдет два рыцара из одного клана, в руках у которых золотые кубки.

М934. В пространстве расположено 2n(n≥2) точек (так что никакие 4 не лежат в одной плоскости) и проведено n²+1 отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведенные отрезки образуют a) хотя бы один треугольник; b)* не менее n треугольников.

ломной. Барону достаточно быстро пистелить из этой точки перепendlukлярно стороне. Из рисунка на полях видно, что анакonda может так расположиться в клетке, что даже Мюнхгаузен не сумет прострелить ее сразу в 7 местах.

С. В. Гашков

◆
Вудем рассуждать от противного. Если утверждение задачи не верно, то в любой момент временировно один рыцарь в каждой клане держит золотой кубок, так как число кланов равно числу кубков. Допустим, что каждая следующая передача кубков проискдает через минуту. Тогда за 13 минут — время полного оборота кубков вокруг стола — каждому рыцарю доведется держать каждый из золотых кубковровно по одному разу, то есть в течение k минут, а всем рыцарям одного клана вместе взятым — nk минут, где n — число рыцарей в этом клане. Таким образом, nk=13, что невозможно при 1<k<13, поскольку число 13 простое.

Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.

Если бы общее число рыцарей r делилось на k: r=kn, то было бы нетрудно построить пример, когда в любой момент лишь у одного рыцаря из каждого клана золотой кубок: достаточно расследить рыцарей каждого клана в вершинах правильного n-угольника, а k золотых кубков дает k сидящим подряд рыцаря (из разных кланов).

С. В. Гашков

◆
a) Выберем точку, из которой выходит наиболее число отрезков. Обозначим ее через A₁, концы выхождения из нее отрезков — через B₁, …, Bₖ, остальные точки — через A₂, …, A₂n-k. Если треугольников нет, то между точкими B₁, …, Bₖ нет отрезков, поэтому из каждой из них выходит не более 2n-k отрезков. А поскольку из каждой точки Aᵢ, i=1, …, 2n-k, выходит не более k отрезков, общее число отрезков не превысит

$$\frac{1}{2}(k(2n-k)+(2n-k)k)=k(2n-k)\leq n^2.$$

Не число данных отрезков равно n²+1, поэтому они образуют хотя бы один треугольник.

Для n² отрезков утверждение задачи, как видно из рисунка, не верно.

б) Проведем доказательство индукции по n. При n=2 (для 4 точки и 5 отрезков) утверждение проверяется непосредственно. Докажем его для 2(n+1) точки, считая его верным для 2n точки.

Согласно a) проведенные отрезки образуют хотя бы один треугольник ABC. Нужно еще по крайней мере n треугольников. Обозначим количество отрезков, выхождения из вершин треугольника ABC (не считая его сторон), через kₐ, kₑ, k₃ соответственно.

38

Если $k = k_A + k_B + k_C \leq 3n - 2$, то для каких-то двух вершин треугольника, например $A$ и $B$, общее число таких отрезков $k_A + k_B$ не больше $2n - 2$. Выбросим эти точки и все выходящие из них отрезки (вместе со сторонами треугольника $ABC$). Мы получим набор из точек, соединенных не менее чем $(n + 1)^2 + 1 - (2n - 2) - 3 = n^2 + 1$ отрезками, которые, по предложению индуки, образуют не менее $n$ треугольников.

Если же $k \geq 3n - 1$ и $k$ рассматриваемых нами отрезков образуют со сторонами $AB, BC$ и $CA$ треугольников, то $t \geq n$. В самом деле, пусть среди $2n + 2 - 3 = 2n - 1$ точек, отличных от $A, B, C$, имеется $n_j$ таких, из которых идет $j$ отрезков к вершинами $A, B, C$ ($j = 0, 1, 2, 3$). Тогда
$$n_1 + n_2 + n_3 \leq n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = 2n - 1,$$
$$n_1 + 2n_2 + 3n_3 = k \geq 3n - 1,$$
следовать, $t = n_2 + 3n_3 \geq n_2 + 2n_3 \geq (3n - 1) - (2n - 1) \geq n$.

С. В. Гашков

M935. (Задача о гайке.) Если внутри правильно $2n$-угольника со сторонами $a$ и центром $O$ (произвольным образом помещить правильно $2n$-угольник со сторонами $a/2$, то он накроет точку $O$. Доказите это утверждение: $a)$ для $n = 2$; $b)$* для $n = 3$; $c)$* для любого натурального $n$.

Рис. 1.

Рис. 2.

Будем рассуждать от противного и сразу в общем случае. Обозначим меньший $2n$-угольник через $M_1$, больший — через $M_2$. Если многоугольник $M_1$ не содержит центра $O$ многоугольника $M_2$, то, поскольку он выпуклый, у него найдется такая сторона $AB$, что точка $O$ и сам многоугольник $M_1$ лежат по разные стороны от прямой $AB$ (рис. 1). Пусть $CD$ — противоположная к $AB$ сторона многоугольника $M_1$. Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ равно радиусу вписанной окружности многоугольника $M_2$, поэтому прямая $CD$ лежит вне этой окружности. Проведем касательную $MN$ к этой окружности (см. рис. 1), параллельную $CD$; тогда, как следует из сказанного,
$$CD \leq C'D' < MN,$$
где $C'D'$ — отрезок, по которой прямая $CD$ пересекается с $M_2$, причем концы отрезков $C'D'$ и $MN$ лежат на двух соседних сторонах многоугольника $M_2$.

Тепер достаточно доказать, что $MN < a/2$ (тогда окажется, что $CD < a/2$, что противоречит условия). Пусть точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $M_2$, выходящих из вершины $P$; $Q, R$ и $T$ — точки касания этих сторон и отрезка $MN$ с вписанной окружностью $M_2$ (рис. 2). Тогда
$$2MN = MT + MN + TN = QM + MN + NR < QP + PR = a,$$
что и требовалось.

Заметим, что для $(2n + 1)$-угольников аналогичное утверждение неверно.

С. В. Гашков

**Ф943. Небольшие тело падает с ортомой высоты на землю. Считая удар тела о землю абсолотно упругим, определен-

39

лить ускорение тела сразу же после того, как оно отскочит от земли.

Рис. 1.

Рис. 2.

Положно скорости тела, то есть вверх. Посокльку сила сопротивления растет с увеличением скорости, найдет такая высота (по условию тела падает с огромной высоты), на которой сила сопротивления оказывает по модулю силу тяжести (рис. 1):

$$mg - F_c = 0, \quad mg + F_c = 0.$$

Начиная с этого момента, тело будет падать с некоторой постоянной скоростью $\vec{v}$.

С такой же по модели, но противоположно направленной скоростью тела отскочит от земли сразу же после абсцилтоно упругого удара о нее. В этот момент на тело действуют две одинаково направленные и равные по модулю силы (рис. 2), поэтому его ускорение будет равно

$$a = \frac{mg + F_c}{m} = \frac{2mg}{m} = 2g \approx 20 \text{ m/c}^2.$$

А. Г. Шихкеримов

Ф944. На твердое тело, движущаяся поступательно по шероховатой горизонтальной поверхности, в момент времени $t_0 = 0$, когда скорость тела равна $v_0$, начинает действовать сила $F(t)$, направленная все время вдоль вектора $\vec{v}_0$ и возвращающаяся в временем. Через время $t$ скорость тела оказывается равной $v_i$, причем $v_i = 5 \text{ m/c}$, если $v_0 = 1 \text{ m/c}$, и $v_i = 13 \text{ m/c}$, если $v_0 = 10 \text{ m/c}$. Определить зависимость $v_i = f(v_0)$ при всех возможных $v_0$.

Начиная с момента времени $t = 0$, на тело действуют две силы — данная сила $F(t)$, возвращающаяся со временем, и сила треня, которая здесь может принимать значения от 0 до максимальной силы треня покоя, равной силе треня скольжения $F_{\tau p} = \mu mg$ (μ — коэффициент треня, $m$ — масса тела). Эти силы направлены противоположно друг другу, поэтому понятно, что характер движения тела будет определяться соотношением между модулями действующих на тело сил, и прежде всего — в начальной момент. Расстоярим возможность в начале момента $t = 0$, на тело действуют две силы — данная сила $F(t)$, возвращающаяся со временем за данный промежуток времени $t$ не зависит от скорости: $v_i = v_0 + C$ (где $C$ — некоторая постоянная). Соответствующий график изобранен на рисунке 1. Нетрудно увидеть, что данные задачи не «ложатся» на этот график. Значит, $F(0) < \mu mg$.

Поскольку сила $F(t)$ с течение времен возвращает, в какой-то момент, назовем его «критичским», она оказывается равной максимальной силы треня покоя: $F(t_{\kappa p}) = \mu mg$. Это может произойти либо до указанного момента времени $t$, либо после него (конечно, не исключено, что этого не следует никакого, но об этом — несколько позже).

Пусть $t_{\kappa p} < t$. Тогда тело сначала, до момента $t_{\kappa p}$, движется замедленно, а потом ускорено. Но здесь тоже возможно два случая: в момент $t_{\kappa p}$ скорость тела либо равна нулю, либо больше нулю. Ясно, что первый случай может быть реализован лишь при достаточно малых начальных скорости. При этом скорость $v_i$ не зависит от скорости $v_0$ (тело движется замедленно, останавливается и снова начинает движаться, «забыв» о начальной скорости $v_0$): $v_i = A$. Постепенно уvelичная начальная скорость, мы приедем к таким ее значению, назовем его «критичским», что при

40

$v_0 > v_{\text{кр}}$ тело будет движаться, не остановливаясь. В этом случае, начная с момента $t_{\text{кр}}$, на тело будет действовать сила $F(t) - \mu mg$, не зависит от скорости, поэтому $v_t = v_0 + B$. Таким образом, при $t_{\text{кр}} < t$ график зависимости $v_t = f(v_0)$ имеет вид, приведенный на рисунке 2.

Пусть теперь $t_{\text{кр}} > t$. Проведяя аналогичные расчёжения, мы приdem к графику, изображенную на рисунке 3. Очевидно, что этот график подходит и для последнего возможного случая, когда сила $F(t)$ всегда меньше $\mu mg$ (тело либо остановится до момента $t$, либо будет движения сускорением, не зависит от скорости).

Итак, мы получили три графика зависимости конечной скорости движения тела от его начальной скорости. При этом точки, заданные в условиям задачи ($v_t = 5$ м/c при $v_0 = 1$ м/c и $v_t = 13$ м/c при $v_0 = 10$ м/c), «ложатся» лишь на график, изображенный на рисунке 2. Таким образом,

$$v_t = \begin{cases} A & \text{при } v_0 \leqslant v_{\text{кр}}, \\ B + v_0 & \text{при } v_0 > v_{\text{кр}}. \end{cases}$$

«Сшивая» эти два условия с учетом конкретных данных, получим окончательно (рис. 4):

$$v_t = \begin{cases} 5 \text{ м/c} & \text{при } v_0 \leqslant 2 \text{ м/c}, \\ 3 \text{ м/c} + v_0 & \text{при } v_0 > 2 \text{ м/c}. \end{cases}$$

Р. Л. Мкртчян, O. М. Худавердян

◆ Коэффициент полезного действия циклического процесса определяется как $\eta = A / Q$, где $A$ — работа, совершенная системой за цикл, $Q$ — количество теплоты, полученное системой соответствующего привертом и при втором цикле. Найдем $Q_1$ и $Q_2$.

Пусть температура газа в точке 1 была $T_1$. Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа, нетрудно показать, что

$$T_2 = T_5 = 2T_1, T_3 = T_6 = 6T_1, T_4 = 3T_1, T_7 = 9T_1.$$

Очевидно, что в процессе 1-2-3-4-1 газ получил теплло $Q_1$ на участках 1-2 и 2-3, причем $Q_1 = A_1 + \Delta U_1$, где $A_1 = 4p_0V_0 = 4vRT_1$ — работа, совершенная на этих участках газом, $\Delta U_1 = \frac{3}{2}vR(T_3 - T_1) = \frac{15}{2}vRT_1$ — изменение его внутренней энергии. Так что

$$Q_1 = 4vRT_1 + \frac{15}{2}vRT_1 = \frac{23}{2}vRT_1.$$

В процессе 5-6-7-4-5 газ получил теплло $Q_2$ на участках 5-6 и 6-7, причем

$$Q_2 = A_2 + \Delta U_2 = 3p_0V_0 + \frac{3}{2}vR(T_7 - T_5) \frac{27}{2}vRT_1.$$

42

Выразив расстояния $r_1$ и $r_2$ через $l$ из треугольника $ABC$ с помощью теоремы синусов, приdem к уравнению
$(\cos \beta - \cos \gamma)(\cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos \beta \cos \gamma - 1) = 0$.

Если приравнять к нулю первый сомножитель, то получим тривиальный случай: $\beta = \gamma$ (оба угла остры*)), то есть точка $C$ принадлежит самой плоскости $\Pi$. Этот случай нас не интересует.

Приравняем к нулю второй somножитель:
$$\cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos \beta \cos \gamma - 1 = 0.$$ (1)

В этом уравнении два неизвестных, так что решей в принципи может быть бесконечно много. Однако тут нам пригодятся высказанные ранее сообщения 1)—3). Расмотрим силовые линии, выходящие из левого заряда и попадящие внутри конуса с углом $\alpha$ между образующей и осью конуса (линий $AB$). Понятно, что условное число $N$ этих линей пропорционально величины телесного угла $\Omega = 2\pi(1 - \cos \alpha)$ (эту формулу нетрудно вывести самостояльно):

$$N = K \cdot \Omega = K \cdot 2\pi(1 - \cos \alpha).$$

С другой стороны, поскольку силовые линии результирующего поля не пересекаются, это же число силовых линей можно найти, если рассмотреть силовые линей полей, созданных каждым из двух зарядов в отдельности, пересекающие круг с диаметром $CC'$ (рис. 3):

$$N = K \cdot 2\pi(1 - \cos \beta) - K \cdot 2\pi(1 - \cos \gamma)$$

(разность, а не сумма взята здесь потому, что силовые линей поля левого заряда пересекают выбранный круг слева направо, а линей поля правого заряда — наоборот). Итак, получаем

$$K \cdot 2\pi(1 - \cos \alpha) = K \cdot 2\pi(1 - \cos \beta) - K \cdot 2\pi(1 - \cos \gamma),$$

или

$$1 - \cos \alpha = \cos \gamma - \cos \beta.$$ (2)

Obъединим уравнения (1) и (2) в системе:

$$\begin{cases} 1 - \cos \alpha = \cos \gamma - \cos \beta, \\ \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos \beta \cos \gamma = 1. \end{cases}$$

Эта система, учитывая, опять-tаки, что углы $\beta$ и $\gamma$ остры, имеет единственное решение:

$$\cos \beta = \frac{\cos \alpha - 1 + \sqrt{(3 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}}{2},$$

$$\cos \gamma = \frac{1 - \cos \alpha + \sqrt{(3 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}}{2}.$$

Найдем теперь искомое расстояние $x$ (см. рис. 2):

$$x = \frac{l}{2} - r_1 \cos \beta = \frac{l}{2} \left(1 - 2 \frac{\sin \gamma \cos \beta}{\sin (\beta + \gamma)}\right),$$

где углы $\beta$ и $\gamma$ можно выразить из предыдущих равенств ($\beta = \arccos \beta$ и $\gamma = \arccos \gamma$). Нетрудно «проверить» полученный ответ для двух оценных частных случаем: а) если $\alpha = 90^\circ$, то $x = l/2$, то есть данная силовая линия сразу же «заворачивается» влево; б) если $\alpha = 0^\circ$, то $x = 0$, то есть силовая линия сначала идет по отрезку $l$, до точки $O$, где она терпит «разрыв» (в этой точке поле отсутствует).

43

стуvet), а затем идет по вертикальной прямой (в плоскости Π).

Нам осталось выяснить, к какой прямой будет асимптотическая приближаться данная силовая линия на большом расстоянии от зарядов.*) Другими словами, нам нужно найти угол δ, а в конечном случае и δ’ (см. рис. 2). В этом помогут сообщения 1), 2) и 4).

С одной стороны, все силовые линии, которые не выходят за пределы конуса с углом δ между образующей и осью, идут от левого заряда в пределахTeleсноного угла, равного 2π(1−cos(π−α))=2π(1+cos α). Значит, их число

N=K·2π(1+cos α).

С другой стороны, мы получим то же число линий, если будем рассматривать систему как один точный заряд 2q, находящийся в точке O:

N=2K·2π(1−cos δ).

Таким образом, получаем

K·2π(1+cos α)=2K·2π(1−cos δ),

откуда

cos δ=1−cos α/2, δ=arccos(1−cos α)/2.

Угол δ’ дополняет угол δ до 90°, поэтому

δ’=arcsin(1−cos α)/2.

Например: если α=90°, то δ’=30°, если α=0°, то δ’=0°, если α=180°, то δ’=90°, то есть эти тривяльные частиные случан хорошего «соответствия» с интуицией и здравым смыслом.

В. А. Нахшин

Ф947. Оболочка космической станции представляет собой замеренную сферу, температура которого за счет работы аппаратуры внутри станции равна T=500 К. Какой будет температура оболочки, если станцию окружить тонким черным сферическим экраном почти такое же радиуса, как оболочка? Количество теплоты, излучаемое с единицами поверхности, пропорционально четвертой степени абсолютной температуры.

◆

Полное количество теплоты Q, излучаемое в пространство в единицу времени, зависит лишь от выделения энергии при работе аппаратуры станции, поэтому присутствуют экрана его не изменит. Но теперь излучать тепловенняя поверхность экрана; следовательно, температура экрана должна быть равна начальной температуре станции T=500 К.

Экран, однako, излучает не только нагружу, но и вовнутрь, причем это самое количество теплоты Q. Это излучение попадает на оболочку станции и поглощается его. Таким образом, количество теплоты, подводимое к оболочке станции в единицу времени, складывается из теплы выделяемого приборами и излучаемого внутренней поверхности экрана, то есть оно равно 2Q. Точно такое же количество теплоты должен и излучаться; значит,

$$\frac{2Q}{Q} = \frac{T^4}{T^4},$$

откуда находим искому температуру оболочки станции:

$$T_x = \sqrt[4]{2} T \approx 600 \text{ K}.$$

А. И. Буадин