Задачи М951—М955; Ф963—Ф967

31

Задчи

М951—М955; Ф963—Ф967

М951. Все стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF равны 1. Доказите, что радиус описанной окружности одного из треугольников ACE и BDF не меньше 1.

Е. Хорват (Венгрия)

М952. Обозначим через {x} дробную часть числа x; {x} = x - [x], где [x] — наибольшее целое число, не превысая ее.

a) Приведите пример числа a такого, что
{a} + {1/a} = 1.

6. Доказите, что такое число a не может быть рациональным.

И. Варга (Румыния)

М953. На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проводятся все 15 прямых, соединяющих попарно эти точки. Каково наибольшее число точек (отличных от данных), в которых пересекаются три из этих 15 прямых?

В. В. Прасолов

М954. a) В треугольник вписан прямоугольник со стороны a и b так, что все его вершины лежат на сторонах треугольника. Пусть a₁ и b₁ — длины проекций треугольника на прямые, параллельные сторонам a и b прямоугольника. Доказите равенство
$$\frac{a}{a_1} + \frac{b}{b_1} = 1.$$

6. В произвольный tetraэдр вписан прямоугольный параллельный ребра a, b и c так, что все его вершины лежат на поверхности tetraэдра. Пусть a₁, b₁ и c₁ — длины проекций tetraэдра на прямые, параллельные ребра a, b и c. Доказите равенство
   $$\frac{a}{a_1} + \frac{b}{b_1} + \frac{c}{c_1} = 1.$$

В. Н. Дубровский

М955.* За круглым столом сидят n участников «безумного чапития»*. Каждый минуту одна пара соседей меняется местами. Через какое намиень-(Окончание см. на с. 34)

*) Из сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес».