Отгадать день рождения

Квант 1985, №11 с. 28-30 Тег C0A0

Член-корреспондент
Академии педагогических наук СССР
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ

Небольшая заметка с таким названием: «Отгадать день рождения», — есть в книге Я. И. Перельмана «Занимательная алгебра». В этой заметке описывается некий числовой фокус. Вот в чем он состоит.

Представьте себе, что к вам пришел папин знакомый, дату рождения которого вы не знаете. Предложите ему умножить число его рождения на 12, номер месяца, в котором он родился, умножить на 31, а затем сложить полученные произведение. Пусть он скажет вам, что у него получилось. Оказывается,ная сумму этих двух произведения, можно узнать оба нужных числа (число и месяц рождения). Как выполняется этот фокус, вы можете посмотреть в книге Я. И. Перельмана. Сейчас мы расскажем вам другой способ выполнения того же фокуса; этот способ предложил Педро делы Риско Падрон — кубинский читатель книги Я. И. Перельмана.

Обозначим через $x$ число рождения пришешего знакомого, а через $y$ — номер месяца его рождения. Знакомый сообщает вам сумму $12x+31y$ . Расмотрим два случая: а) $y$ четно; б) $y$ нечетно.

а) $y$ четно, то есть $y=2k$ . Тогда $12x+31y=12x+62k=$
$=12(x+5k)+2k=12(x+5k)+y.$
Отсюда видно, что число $12x+31y$ имеет такой же остаток от деления на 12 (обозначим его через $r$ ), как число $y$ . Число $y$ вообще принимает значения от 1 до 12, а в нашем случае ( $y$ четно) $y$ может быть равно 2, 4, 6, 8, 10 или 12. Понято, что $y=12$ , когда $r=0$ . В случае же, если $r \neq 0$ и $r$ четно, мы имеем $y=r$ .

б) $y$ нечетно, то есть $y=2k+1.$

Тогда
$12x+31y=12x+31(2k+1)= =12(x+5k)+2k+7= =12(x+5k+2)+y+6,$
откуда видно, что число $12x+31y$ имеет такой же остаток $r$ от деления на 12, как число $y+6$ , то есть $y$ либо совпадает с числом $r-6$ , либо отличается от него на 12. Значит, если $r$ нечетно и $r>6$ , то $y=r-6$ ; если же $r$ нечетно и $r<6$ , то $r-6$ отрицательно, и потому $y=(r-6)+12=r+6$ .

Отсюда и получается тот способ выполнения фокуса, который предлагает Педро делы Риско Падрон:

если $r$ четно, но $r \neq 0$ , то $y=r$ ;
если $r=0$ , то $y=12$ ;
если $r$ нечетно и $r>6$ , то $y=r-6$ ;
если $r$ нечетно и $r<6$ , то $y=r+6$ .

Узнать $y$ и вычислить произведение $31y$ , вы вычитаете это произведение из сообщенного вам числа $12x+31y$ , находите число $12x$ , после чего, разделив результат на 12, находите $x$ . Дата рождения определяна.

Теперь взглянем на этот фокус с другой точки зрения. Год содержит 365 или 366 дней, и любой из них мог оказаться днем рождения папином знакомого. Таким образом, «объем» возможной сообщаемой информации равен 366. Если бы вместо выражения $12x+31y$ было взято другое выражение, причем такое, что для двух различных дней года выражение получило бы одинаковые значения, то такое выражение было бы для выполнения фокуса неприрюдно. Получив это значение, вы не смогли бы определить, на какой из двух дней, соответствующих этому значению выражения, приходим到 день рождения. Выражение $12x+31y$ было взято потому, что для всех 366 дней года (високосного) оно принимает различные числовые значения.

Но $12x+31y$ — не единственное выражение, обладающее таким свойством. Этот же свойством обладает выражения $12x+35y$ , $12x+37y$ , $2x+31y$ , $3x+31y$ , $4x+31y$ , $12x+7y$ , $12x+5y$ , $12x+y$ и другие. Например, взяв выражение $12x+y$ , можно предложить упрощенный вариант фокуса: умножить число рождения на 12, прибавить номер месяца рождения и сообщить результат. А «алгоритм» выполнения фокуса в таком

упрощеном варианте будет совсем несложен: надо определить остаток $r$ от деления сообщенного числа $12x+y$ на 12, и тогда при $r \neq 0$ имеем $y=r$ , а при $r=0$ будет $y=12$ . Правда, такой упрощенный вариант фокуса легко разгадать.

Наконец, можно взять выражение $100x+y$ , и тогда дата розделяя определяется совсем просто и неинтересно（《тривиально》，как говорят математики): число сотен равно числу розделения, а последние две цифры дают месту розделения. Например, для даты 16 июля (то есть $x=16$ , $y=7$ ) имеем $100x+y=1607$ ; теперь достаточно поставить точку, то есть написать 16.07, и получается способ записи даты, часто используемый на документах (только там добавляют еще год: 16.07.72).

Задачи

Проделяйте сами с собой описанный фокус и «отгадайте» день своего рождения, используя выражения: a) $100x+y$ ; b) $12x+y$ ; b) $12x+31y$ .
Докажите, что если натуральные числа $a, b$ удовлетворяют неравенству $31a+12b \leq 366$ , то выражение $ax+by$ не позволяет проводить описанный фокус.
Докажите, что если натуральные числа $a, b$ удовлетворяют неравенству $a<12$ и $b<31$ , то выражение $ax+by$ не позволяет проводить указанный фокус.
Докажите, что каждое из выражений a) $x+31y$ , b) $16x+31y$ ; b) $12x+7y$ пригодно для проведения описанного фокуса.

Отредакции. В связи с этой заметкой уменьшно вспомнить еще один интересный фокус. Это — изящная задача, придуманная много лет назад Д. Б. Фуксом. Правда, в этой задаче не идет речь о днях розделения и вообще о дахах, но тоже требуется угадать несколько чисел.

Двое прягелей играют в угадавание чисел. Первые задумывает 10 на туральных чисел (мы обозначим их через $x_1, \dots, x_{10}$ ). Второй пытается уладать их, задавать вопросы. В качестве вопроса он предладает первому свой 10 натуральных чисел — обозначим их через $a_1, \dots, a_{10}$ . Первый в ответ сообщает ему, чем равно выражение $a_1x_1+...+a_{10}x_{10}$ . Услышав ответ, второй участник играл задает следующий вопрос — аналогичный первого, но с другой $a_1, \dots, a_{10}$ . И так далее. За какое наименьшее число вопросов можно уладать все числа $x_1, \dots, x_{10}$ ?

Эта задача в свое время была придумана для Московской математической олимпiadы, но на нее не попала: члены Оргкомитета олимпiadы не смогли удержаться от того, чтобы предлагать ее сначала друг другу, потом — своим знакомым, — и задача стала широко известной. Ответ в ней гораздо меняше, чем это может показаться с первого взгляда: оказывается, что вопросов требуется всего два (!).

Для первого вопроса возьмем $a_1 = ...=a_{10}=1$ . В ответ на этот вопрос мы получаем сумму $x_1+...+x_{10}$ , которая завершено большее каждое из $x_1, \dots, x_{10}$ (только это и важно). Возьмем теперь такое $m$ , что число, записьваемое как единица с $m$ нулями, не меньше ответа на первый вопрос, и зададим следующее вопрос: $a_1=1, a_2=10...0, a_3=10...0, a_4=10...0, ..., a_{10}=10...0$ . В ответ мы получим длинное число, у которой в последних $m$ разрядах будет записано первое задуманное число (к которым в начале приписано, быть может, несколько нуля), в следующих с конца

m разрядах — второе число, затем — третье и т. д.

При мер: $x_1=4, x_2=11, x_3=21, x_4=14, x_5=9, x_6=7, x_7=1, x_8=12, x_9=3, x_{10}=11$ . Ответ на первый вопрос: 90. Второй вопрос: $a_1=1, a_2=100, a_3=10000, \dots, a_{10}=10...0$ .

Ответ на вторый вопрос: 11031201070914211104. Беря с конца по две цифры, получаем задуманные числа: 04, 11, 21, …

Три значенные работы Альберта Эйнштейна
(Начало см. на c. 26)

молекул, ударяющих ее с противоположной стороны, и тогда на частицу действует неокоторая сила, вызывающая ее перемешение. Направление этой силы меняется случайным образом, поэтому случайным образом изменяется и направление перемешения частицы. Эйнштейн разработал простой, но очень мощный метод, позволивший «проследить» за частицей, совершающей такое рода движение.

Эта работа Эйнштейна является одним из наиболее убедительных подтверждений молекулярно-kinетической теории.

Третья по порядку, но не по важности, работа Эйнштейна, опубликованная в том же журнале “Annalen der Physik” и в том же 1905 году, называется «К электроннаямике движущихся тел». Статья поступила в редакцию 30 июня 1905 года. В этой работе дано практические законченое изложение специjalной теории относительной теории относительной.

(Впрочем, в том же году и в том же журнале была написана еще одна коротка и важная работа Эйнштейна «Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии?», посвященная выводимementого соответствия между массой тела и его энергиям.)

О теории относительной теории относительной трудно расскадать кратко, а подробный расскада невозможен из-за ограниченного объема этой статьи. Складем лишь, что с появлением этой теории связан корененной перемотр основных понятей, которые получается физика, таких как время, пространство, длина, длительность, энергия, количество движения, масса и т. д. По своему значению для естественного появление теории относительной теории относительной можно сравнить с появлением на два столей ранее ньютоновской механики.

Кажется невероятным, что один человек смог за год сделать три столбца целительные по своим последствиям работы в трех различных областях физики (квантовая теория излучения, молекулярно-kinетическая теория, теория относительной).

Следует сказать о том, что хотя мы теперь даем высокую оценку работы Эйнштейна 1905 года, тогда не все и не сразу поняли их значение. В частности, основоположник квантовой физики Макс Планк должен соглашаться с теми представлениями о природаве света, которые были высказаны Эйнштейном в первой из трех значений работы 1905 года. Однако неотorious крупнейшие физики того времени признаны их сразу же. Средних были и Мария Кюри:

«Я искренне восхитилась работы, которые были опубликованы господином Эйнштейном по вопросам современной теоретической физики. Думаю, впрочем, что физиоматики признают, что это работы самого высокого класса. В Брюсселе на научном контресе, в котором участвовали и глубину знаний! Нам известно, что господин Эйнштейн еще очень молод, но это и дает нам право возлагать на него самые большие надежды, видеть в нем одного из крупнейших теоретических будущего».

Эти надежды оправдались в полной мере.

В. М. Болотовский