2
Физика Математика ЭВМ
Кандидат физico-matематических наук
В. В. АВИЛОВ
В этой статье речь пойдет о вычислительной физике — новой наук, родившейся на стыке физики и прикладной математики. Как только появились быстродействующие ЭВМ, они стали использоваться во всех областях физики. Здесь мы оставим в стороне роль ЭВМ в современном физическом эксперименте, который теперь без использования компьютеров зачастую просто невозможен, и обратится к их применению в теоретических исследованиях.
Расчет методом Monte-Karlo свойство бинарного сплава по модели Изинга. ЭВМ служитным образом разброса atoms сорта А (светлые квадраты на экране) по плоской решетке 16×16, предоставя оставшиеся места atomам сорта Б (темные квадраты), и сейчас подсчитывает, сколько раз соррикаются atoms разных сортов.
В настоящее время существует два главных направления в использовании ЭВМ в теоретической физике. В рамках первого подхода физик старается как можно дальнейться в решении задачи до обращения к ЭВМ. Машина используется только для вычисления интерралов, сумм, для нахождения решения сложных уравнений, которые не могут быть получены аналитически (в виде формул). Другой подход — это так называемое машинное моделирование. Сторонники этого направления исходят в расчетах только из основных физических законов и, исследуя результаты счета, пытаются
3
сделать новые физические выводы. Во многом такая деятельности близка к физическим эксперименту, иногда даже используется название «численный эксперимент». Обратимся сначала к первому подходу.
Если требуется помощь ЭВМ
Первоначально физков не допускали к ЭВМ. Расчеты выполняли программы. Это было связано с тем, что на ЭВМ первого поколения программы составлялись в так называемых машинных кодах, которые были различными для каждой типа ЭВМ. Не специальity в программировании было очень трудно написать и отладить программу. Существовал четкое разделение труда: физик писал формулы, математик-программист считал по ним. Таким способом было решено большое количество задач, но одновременно вычислись и недостатки этого метода. Для многих задач при таком подходе не удалось получить правильные решения. Прежде всего это было связано с тем, что ЭВМ проводит расчеты с конечной точностью, выполнение каждого действия приводит к погрешности округления. Для большинства ЭВМ относительно расчетов каждого действия лежит в интервале . Казалось бы, это очень большая точность. Но из-за того, что в секунду ЭВМ выполняет до операций, ошибка вычисления может быстро накапливаться.
Если одна и та же величины может быть вычислена различными способами, то говорят о различных числовых процесах. Эти числовые процессы могут быть устойчивыми или неустойчивыми по отношению к накоплению ошибок округления. Существуют даже такие процессы, где накопление процессности округления делает неприменимым метод расчета уже через несколько шагов. Это означает, что физик, желающий проведение численный счет по своим формулам, должен разбираться в числовых процесах и представлять себе, какие методы прикладной математики он может использовать в своей работе. Стало ясно, что физики и математики должны взаимодействовать между собой на всех этапах — начная от постановки задачи и кончная числовая процессом. Это обстоятельство и способствовало появлению специальности — вычислительной физики.
Отметим также, что возможность такого обединения специальностей связана и с разработкой языков программирования, существующего облегчивших «обшение» с машиной. Удобные дисплеи*) упростили контакт пользователя с ЭВМ. Выили созданы библиотeki программы; теперь уже необходимо каждый раз заново составлять программу для решения стандартной задачи, гораддо процесса воспользоваться библиотекой стандартных программ. Появились и специальные журналы, публикующие работы по вычислительной физике. На первых этапах журналы просто печатали тексты программы. Скоро, однокого, стало ясно, что так можно поступать лишь с самых простыми программами. Дело в том, что при набore в типографии, а затем при «переносе» программы из журнала в ЭВМ неизбежно появляются ошибки. Поэтому сейчас публикуется только описание метода расчета, сама программа хранится в специальной библиотеке и высылается пользователю по заказу.
В начале 70-х годов на одной из конференций по методам расчета электронно-оптических систем сотрудников вычислительной центра Сибирского отделения АН СССР демонстрировали работу созданного имми комплекса программы. Несокольных докладчиков за полдня до доклада они попросили форматировать задачи, которые решаются в их работе. На вечернем заседании вместе с докладчиками сотрудники ВЦ ознакомили всех со своим решением этих задач, полученными на ЭВМ с помощью комплекса программы. Стало ясно, что задачи, решения которых ранее требовало несколько месяцев, можно решить в течение нескольких часов. Столь яркая демонстрация возможностей ЭВМ заставила многохитрость свое отношение к ним.
Сегодня появилось множество подобных комплексов, ориентированных
*) Так называют комплекс экрана и клавиатуры в современной ЭВМ, с помощью которого ведется диалог ученого и машины. На дисплее воспроизводится и реактируется в ЭВМ программа, на него же выводятся результаты вычисления.
4
на определенный круг задач. Физику, который собирается работать с таким комплексом, нет необходимости программировать исследовать числовые процессы на устойчивость. Машина сама сделает это, достаточно лишь написать основные уравнения и задать начальные условия. На выходе пользователь получает исходное решение в виде таблиц и графиков. При необходимости комплекса даже сделает по результатам счета цветной филм. Физик, сидя у дисплея, может контролировать решение, изменять значения параметров, проводить различные начальные условия. Разумеется, созданию каждого комплекса программы предшествует пропотливая работа специальств по физике и прикладной математике.
Численный эксперимент
Do six pins go horizontally on a taxi pacesetax, когда физика исследуемого явления понята еще до обращения к ЭВМ. Результаты этих pacesetов нужны для практических целей.
Сейчас мы поговорим о другом направлении вычислительной физики — о машинном моделировании. Как уже упоминалось, метод машинного моделирования характеризуется тем, что задаются только основные закономерности, описывающие систему.
Например, если этим методом исследуются свойства газа, жидкости, плазмы, галактики или другой системы, состоящий из многох частиц, то задают закон их взаимодействия и начальные координаты и скорости частиц. Далее составляют уравнения движения(*), а решают их с помощью ЭВМ.
Наблюдая эволюцию системы и сравнивая поведение системы, получаем
*) В классической механике находится уравнение движения для каждой частицы свойства к записи второго закона Ньютона. Если же скопится частиц нельзя предполагать малыми по сравнению со скоростью света, то в качестве уравнения движения уже следует пользоваться соответствующими уравнениями теории относительной уравнений квантовой механики.
5
чаемое в результате такого численного эксперимента, с имеющимся экспериментальным данными или с тем, что предсказывают приближенные аналитические методы, ученыые пытаются выявить закономерности ее развития.
Во многих отношениях метод машинного моделирования сходен с физическим экспериментом, этим методом страются воспроизвести, «скопировать» природу. Преимущество моделирования в том, что оно позволяет рассмотреть такие системы, для которых пока еще нельзя получить экспериментальные данные (процессы при сверхвысоких давлениях, температурах, энергиях частиц).
Возможности этого метода, размещается, не беспредельны. Для того чтобы описать поведение молекул в 1 cm³ реализной жидкости, требуется следить за движением порядка 10²² молекул. Далее для современной большой ЭВМ это число слишком велико. Пока что для расчетов доступны системы, состоящие не более чем из 10⁶ частиц. Однако уже и при рассмотрении такого «ограничного» числа частиц во многих случаях выявляются закономерности, характерные для той или иной системы большого числа частиц.
Методы машинного моделирования работают тем лучше, чем мощнее ЭВМ, на котором реализуется программа. В последние годы стали создавать специальные ЭВМ, каждая из которых пригодна для решения только одной серии задач, возможно, с некоторыми модификациями, но это уже эту серию такая ЭВМ имеет решать хорошо.
Можно привести много примеров, когда моделирование на ЭВМ приводило к открытиям, которые существенно образом повышали на наши взгляды на физический мир.
Так, в 1954 году Энрико Ферми с сотрудниками моделировали на ЭВМ распространение колебаний в одномерной цепочке взаимодействующих атомов. Таким образом они хотели понять, как установливается тепловое равновесие в твердых телах. Для того чтобы промоделировать взаимодействие, считалось, что соседние атомы связаны прижинками. Из предварительного теоретического рассмотрения было известно, что в случае, когда сила натяжения F приходится содействия атомы, связана с изменением ее длины Δx объчным линейным законом F=-k·Δx, тепловое равновесие в системе не установливается никакогда. В то же время полагалось, что достаточно ввести любую нелинейность в законом взаимодействия атомов (то есть считать F(Δx) нелинейной функцией) — и тепловое равновесие будет установливается в такой системе за конечное время.
В своей работе Ферми с сотрудниками в простейшую нелинейность, добавив в выражение для силы F слагаемое, пропорциональное (Δx)². Численный счет показал, что в этом случае тепловое равновесие в системе действительное установливается, однако чрезвычайно медленно. Характерное время этого процесса во много раз превышает оценки, которые давала существенные результаты в terms теории. Этот удивительный результат stimuliровал дальнейшие численные и аналитические исследования. Было доказано, что для некоторых типов нелинейной зависимости силы натяжения других от расстояния Δx теплое равновесие в системе не установится никакогда.
В настоящее время опубликованы сотни, если не тысячи статей, в которых численно и аналитические исследования также системы. Результаты этих исследований находят не
6
посредственное применение в широком круге задач физики плазмы, гидродинамики, оптики и т. п.
Начиная свою работу, Ферми и его сотрудники поняли, что выбранная им модель цепочки далека от реального твердого тела. Реальные кристаллы обладают сложной трехмерной решеткой, в них взаимодействуют не только ближайшие соседи, а закон взаимодействия atomов города сложнее, чем было принято в этой работе. Тем не менее простая модель одномерной цепочки позволяет возможные следствия неLINEНОГО закона взаимодействия atomов.
Модель Изинга и генератор случайных чисел
Не все задачи, однako, свойства к численному решению уравнения движения. Для ряда задач используется такой важный метод моделирования на ЭВМ, как метод Monte-Карло. Познакомимся с ним на примере исследования фазовых переходов. Но сначала скажем несколько слов о самом probleме фазового перехода, с которой на протяжении многих лет, ввиду ее сложности, физики никак не могли до конца разобраться.
К фазовым переходам относятся также хорошо знакомые вам явления, как плавление и кипение, а также многое менее знакомые — переход металла в сверхпроводяще, а геля — в сверхтекучее состояние, упорядочение сплавов и т. д. Все эти, на первый взгляд неохожие между собой, явления, имеют одно общее свойство — по мере приближения системы к переходу существенным становится взаимодействие все большего числа ее частиц, что затрудняет применение общих методов теоретической физики. Тут-то и приходит на помощь комьютер, позволяя расчитать поведение системы влизации фазового перехода. Однако сначала следует придумать подходящий модель, — простую, и в то же время отражающего основные свойства системы.
Вот как, например, можно описать фазовый переход из газообразного в жидкое состояние. Расмотрим плоскую решетку, содержащую узлов, в которых располагается () atoms. Известно, что взаимодействие между atoms быстро спадает с увеличением расстояния между ними, поэтому грубо можно предположить, что atoms в решетке взаимодействуют только в том случае, если они оказываются в соседних узлах решетки. Такая модель называется моделью Изинга решеточного газа со взаимодействием ближайших соседей.
При высоких температурах atoms распределяются по решетке в среднем равномерно. Однако при достаточно низких температурах, благодария прияжения между atoms, они собственные вместе, заполненные неокотropy объасы решетки. Так водяной пар с понжением температуры сначала становится насыщенным, а затем конденсируется в капельки жидкости.
Для того чтобы узнать температуру, при которой происходит «конденсация» решеточного газа (фазовый переход), или, например, выяснить, как ведет себя тепломкость влизации фазового перехода, необходимо уметы вычислять энергию системы взаимодействия atomов для каждого способа их расположения по решетке (конфигурации). Главная сложность заключается в том, что число способов размещения atomов по узлом решетки очень быстро возвращает с увеличением числа узлов . Если, например,