Полезные формулы

Полезные формулы

Пусть, как принято обучно, $a, b, c$ — длины сторон треугольника, $p$ — его полуперimetр, $m_a, m_b, m_c$ — длины медиан, $h_a, h_b, h_c$ — длины высот, $R$ — радиус описанной честиvy замечательных точек, через которые она проходит. Ее называют также «окружность Эйлера», а неокружность «окружность Фейербаха» в честь немецкого математика XIX века К. Фейербаха (брата извесного немецкого философа), доказавшего, что эта окружность касается окружности, вписанной в треугольник, и всех его внешисанных окружностей (то есть окружностей, касающиеся одной из сторон и продолжений двух других сторон, рис. 2). Радиус окружности девяты точек равен половине радиуса описанной окружности, а центр окружности девяты точек лежит на середине отрезка, соединяющего центр описанной окружности с точкой пересечения высот тре-

ной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, $S$ — площадь треугольника. Тогда

$$S = \frac{ah_a}{2}; \quad S = pr;$$

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};$$

$$S = \sqrt{\frac{Rh_a h_b h_c}{2}};$$

$$abc = 4SR;$$

$$ab + bc + ac = p^2 + r^2 + 4Rr;$$

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c};$$

$$m_a = \frac{\sqrt{2(b^2 + c^2) - a^2}}{2};$$

$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2).$$

честву замечательных точек, через которые она проходит. Ее называют также «окружность Эйлера», а неокружность «окружность Фейербаха» в честь немецкого математика XIX века К. Фейербаха (брата извесного немецкого философа), доказавшего, что эта окружность касается окружности, вписанной в треугольник, и всех его внешисанных окружностей (то есть окружности, касающиеся одной из сторон и продолжений двух других сторон, рис. 2). Радиус окружности девяты точек равен половине радиуса описанной окружности, а центр окружности девяты точек лежит на середине отрезка, соединяющего центр описанной окружности с точкой пересечения высот тре-

угольника. Прямая, который принадлежит этот отрезок, называется прямой Эйлера. Этот прямой принадлежит и точка пересечения медиан треугольника. (Подробнее об окружности девяты точек можно прочесть в «Кванте», 1981, № 8.)

Известно, что Наполеон часть своего свободного времени посвящал занятым математикой. Ему приписывал такую красную теорему: «Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника». Этот треугольник называют «внешним треугольником Наполеона». Аналогично строится «внутренний треугольник Наполеона».

Находки в геометрии треугольника есть и в на-

шем веке. Так, в 1904 году американский математик Ф. Морли доказал, что если из каждой вершины треугольника проведится луч, делящие соответствующей угол на три равные части (трискрисы угла), то точки пересечения смejных трискрис углов являются вершинами равностороннего треугольника (рис. 3). Доказательство этого утверждения было бы вполне под силу и древнегреческий математикам. Они прошли много этого факта, видимо, потому, что тогда было принято рассматривать лишь построения при помощи циркуля и линейки, а с помощью этих инструментов такое деление в общем случае сделать новозможно (это позднее было доказано).

А. П.

Рис. 3.

34

Шее время все участники человека могут оказаться сидящими в противоположном порядке (так что левые соседи у всех станут правыми и наоборот)? Решите эту задачу: а) для $n=4$, 5 и 6; 6) для любого $n \geqslant 3$.

В. В. Алексеев

Ф963. Плокости $P$ и $Q$ пересекаются под прямым углом и плоскость $P$ составляет угол $\alpha$ с горизонтом (рис. 1). Из некоторой точки $A$ пространства на плоскость $P$ свободно падает маленький шарик. Сударенная шарика с плоскостями абсолотно упругие. При каком условиях шарик вновь оказывается в точке $A$? Изображите одну из возможных траекторий возврашения.

Г. С. Лапидус

Ф964. Материальные точки образуют замкнутую систему. Между любыми двумя точками системы действует сила прятяжения, равная $\vec{F}_{ij} = km_i m_j \vec{r}_{ij}$, где $m_i, m_j$ — массы точки, $|\vec{F}_{ij}|$ — сила, действующая на точку $i$ со стороны точки $j, |\vec{r}_{ij}|$ — расстояние между точками (рис. 2), $k$ — постоянный коэффициент. В начальной момент все частицы покояться. Доказите, что через некоторое время все точки столкнутся. Определите это время, если известны масса всей системы $M = \sum_i m_i$ и коэффициент $k$.

А. Г. Самосват

Ф965. Длинный цилиндрический сосуд наполнен идеальным газом до давления $p_0$. Сначала температура цилиндра поддерживается постоянной и равной $T_0$. Затем температура одной из торцевых стенок сосуда повышает на $\Delta T$, а температура противоположной стенки остается прежней. Найти установившееся давление в сосуде и положение центра масс газа. Считать, что $\Delta T \ll T_0$.

В. И. Комов

Ф966. Для иллюстрации поверхностного натяжения одну из мыльных пленок, натянутых на параллельные «направляющие» и разделенных ниткой $AB$ (см. рис. 3), прокалывают; при этом нить $AB$ натягивается. Определите силу натяжения нити. Расстояние между «направляющими» равно $d$,лина нити $l$ ($l > \pi d/2$), коэффициент поверхностного натяжения мыльного расвора $\sigma$.

Л. Г. Маркович

Ф967. Стоку очень тонких металлических пластин, находящихся на одинаковых расстояниях друг от друга, заряжают от батареи следующим образом. Отрицательную клемму батареи соединяют с самой правой пластиной, а положительную клемму присоединяют по очереди к самой левой пластине, затем ко второй слева, к третьей и т. д. до предпоследней (второй справа; рис. 4). Найти относение заряда на самой правой пластине к заряду на третьей справа пластине. Считать, что толщина стопки много меньше, чем линейные размеры пластин.

Е. П. Соколов