Bài toán M1006—M1010; F1018—F1022

28

Bài toán

M1006—M1010; F1018—F1022

M1006. Hai đường thẳng đi qua hai đỉnh của tam giác, chia tam giác đó thành ba hình tam giác và một hình tứ giác.
a) Diện tích của bốn phần có thể bằng nhau không?
b) Ba phần nào sau đây có thể có diện tích bằng nhau? Diện tích của một hình tứ giác khác chúng bao nhiêu lần?

G. A. Galperin, A. P. Savin

M1007. Chứng minh rằng các tam giác có độ dài cạnh $a, b, c$ và $a_1, b_1, c_1$ bằng nhau khi và chỉ khi $\sqrt{a a_1} + \sqrt{b b_1} + \sqrt{c c_1} = \sqrt{(a_1 + b_1 + c_1)(a + b + c)}$.

V. P. Chuchin

M1008. Cầu thang bao gồm $2n+1$ bậc. Ở $n$ bậc dưới, mỗi bậc có một viên đá. Hai người thay nhau nâng đá. Người đầu tiên có thể di chuyển bất kỳ hòn đá nào lên bậc tự do đầu tiên, và người thứ hai có thể di chuyển hòn đá xuống một bậc nếu nó tự do. Mục tiêu đầu tiên là đặt hòn đá lên bậc trên cùng. Cái thứ hai có thể vừa với anh ta không?

S. L. Eliseev

M1009. Phân giác của góc $A$ của hình bình hành $ABCD$ cắt các đường thẳng $BC$ và $CD$ lần lượt tại các điểm $K$ và $L$. Chứng minh rằng tâm đường tròn vẽ qua các điểm $C, K$ và $L$ nằm trên đường tròn vẽ qua các điểm $B, C$ và $D$.

I. F. Sharyzin

M1010. Trình tự $r_1, r_2, r_3, \dots$ được xác định bởi các điều kiện
$$r_1 = 2, r_{n+1} = r_1 r_2 \dots r_n + 1,$$
vậy $r_2 = 3, r_3 = 7, r_4 = 43, \dots$
a) Chứng minh rằng với mọi $n$
$$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \dots + \frac{1}{r_n} < 1.$$

6)* Cho tồn tại $n$ số tự nhiên sao cho tổng các nghịch đảo của chúng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tổng này không lớn hơn
$$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \dots + \frac{1}{r_n}.$$

Các bằng chứng mà chúng tôi biết đều dựa trên một bổ đề như vậy mà chúng tôi đề xuất chứng minh cho người đọc.

b)* Trong số tất cả các bộ $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ của $n$ số thực thỏa mãn điều kiện:
$$\alpha_1 \geqslant \alpha_2 \geqslant \dots \geqslant \alpha_n \geqslant 0, \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n = 1,$$
$$\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \leqslant \alpha_{k+1} + \alpha_{k+2} + \dots + \alpha_n (k = 1, 2, \dots, n-1),$$

29

cái có giá trị $a_n$ nhỏ nhất được chọn. Sau đó
$$a_k = 1/r_k \text{ для } k=1, 2, \dots, n-1, a_n = 1/(r_n-1).$$
O. T. Izhboldin, L. D. Kurlyandchik

F1018. Con thuyền đang neo ở bờ một hồ lớn (bờ biển thẳng), bỗng nhiên bị cởi trói, gió đẩy nó với tốc độ không đổi $v_0 = 2,5$ km/h và tạo một góc $\alpha = 15^\circ$ với bờ. Liệu bạn có thể đuổi kịp thuyền nếu tốc độ của bạn trên bờ là $v_1 = 4$ km/h, dưới nước - $v_2 = 2$ km/h? Ở tốc độ nào của thuyền điều này thường có thể xảy ra?

S. S. Krotov

F1019. Một bình hình trụ nhỏ có diện tích đáy $S$ được hạ xuống một bình lớn chứa chất lỏng có mật độ $\rho_1$, dưới đáy có lắp một ống có chiều dài $l$ (hình 1); Các bức tường của tàu được gắn chặt với nhau. Một chất lỏng màu có mật độ $\rho_2(\rho_2 > \rho_1)$ được đổ vào một bình nhỏ có độ cao $H$ sao cho mực chất lỏng trong bình lớn và nhỏ bằng nhau. Tại một thời điểm nào đó, ống được mở ra. Chất lỏng nặng bắt đầu chảy vào bình lớn, một lúc sau chất lỏng nhẹ chảy từ bình lớn sang bình nhỏ; sau đó quá trình được lặp lại. Khối lượng chất lỏng nặng lần đầu tiên chảy ra khỏi bình nhỏ là bao nhiêu? Khối lượng chất lỏng nặng nào sẽ chảy ra mỗi lần trong tương lai? Khối lượng chất lỏng nhẹ sẽ chảy vào một bình nhỏ mỗi lần là bao nhiêu? Giả sử rằng chất lỏng không trộn lẫn vào nhau; yêu cầu về sức căng bề mặt.

V. E. Skorovarov

F1020. Một piston chuyển động chia hình trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau $V_0 = 10^{-3} \text{ m}^3$. Một phần chứa không khí khô, phần còn lại chứa hơi nước và $m = 4$ g nước. Khi xi lanh nóng lên từ từ, piston bắt đầu chuyển động. Sau khi piston di chuyển được 1/4 chiều dài của xi lanh thì chuyển động dừng lại. Khối lượng hơi nước trong bình trước khi đun nóng là bao nhiêu? Khối lượng không khí trong bình và nhiệt độ ban đầu của nó là bao nhiêu? Ở nhiệt độ nào piston ngừng chuyển động?
Sự phụ thuộc của áp suất hơi nước bão hòa vào nhiệt độ được cho trong bảng.

A. I. Buzdin

F1021. Trong mạch hiển thị ở hình2, $R = 100 \text{ Om}$, $C = 10 \text{ мкФ}$, $U_0 = 10 \text{ В}$, điện trở trong của pin và điện trở của ampe kế được cho là nhỏ. Phím K được đóng định kỳ trong thời gian $\tau_1 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ с}$ và đóng trong thời gian $\tau_2 = 20 \cdot 10^{-3} \text{ с}.$ Với chế độ chuyển mạch này, kim ampe kế thực tế không chạm tới. Ampe kế chỉ dòng điện bao nhiêu?

A. R. Zilberman

F1022. Hộp đen chứa một cuộn dây, một điện trở và một tụ điện và có ba đầu ra. Trong quá trình nghiên cứu, ông đã thu được những kết quả sau.

30

Trong mạch hiển thị ở hình 3, ampe hiển thị $I_1=0,1$ A ở tần số máy phát $v_1=1000$ Hz; dòng điện qua ampe lệch pha $\Delta \varphi_1=\pi/6$ với điện áp đầu vào. Khi tần số máy phát giảm đi 100 lần thì dòng điện tăng chưa đến 2 lần. Tần số máy phát được trả về giá trị trước đó và một vôn kế (hình 4) được kết nối với mạch cùng với bộ khuếch đại. Vôn kế hiển thị $U_1=20$ V và độ lệch pha giữa điện áp trên vôn kế ($u_B$) và điện áp đầu vào ($u_{BX}$) lại là $\Delta \varphi_1=\pi/6$.

Sử dụng dữ liệu này, tìm các tham số của các phần tử hộp đen. Phải thay đổi tần số máy phát bao nhiêu lần để trong mạch có vôn kế (xem hình 4) độ lệch pha giữa $u_B$ và $u_{BX}$ là $\Delta \varphi_2=\pi/2$?

Dụng cụ đo lường được coi là lý tưởng. Điện trở trong của máy phát điện không đáng kể.

A. P. Zilberman

Problems

M1006—M1010; P1018—P1022

M1006. Two lines, drawn through two vertices of a triangle, divide it into two triangles and a quadrilateral.
a) Can the areas of the four parts all be equal?
b) What three of these parts can have equal areas? How much will the area of the fourth part differ from them?

G. A. Galperin, A. P. Savin

M1007. Prove that two triangles with sides $a, b, c$ and $a_1, b_1, c_1$ are similar if and only if
$$\sqrt{aa_1} + \sqrt{bb_1} + \sqrt{cc_1} = \sqrt{(a_1 + b_1 + c_1)(a + b + c)}.$$

V. P. Chichin

M1008. There are $2n+1$ steps in a staircase. There is one rock on each of the $n$ lowest steps. Two persons take turns carrying rocks. The first may place any rock on the lowest free step, the second may move a rock one step down on a free step. The aim of the first is to put a rock on the top step. Can the second stop him?

S. L. Eliseev

M1009. The bisector of angle $A$ of parallelogram $ABCD$ intersects lines $BC$ and $CD$ at points $K$ and $L$ respectively. Prove that the centre of the circle passing through points $C, K$ and $L$ lies on the circle passing through points $B, C$ and $D$.

I. F. Sharygin

M1010. The sequence $r_1, r_2, r_3, \ldots$ is determined by the conditions
$$r_1=2, r_{n+1}=r_1r_2\ldots r_n+1,$$
so that $r_2=3, r_3=7, r_4=43, \ldots$
a) Prove that for any $n$
$$1/r_1+1/r_2+\ldots+1/r_n<1.$$
b) Suppose that the sum of the inverses of $n$ natural numbers is less than 1. Prove that this sum is then no greater than
$$1/r_1+1/r_2+\ldots+1/r_n.$$
The proofs that we have are all based on the following lemma, which we propose to our readers for proof.
c)* Among all the sequences $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ of $n$ real numbers