Задачи М1006—М1010; Ф1018—Ф1022

28

Задачи

M1006—M1010; Ф1018—Ф1022

M1006. Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырехугольник.
a) Могут ли площади всех четырех частей быть равны?
b) Какие три этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четырехугольник?

Г. А. Гальперин, А. П. Савин

M1007. Докажите, что треугольники с длинами сторон $a, b, c$ и $a_1, b_1, c_1$ подобны, если и только если $\sqrt{a a_1} + \sqrt{b b_1} + \sqrt{c c_1} = \sqrt{(a_1 + b_1 + c_1)(a + b + c)}$.

В. П. Чучин

M1008. Лестница состоит из $2n+1$ ступеней. На $n$ нижних ступенях лежит по одному камню. Двое по очереди такают камни. Первый может переложить любой камень вверх на первый свободную ступенку, а второй — переложить камень на одну ступенку вниз, если она свободна. Цель первого — положить камень на верхнюю ступенку. Может ли второй ему помещать?

С. Л. Елисеев

M1009. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает прямые $BC$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что центр окружности, проведенной через точки $C, K$ и $L$, лежит на окружности, проведенной через точки $B, C$ и $D$.

И. Ф. Шарыzin

M1010. Последовательность $r_1, r_2, r_3, \dots$ определяется условиями
$$r_1 = 2, r_{n+1} = r_1 r_2 \dots r_n + 1,$$
так что $r_2 = 3, r_3 = 7, r_4 = 43, \dots$
a) Докажите, что при любом $n$
$$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \dots + \frac{1}{r_n} < 1.$$

6)* Пусть $n$ натуральных чисел, что сумма их обратных величины меньше 1. Докажите, что эта сумма не больше
$$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \dots + \frac{1}{r_n}.$$

Известные нам доказательства опираются на такую лемму, которая мы предлагаем доказать читателем.

b)* Среди всех наборов $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ из $n$ вещественных чисел, удовлетворяющих условиям:
$$\alpha_1 \geqslant \alpha_2 \geqslant \dots \geqslant \alpha_n \geqslant 0, \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n = 1,$$
$$\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \leqslant \alpha_{k+1} + \alpha_{k+2} + \dots + \alpha_n (k = 1, 2, \dots, n-1),$$

29

выбран тот, для которого значение $a_n$ наименьшее. Тогда
$$a_k = 1/r_k \text{ для } k=1, 2, \dots, n-1, a_n = 1/(r_n-1).$$
О. Т. Ижболдин, Л. Д. Курляндчик

Ф1018. Катер, привязанный у берега большого озера (береговая линия — пряма), неожиданное отвязался, и ветер погнал его с постоянной скоростью $v_0 = 2,5$ km/ч под углом $\alpha = 15^\circ$ к берегу. Сможете ли вы догнать катер, если ваша скорость на берегу $v_1 = 4$ km/ч, в воде — $v_2 = 2$ km/ч? При какой скорости катера это вообшевозможно?

С. С. Кротов

Ф1019. В большой сосуд с жидкостью, плотность которого $\rho_1$, опущен маленький цилиндрический сосуд с площадью основания $S$, в дно которого вставлена трубочка длиной $l$ (рис. 1); стенки сосудов жестко скреплены между собой. В маленький сосуд наливают подкрашенную жидкость плотностью $\rho_2(\rho_2 > \rho_1)$ до высоты $H$ так, что уровни жидкости в большом и малом сосудах совпадают. В некоторых момент времени отвергите в трубочке открывают. Тяжелая жидкость начинает вытекать в большой сосуд, через некоторое время легкая жидкость из большого сосуда в маленький сосуд; затем процесс повторяется. Какая масса тяжелой жидкости вытечет из маленького сосуда в первый раз? Какая масса тяжелой жидкости будет вытекать каждый раз в дальнейшем? Какая масса легкой жидкости будет вытекать каждый раз в маленький сосуд? Считать, что жидкости не смешиваются; поверхностным натяжением претензь.

В. Е. Скороваров

Ф1020. Подвижный поршень делит цилиндр на две одинаковые части объемом $V_0 = 10^{-3} \text{ m}^3$. В одной части находится сухой воздуха, в другой — водной пар и $m = 4$ г воды. При медленном нагревании цилиндра поршень приходит в движение. После смесения поршня на 1/4 длины цилиндра движение прекратилось. Какая масса водыных паров находилась в сосуд до нагрева? Какова масса воздуха, находшегося в сосуде, и его начальная температура? При какой температуре поршень перестал двигаться?
Зависимость давления насыщенных паров воды от температуры приведена в таблице.

А. И. Буздин

Ф1021. В цепи, показанной на рисунке 2, $R = 100 \text{ Om}$, $C = 10 \text{ мкФ}$, $U_0 = 10 \text{ В}$, внутреннее сопротивление батареи и сопротивление амperметра претензью малы. Ключ К перiodические замыкают на время $\tau_1 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ с}$ и замыкают на время $\tau_2 = 20 \cdot 10^{-3} \text{ с}.$ При таком режиме переключений стрелка амperметра практически не доходит. Какой ток показывает амperметр?

А. Р. Зильберман

Ф1022. «Черный ящик» содержит катушку, резистор и конденсатор и имеет три выхода. При его исследовании были получены следующие результаты.

30

В схеме, показанной на рисунке 3, амператор показал $I_1=0,1$ А при частоте генератора $v_1=1000$ Гц; ток через амператор отставал по фазе от входного напряжения на $\Delta \varphi_1=\pi/6$. Когда частоту генератора уменьшили в 100 раз, ток возрос менее чем в 2 раза. Частоту генератора вернули к прежнему значению и вместе амператора в цепь включили волтметр (рис. 4). Волтметр показал $U_1=20$ В, а сдвиг фаз между напряжением на волтметре ($u_B$) и входным напряжением ($u_{BX}$) опять составил $\Delta \varphi_1=\pi/6$.

Найдите по этим данным параметры элементов «черного ящика». Во сколько раз нужно изменить частоту генератора, чтобы в схеме с волтметром (см. рис. 4) сдвиг фаз между $u_B$ и $u_{BX}$ составил $\Delta \varphi_2=\pi/2$?

Измерительные приборы считать идеальными. Внутреннее сопротивление генератора пренебрежимо мало.

A. P. Зильберман

Problems

M1006—M1010; P1018—P1022

M1006. Two lines, drawn through two vertices of a triangle, divide it into two triangles and a quadrilateral.
a) Can the areas of the four parts all be equal?
b) What three of these parts can have equal areas? How much will the area of the fourth part differ from them?

G. A. Galperin, A. P. Savin

M1007. Prove that two triangles with sides $a, b, c$ and $a_1, b_1, c_1$ are similar if and only if
$$\sqrt{aa_1} + \sqrt{bb_1} + \sqrt{cc_1} = \sqrt{(a_1 + b_1 + c_1)(a + b + c)}.$$

V. P. Chichin

M1008. There are $2n+1$ steps in a staircase. There is one rock on each of the $n$ lowest steps. Two persons take turns carrying rocks. The first may place any rock on the lowest free step, the second may move a rock one step down on a free step. The aim of the first is to put a rock on the top step. Can the second stop him?

S. L. Eliseev

M1009. The bisector of angle $A$ of parallelogram $ABCD$ intersects lines $BC$ and $CD$ at points $K$ and $L$ respectively. Prove that the centre of the circle passing through points $C, K$ and $L$ lies on the circle passing through points $B, C$ and $D$.

I. F. Sharygin

M1010. The sequence $r_1, r_2, r_3, \ldots$ is determined by the conditions
$$r_1=2, r_{n+1}=r_1r_2\ldots r_n+1,$$
so that $r_2=3, r_3=7, r_4=43, \ldots$
a) Prove that for any $n$
$$1/r_1+1/r_2+\ldots+1/r_n<1.$$
b) Suppose that the sum of the inverses of $n$ natural numbers is less than 1. Prove that this sum is then no greater than
$$1/r_1+1/r_2+\ldots+1/r_n.$$
The proofs that we have are all based on the following lemma, which we propose to our readers for proof.
c)* Among all the sequences $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ of $n$ real numbers