Оптические приборы

42

Оптические приборы

Л. П. БАКАНИНА

Существует много различных оптических приборов, и каждый из них признан так или иначе «помогать» нашему глазу. Например, телесоп и бинокль позволяют рассматривать весьма удаленные предметы, а лупа и микросkop служат для рассматривания очень мелких предметов. Фотоаппарат дает возможность запечатлеть изображение на пленке, а проекционный аппарат позволяет получить увеличенное изображение этой пленки на экране, которое может видеть сразу больше число людей. Очки восполняют различные недостатки зрения у людей. О некоторых из перечисленных приборов и поддетречь в данной стране.

Приципиальное устройство этих приборов очень простое — их оптичная система состоит из одной или двух линз. Сколько и какие именно линзы при этом использовются — зависит от назначения конкретного прибора.

Очки

Наш глаз обладает способностью аккомодировать, то есть «настраивать» на рассматривание различного удаленных предметов. Для нормального глаза область аккомодации лежит в пределах от бесконечного больших расстояний до расстояний порядка 10 см (с возрастом это расстояние увеличивается). При этом в первом случае глазу удается получить на сетчатке отсутствие изображение без каких-либо мышечных условий.

Человек, страдающий близорукостью, не может сфокусировать на сетчатке изображение удаленных предметов, а человек, страдающий дальнейозоркостью, не имеет возможности отсутствивы в близкие к глазу предметы. Проctые очки со сферическими линзами позволяют скоррек-

43

тировать близорукость или дальнейзорость глаза, «приближая» или «удаляя» предметы относительно глаза. Очевидно, что в первом случае используются рассеивающие линзы, а во втором — собирающие.

Приято различать очки «для дали» и очки «для чтення». Первые «переносят» предметы, находящиеся на бесконечно большом расстоянии, на дальнейю границу области аккомодации данного глаза. Вторые «переносят» предметы со стандартного для нормального глаза расстояния на лиучшего зрения $d_0=25$ см на расстояние на лиучшего зрения близорукого или дальнейзорого глаза.

Задача 1. Близорукий человек лучше всего различает мелкий шрифт, расположенный на расстоянии $d=15$ см от глаза. Какие очки для чтення нужны этому человеку?

Считаем, что очки расположены вплотную к глазу, а книгу человека держит на расстоянии на лиучшего зрения $d_0=25$ см от глаза (рис. 1). По формуле линзы

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F},$$

находим оптическую силу очков:

$$D = \frac{1}{F} = \frac{d-d_0}{d_0d} \approx -2,7 \text{ дитр.}$$

Задача 2. Какие очки нужны человеку, у которого расстояние на лиучшего зрения оказалось равным $d=75$ см?

Так же, как и в предыдущей задаче, предметаем, что человеку удобно держать книгу на расстоянии $d_0=25$ см, а изображение в очках должен получить на расстоянии $d=75$ см (рис. 2). По формуле линзы получаем, что оптическая сила очков

$$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{d_0} - \frac{1}{d} = \frac{d-d_0}{d_0d} = +2,7 \text{ дитр.}$$

Фотоаппарат

В Fotoаппарате с помощью линзы объектива получают на пленке изо-

Рис. 2.

бражение фотографируемых предметов. Перемещая объектов относительно пленки, добавляющая четкого изображения предметов, находящаяся на разных расстояниях от фотоаппарата. Качество изображения зависит также от времени эксплуатации пленки. В течение которого открыть фотоаппарата, и диаметра диафрагмы, стояшей перед объектом. Величина этих параметров определяется яркостью предмета и цветовительностью пленки. Если сигмаются движущие предметы, время экспозиции должно быть достаточно малым, иначе изображение на пленке будет размытым. Диаметр диафрагмы определяет не только освещенность пленки, но и глубину резкости.

Задача 3. На сутинике, летящем по круговой орбите на высоте $H=200$ км от Земли, расположен Fotoаппарат, объектов которого имеет фокусное расстояние $F=40$ см. Разрешающая способность пленки (определяемая紊истой структурой фотоэмульсии), то есть минимальный размер различных деталей изображения, равна $a=10$ мкм. Каков минимальный размер предметов на Земле, которые можно различить на пленке? Каково допустимое время экспозиции?

Так как $H \gg F$, можно считать, что фотографируются предметы, находящиеся в бесконечности, и их изображения получаются четкими в фокальной плоскости объектива. По условиям задачи можно различить

44

предметы, размер изображения которых больше $a$, поэтому (рис. 3)
$$l \geq a \frac{H}{F} = 5 \text{ м.}$$

За время эксперименти $t$ спутник и, следовательно, оптическая ось объектива поворачиваются на угол $a = 2\pi/T$, где $T = 2\pi \sqrt{R/g}$ – период обращения спутника, $R \approx R_3 = 6400 \text{ км}$. Изображение при этом «размоеется» на величины $aF$. Это размытие должно быть не больше $a$. Отсюда
$$t = \frac{aT}{2\pi} \leq \frac{a}{F} \sqrt{\frac{R}{g}} = 0,02 \text{ с.}$$

Задача 4. Из-за конечной разрешющей способности фотопленки на ней четко изображаются предметы, находящиеся от фотоппарата на расстояниях от $d_1 = 15$ м до $d_2 = 30$ м. Не меняя наводки на резкость, объектив задача размытия диаметр открытой части объектива). При этом близняя граница глубины резкости стала равной $d'_1 = 10$ м. Найдите дальнейю границу глубины резкости.

Пусть размер зернистой структуры фотоэмульсии $a$, диаметр объектива фотооппарата $b$, а его фокусное расстояние $F$. Если аппарат наведен на предмет, расположенный на расстоянии $d$ от фотоппарата, плена расположена от объектива на расстоянии $f$, определяемом по формуле линзы (рис. 4):
$$f = \frac{dF}{d-F}.$$

Предмет, находящийся на расстоянии $d_1 < d$, будет четко изображаться на расстоянии $f_1 = d_1F/(d_1 - F)$. При этом каждая точка этого предмет будет засечивать на пленке кружок. Если диаметр этого кружка не превышает размер зернестоэмульсии, мы не заметим расфокусировки. То же будет для предметов, расположенных на расстоянии $d_2 > d$. Каждый точка предметов изображаться

точкой на расстоянии $f_2 = d_2F/(d_2 - F)$ от объектива, а на пленке будет образоваывать кругок, диаметр которого не должен превышать $a$.

Из подобия треугольников на рисунке 4 имеем
$$\frac{a}{b} = \frac{f - f_2}{f_2} = \frac{f_1 - f}{f_1},$$
откуда получаем
$$\frac{2}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}. \tag{1}$$

Если диаметр объектива стал $b'$, то
$$\frac{a}{b'} = \frac{f - f'_2}{f'_2} = \frac{f'_1 - f}{f'_1},$$
или
$$\frac{2}{f} = \frac{1}{f'_1} + \frac{1}{f'_2}, \tag{2}$$

где
$$f'_2 = \frac{d'_2F}{d'_2 - F} \text{ и } f'_1 = \frac{d'_1F}{d'_1 - F}.$$

Из (1) и (2) находится
$$\frac{1}{f'_2} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{1}{f'_1},$$
откуда, выражая $f$ через $d$, получаем
$$d'_2 = \frac{1}{\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} - \frac{1}{d'_1}} \Rightarrow \infty.$$

Итак, дальнейя граница глубины резкости лежит в бесконечности, и, следовательно, на пленке четко изображаются все предметы, расположенные дальше 10 м от объектива.

Микросокоп

Задчача, которая ставится при конструкции этого прибора, — получить как можно больше уvelичение изображения мелких предметов.

Микросокоп состоит из двух собирающих линз — объектива и окуляра. Объектив, обращенный к предмету, дает действительное уvelичение изображение предмета, а окуляр, расположенный непосредственно перед глазом наблюдается как

Рис. 5.

45

лупа, дающий минимое увеличение изображение. При этом глаз обычно аккомодирован на бесконечность.

Как видно из рисунка 5, изображение в микросопе получается увеличенным и перевернутым. Найдем его угловое увеличение $\gamma$ — отношение угла зрения $\varphi$ на предмет через микросоп к углу зрения $\varphi_0$ при наблюдении невооруженным глазом: $\gamma = \varphi / \varphi_0$. Если размер предмет $h$ и он расматривается глазом с расстояния наилучшего зрения $d_0$, то

$$\varphi_0 = \frac{h}{d_0}.$$

Тепер найдем $\varphi$.

Увеличение системы линз всегда равно произведению увеличенной каждой из линз, входящих в эту систему. Чтобы увеличение объектива было по возможности большеко к фокусу, поэтому можно принять, что $d_1 = F_1$. Изображение, даваемое объективом, является предметом для окуляра. Если глаз аккомодирован на бесконечность, то «предмет» должен находиться в фокальной плоскости окуляра, то есть $d_2 = F_2$. Из рисунка 5 получаем

$$\varphi = \frac{H}{F_2} = \frac{h(L - F_1 - F_2)}{F_1}.$$

Очевидно, что в качестве и объектива, и окуляра разумно использовать короткофокусные линзы. Тогда

$$\varphi = \frac{hL}{F_1F_2},$$

иувеличение микросопа в этих приближениях можно считать равным

$$\gamma = \frac{\varphi}{\varphi_0} = \frac{Ld_0}{F_1F_2}.$$

На основании этой формулы можно подумать, что,увеличая расстояние между линзами $L$ и приближая предмет к фокусу объектива, мы можем получить любые, сколько углового больше увеличения микросопа. Однако это не так. При достаточно больших расстояниях между линзой и изображением уже нельзя пользоваться приближенными построениями геометрической оптики, необходимо учитывать волновые свойства света и, в частности, явление дифракции, которое приводит к искажению изображения и даже к тому, что изображения не получается вообще. Из рассмотрения дифракционных явлений можно получить, что минимый размер предмета, который можно рассмотреть в микросопе без искажений, должен быть порядка длины световой волны. Для видимого света величины $l_{\min} \sim 0,5$ мкм, а максимальное возможное увеличение микросопа $\sim 10^3$.

Задача 5. Микросоп имеет объекты с фокусным расстоянием $F_1 = 1$ см и окуляр с фокусным расстоянием $F_2 = 3$ см, расстояние между $L = 20$ см. На каком расстоянии от фокуса объектива должен находиться объект, чтобы его изображение получилось на расстоянии наилучшего зрения $d_0 = 25$ см от окуляра? Чему равно при этом увеличение микросопа?

Будем считать, что изображение, даваемое объективом, находится приближению в фокусе окуляра. Тогда расстояние от объектива до изображения $f_1 = L - F_2 = 17$ см, а искомое расстояние

$$x = d_1 - F_1 = \frac{f_1F_1}{f_1 - F_1} - F_1 = \frac{F_1^2}{L - F_1 - F_2} \approx 0,06 \text{ см.}$$

Увеличение микросопа равно приближению

$$\gamma = \frac{(L - F_2)d_0}{F_1F_2} \approx 130.$$

Зрительные трубы. Телекоп

Зрительные трубы, предназначенные для наблюдений удаленных предметов, делятся на две группы: 1) состояние из двух собирающих линз — «астрономическая труба», или труба Кеплера; 2) состояние из собирающей и рассеивающей линз — «земная труба», или труба Галилея. И та, и другие трубы могут быть использованы в качестве телекопа. Систему линз называют телекопический, если входящий в нее параллельный пучок лучей выходит тоже параллельным, но под другим углом к оптической оси. Угловым увеличением зрительной трубы называют относение углов, под которым расположаются выходящие и входящие параллельные пучки света: $\gamma = \varphi_2 / \varphi_1$.

Как правило, при рассматринии удаленных предметов с помощью зрительного трубы глаз наблюдается аккомодирован на бесконечность, но бывают и исключания.

46

Труба Кеплера. Рассмотрим трубу Кеплера как телекоптическую систему, настроенную на бесконечность. Из рисунка 6 видно, что
$$F_1 \text{tg} \varphi_1 = F_2 \text{tg} \varphi_2.$$
Если углы малы, то
$$\frac{\text{tg} \varphi_2}{\text{tg} \varphi_1} = \frac{\varphi_2}{\varphi_1} = \gamma = \frac{F_1}{F_2},$$
то есть уvelичение трубы равно отношению фокусных расстояний объекта и окуляра. Длина трубы в этом случае равна $L = F_1 + F_2$; изображение в трубе перевернуть.

Задание 6. Наблюдатель расматривает удаленный предмет с помощью эритетной трубы Кеплера. Фокусные расстояния объекта и окуляра равны соответствию $F_1 = 30$ см и $F_2 = 5$ см. Наблюдатель видит четкое изображение предмета, если расстояние между объектом и окуляром трубы находится в пределах от $L' = 33$ см до $L'' = 34,5$ см. На каких расстояних наблюдаются отчетливо видит предмет невооруженным глазом?

Изображение удаленных предметов в объектive трубы получается в его фокальной плоскости, то есть на расстоянии $d_2 = L - F_1$ от окуляра. Изображение в окуляре всегда минимое, и его расстояние до глаза (считаем, что глаз приложен вплотную к окуляру) меньше в пределах, вычисляем

Ткк как расстояние до сцены, безусловно, много больше $F_1$, то изображение, даваемое объективом, будет расположено в его фокальной плоскости. Если расстояние между линзами $L_1$, то это изображение находится от окуляра на расстоянии $d_2 = F_1 - L_1$ справа от линзы по ходу лучей. Изображение в окуляре (миное) должно быть расположено на расстоянии $f_2 = d_0$. Применяя формулу линзы
$$-\frac{1}{F_1 - L_1} - \frac{1}{d_0} = -\frac{1}{F_2},$$
находим
$$L_1 = F_1 - \frac{F_2 d_0}{d_0 - F_2} \approx 3,2 \text{ см.}$$