Где ошибка?

21

Легко видеть, что формула (3) эквивалентна формуле Герона: так как $S=pr$, то с учетом (1) и (3) получаем $S^2=p^2r^2=pxyz=p(p-a)(p-b)(p-c)$.

Второе доказательство. Пусть $O_1$ и $r_1$ — центр и радиус окружности, касающейся стороны $BC$ и продолженной сторон $AC$ и $AB$, $F$ — точка касания этой окружности с прямой $AB$ (рис. 4). Тогда (см. формулы (2)) $BF=p-c=z$. Треугольники $ODB$ и $O_1BF$ подобыны ($ODB=BFO_1=90^\circ$, $FBO_1=\frac{1}{2}CBF=\frac{1}{2}(180^\circ-CBD)=90^\circ-OBD=DOB$). Следовательно, $OD:BF=DB:O_1F$, то есть $r:z=y:r_1$, откуда $r_1=yz/r$. Примугольные треугольники $AO_1F$ и $AOD$ также подобыны, откуда $AF:AD=O_1F:OD$, поэтому $p:x=r_1:r$. Подставляя в это равенство $r_1=yz/r$, получим $p:x=yz/r^2$, то есть $pr^2=xyz$, что, как было показано в конце первого доказательства, эквивалентно формуле Герона.

Третье доказательство. Докажем сначала, что в любом треугольнике

$$\text{ctg} (\hat{A}/2) + \text{ctg} (\hat{B}/2) + \text{ctg} (\hat{C}/2) = \text{ctg} (\hat{A}/2) \text{ctg} (\hat{B}/2) \text{ctg} (\hat{C}/2).$$

Действительно,

$$\text{ctg} (\hat{C}/2) = \text{ctg} ((180^\circ - \hat{A} - \hat{B})/2) = \frac{\text{tg} (\hat{A}/2) + \text{tg} (\hat{B}/2)}{1 - \text{tg} (\hat{A}/2) \text{tg} (\hat{B}/2)},$$

позетом

$$\text{ctg} (\hat{A}/2) + \text{ctg} (\hat{B}/2) + \text{ctg} (\hat{C}/2) = \frac{\text{tg} (\hat{A}/2) + \text{tg} (\hat{B}/2)}{1 - \text{tg} (\hat{A}/2) \text{tg} (\hat{B}/2)}$$

$$= \frac{\text{ctg} (\hat{A}/2) + \text{ctg} (\hat{B}/2)}{1 - \text{tg} (\hat{A}/2) \text{tg} (\hat{B}/2)}$$

$$= \frac{\text{ctg} (\hat{A}/2) + \text{ctg} (\hat{B}/2)}{1 - \text{tg} (\hat{A}/2) \text{tg} (\hat{B}/2)}$$

Ответ: $\sqrt{2} < a < \sqrt{5}$ или $-\sqrt{5} < a < -\sqrt{2}$.

2. АВCD — правильный терраэдр. Точка $X$ такой, что $XA=XC$, $XB=XD$, $XA=\sqrt{3}XD$. Установите положение точки $X$ относительно терраэдра.

Ответ: граничная.

3. В каждый из трех границ улов примои прізмы $ABCD_1B_1C_1D_1$, в основании которого $ABCD$ — ромб, $AC=8$, $BD=6$, $AA_1=1$, вписан шар, касающийся конуса с вершиной в точке $O=(A_1C_1)\cap(B_1D_1)$ и основанием, вписанным в ромб $ABCD$. Найditе радиус шаров.

Ответ: $\frac{12}{29}, \frac{6}{7}, \frac{12}{25}, \frac{3}{5}$.

П. П. Горнуша