Числа Мерсенна

24

Числа Мерсенна

Математика, как и большинство современных наук, в настоящее время развивается со всевозрастной скоростью. В мире выходит сотни математических журналов, в которых публикуются ежедневно десяти тысяч научных работ. А 350 лет назад никаких математических журналов еще не было, и ученыые обменивались результаты своих исследований в личных письмах. Правда, был один человек — французский монах Марен Мерсенн (1588—1648), который получал таких писем больше других. Написать об открытии новой теоремы Мерсенну ознакомлено установить свой приоритет, поскольку Мерсенн, как правило, сообщал об этом остальным своим корреспондентам, в числе которых были Р. Декарт, В. Паскаль, П. Ферма, Х. Гойгенс и много другие ученыы того времени.

Эта деятельности Марена Мерсенна способствовала созданию в Париже Академии наук.

Из собственных математических достижений Мерсенна наиболее известностью пользовются изученные им числа вида $M_n=2^n-1$.

Тот, кто знает, что такое геометрическая прогрессия, сразу заметит, что $M_n$ равняется сумме первых $n$ членов геометрической прогрессии с начальным членом $2^\circ=1$ и называют 2:

$$M_n=2^\circ+2^1+2^2+\dots+2^{n-1}.$$

Мерсенна интересовало, какие из чисел $M_n=2^n-1$ являются простыми. Вопрос этот возник в задаче, поставленной древними греками (к ней мы еще вернемся).

Простые числа, получающие по формуле $2^n-1$, и называют числа Мерсенна.

Попробуем и мы немного коснуться проблемы поиска чисел Мерсенна.

Вычислим несколько первых чисел $M_n=2^n-1$ и запишем их по порядку в таблицу из четырех столбцов. Первое набоюние: числа, попадающие в один и тот же столбец, оказываются на одну и ту же цифру. А именно, числа, попадающие в первый столбец, оказываются на 1, во второй — на 3, в третий — на 7 и в четвертый — на 5 (попробуйте строго

25

обосновать это наблюдение). Значит, числа $M_n$, попадающие в четвертый столбец, делятся на 5, и среди них не может быть чисел Мерсенна.

Несложно доказать и второе наблюдение: числа, попадающие во второй и четвертый столбцы, делятся на 3. В самом деле, разность двух последовательных чисел $M_{2k}$ и $M_{2k+2}$ с четыыми номерами равна

$$(2^{2k+2}-1)-(2^{2k}-1)=2^{2k+2}-2^{2k}=3\cdot 2^k.$$

Поэтому, если число $M_{2k}$ делится на 3, то и $M_{2k+2}$ тоже делится на 3. А число $M_2$ равно трех.

Поэтому числа Мерсенна (за исключением $M_2=3$) имеет смысл искать только в первом и третьем столбцах.

Более простное изучение чисел $M_n$ приводит к третьему наблюдению: если $n$ — составное число, $n=kl$, $k>1$, $l>1$, то $M_n$ делится на $M_k$ и на $M_l$. (Это следует из того, что $2^{kl}-1=(2^k)l-1=(2^l)k-1$, а $(x^m-1)=(x-1)(x^{m-1}+x^{m-2}+...+x+1)).$ Кстати, из третьего наблюдения вытекают и первые два, поскольку все числа во втором столбце делятся на $M_2=3$, а все числа в четвертом столбце делятся на $M_4=15$.

Итак, число $2^n-1$ будет простым только при условии, что $n$ — простое.

Но для любого ли простого $p$ число $M_p$ будет простым? Надежда на положительный ответ рушится очень быстро: уже число $M_{11}=2047=23\cdot 89$ является составным.

Сам Мерсенн указыва все простые значения $n$, не превысodiaщие 257, для которых, по его мнению, числа $M_n=2^n-1$ будут простыми. Однако Мерсенн не дал доказательства; впоследствии выяснили, что его предсказание было частично ошибным.

Поисками чисел Мерсенна занимается и Леонард Эйлер, член Петербургской Академии наук, один из величины математиков Нового времени. В 1750 году он обнаружил десятое по счету число Мерсенна; это $M_{31}=2147483647$.

Если раньше понск чисел Мерсенна велся «кустарными» методами, то в 20-м веке в работе включились ЭВМ, считающие с огромной скоростью. В 1952 году было найдено сразу пять новых чисел Мерсенна: $M_{521}, M_{607}, M_{1279}, M_{2203}$ и $M_{2281}$; они являются соответствующим тринадцатым — семнадцатым числам Мерсенна. Следующее шесть чисел Мерсенна были найдены в период с 1958 года по 1963 год. наконец, в 1971 году было найдено 24-e число Мерсенна $M_{19937}$, в 1978 году — 25-e число Мерсенна $M_{21701}$, в 1979 году — 26-e и 27-e числа Мерсенна $M_{23209}$ и $M_{44497}$. Последнее известное нам число Мерсенна найдено в 1983 году: это $M_{86243}$; но пока неизвестно, является ли оно 28-м по счету числом Мерсенна.

И в заключение обьясим интерес к числом Мерсенна. Дело в том, что они связаны с так называемыми совершенными числами (которые и занимались древние греки) — числа, равными сумме всех своих делителей, отличных, конечно, от самого числа (например, $6=1+2+3$, $28=1+2+4+7+14$, $496=1+2+4+8+16+31+62+124+248$ — первые три совершенных числа). Еще Евклид доказал (доказатель и вы!), что если число $2^n-1$ простое, то число $2^{n-1}(2^n-1)$ совершенное. Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа? А нечетные совершенные числа пока никто не нашел, и никто пока не доказал, что таких чисел нет.

По материалам Ю. В. Королева и О. М. Мамедова