I Всесоюзная олимпиада по физике учащихся средних профессионально-технических училищ

52

I Bесоюзная олимпида по физике учащихся средних профессиональных технических училищ

На олимпийской «карте» появились еще одна «координата» — олимпида по физике учащихся СПТУ. По форме проведения эта новая олимпида ничего не отличалась от традиционной школьной. Однако при подборе задач было учтено, что учащся профессионально-технических училищ течесе связаны с практикой, чем школьники, и поэтому их больше должны интерсовать конкретные, можно сказать, «прикладные» задачи.

20 мая. Открытие олимпиды
Участики и организаторы олимпиды собрались в живописном комсомольском городке «Борис Дзенладзе» недалеко от Тбилиси.

Председатель Госкомитета по професхозаводанию Грузинской ССР Н. В. Гургенидзе объявлял олимпиду открытой. Все выступающие (среди них крупные учены, учтеля и самы учащники олимпиды) пришли к единому мнению: главное — это учатие, и все собравшиеся уже добавились большой победы, завовав право представлять свои ресурсы на Бесоюзной олимпиде.

Вечером проводилась викторина, во время которой в игровой форме олимпиды должны ответить на довольно сложные вопросы по физике, продемонстрировать свое логическое мышление и смекалку. Ответы ребят показали, что уровень подготовки собравшихся в Тбилиси довольно высок, а сама викторина послужила хорошей разминкой перед главными испытаниями.

21 мая. Теоретический тур
В течение пяты часов ребята упорно и настойчиво решили предложенные им шесть задач:

1. курс

2. На невесомой нити жесткость $k$ высит тело массой $m$. Нить выдерживает натяжение $T$. Тело приподнимают на высоту $x$ (х отсутствует положения равновесия) и отпускают. При каком минимальном $x$ нить оборвется?

3. Поршень в цилиндрическом сосуде прикреплен к правой стенкеружиной (рис. 1). Слева от поршня в цилиндре находится азот, справа — вакуум. При температуре $T_1=300$ К расстояние $x_1=40$ см, при $T_2=500$ К — $x_2=50$ см. Чему равна длинаружины в недеформированном состоянии? Каково будет расстояние $x$ при температуре жидкого геля? Длина сосуда $L=80$ см. Тренем поршня о стенки цилиндра претенбрец.

4. В сосуд, где должа подерживать состояние температура (термоат), помещили $m=1$ кг нафталина, причем $k$-я часть его расплавлена. В термоат наливают $M=2$ кг воды. На сколько может отличаться начальная температура воды от температуры плавления на фталина, чтобы температура в термоат не изменилась? Temperatura плавления на фталина $t_{пп}=80$ °C, удельная темперакость воды $c=4,2$ кДж/(кг·К), удельная температура на фталина $\lambda=151$ кДж/кг, считать $k=1/2$.

5. Какое сопротивление $R_0$ должен иметь волтметр, чтобы с точностью до 1% изменить падение напряжения на резисторе с сопротивлением $R=1$ кОм (рис. 2)? В цепи между точками $A$ и $B$ источник обеспечивает постоянный ток.

6. Вычислите сопротивление между точками $A$ и $B$ проволочной фигуры, изобразенной на рисунке 3, если сопротивление одного звена равно $R$ (звеном называется отрезок между двумя точками).

7. Гидрофон, установленный около на большого водоема, зарегистировал несколько последовательных сигналов, обусловленных взрывом на дне. Промежуток времени между перым и вторым сигналами оказался равным $T_1=1$ с, между перым и третьем сигналами — $T_2=3$ с. На каком расстоянии от гидрофона произойдет взрыв? Скорость распространения звука в воде $v=1500$ м/с, до водоема плоское.

II и III курс

1. Через неподвижное горизонтальное закрепленное бревно переброшена ввервека (рис. 4). Для того чтобы удерживать груз массой $m=6$ кг, подвешенный на этой вервеке, необходимо тянут второй конец вервеки с минимальной силой $F_1=40$ Н. С какой минимальной силой $F_2$ надо тянут вервеку, чтобы груз начал подниматься?

2. Для создания искусственного тяжестки две части космического корабля (отношение масс $m_1:m_2=1:4$) разводятся на расстояние $L$ и приводятся во врашение вокруг их общего центра масс. Определите период вращения $T$, если магнитковые часы в кабине космината, расположенной в более массивной части корабля, идут вдвое медленнее, чем на Земле.

3. При изготовлении льда в холодильнике потребовалось $\tau_1=6$ мин, чтобы охладить воду

54

встретился с величиспедистом в 14 часов, а с мотошиклистом — в 16 часов. Мотошиклист встретил моед в 17 часов и догнал величиспедиста в 18 часов. Когда величиспедист встретил моед?

5. На прямогольном столе без наложений лежат 25 монет так, что нельзя положить еще одну монету, не накладывая ее на лежащие монеты. Докажите, что, допуская наложения монет, весь стол можно покрыть 100 таких монетами. (Монеты — это кружочки одинакового радиуса. Монета может высвободаться за край стола, но так, чтобы ее центр оставался на столе. Покрыть стол монетами — значит расположить монеты на столе так, чтобы каждая точка стола находилась под какой-нибудь монетой.)

9 класс

1. По окружности в некотором порядке расположены 15 черных и 15 белых фишек. За один ход разрешается поменять местами любые две фишки. За какое наименьшее число ходов из произвольного исходного расположения фишек можно перейти к расположению, в котором каждые две соседние фишки имеют разный цвет?

2. Числа $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$ неотрицательные, причем $a_1=a_7=0$. Докажите, что для некоторых номера $i \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ выполняется неравенство $a_{i+1}+a_{i-1} \leq a_i \sqrt{3}$.

3. Равные прямогольные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ (вершины перечисленных против часовой стрелки) наложены друг на другу так, что середины $M$ их гипотенуз $AB$ и $A_1B_1$ совпадают. Пусть $D$ — точка пересечения прямых $BC$ и $B_1C_1$, $E$ — точка пересечения прямых $AC$ и $A_1C_1$. Докажите, что точки $C, D, M$ лежат на одной окружности.

4. На доске нарисовали треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ вне треугольника построили квадраты с центрами $P$ и $Q$, а на стороне $AC$ отметили точку $R$, такую, что $AR:RC=1:2$. После этого с доски стерли все, кроме точки $P, Q, R$. Как с помощью циркуля и линейки восстановить треугольник $ABC$?

5. Натуральные числа 1, 2, …, 3$n$ произвольно разделили на три группы по $n$ чисел в каждой. Докажите, что из каждой группы можно выбрать по одному числу так, что одно из выбранных чисел будет равно сумме двух других.

10 класс

1. Данные окружность и точка $M$ внутри нее. Докажите, что сумма квадратов длины взаимно перепределикулярных ходданной окружности, пересекающих в точке $M$, есть постоянная величины.

2. Пусть $a$ и $b$ — различные положительные числа. Докажите, что справедливые неравенства:

$$\sqrt{ab} < \frac{a-b}{\ln a - \ln b} < \frac{a+b}{2}.$$

3. Найдите объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если диагонали $AB_1, B_1C, BD_1$ попарно перепределикулярны и их длины равны соответствующим $a, b, c$.

4. Имеются гирни массой $1^2\ r, 2^2\ r, 3^2\ r, ..., 1000^2\ r$. Докажите, что их можно разделить на две группы одинаковой массы по 500 гирь в каждой.

5. Каждая точка плоскости окрашена в один из двух цветов. Известно, что у любого правильного треугольника со стороны 1 имеется вершины обихцевой a) Докажите, что найдется правильный треугольник со стороны $\sqrt{3}$, все вершины которого одного цвета. 6) Приведите пример раскраски плоскости, удовлетворяющей условию задачи.

Физика

Задание по физике состоит из четырех теоретических и двух экспериментальных задач. Каждая задача оценивается по десятибалловой системе и считалась решенной, если за ее решение давалось шесть и более баллов. Результаты оказались следующими:

| Теоретический тур |
| :— |
| Класс Задания: 1 2 3 4 |
| 8 48 % 14 % 37 % 2 % |
| 9 49 % 23 % 9 % 23 % |
| 10 74 % 23 % 51 % 5 % |

Экспериментальный тур |
| Класс Задания: 1 2 |
| 8 25 % 13 % |
| 9 55 % 51 % |
| 10 24 % 25 % |

Как видно, наиболее затрудняя вывзвание задача 4 для учащихся 8 и 10 классов и задача 3 для учащихся 9 классов.

Teoretическая тур

8 класс

1. В сосуде с водой плавает кусочек льда, удерживаемый нитью (рис. 1). Натяжение нитей $F=10$ Н. На сколько изменится уровень воды в сосуде, если лед растает? Площадь секции сосуда $S=100$ см$^2$.

2. На наклонной плоскости с углом наклона $a=45^\circ$ нахождение точки массой $M=1$ кг и длиной $l=1,4$ м, на конце которого лежит кубик массой $m=0,5$ кг (рис. 2). В начальной моменте точки массой $M$ и кубик покояется. Определите время сосальзывания кубика с точки. Коэффициент трения точки $O$ плоскость $\mu=0,7$, треннем кубика о доску претензь.

55

3. Нагреватель подключен к сети через реостат (рис. 3). Сопротивление реостата $R=30$ Ом. Если сопротивление нагревателя $r=90$ Ом, то при полностью введеном реостате вода закипит через время $t=8$ мин. При каком сопротивлении нагреватель вода закипит через время $t'=4$ мин, если реостат введен наполовину? Телловыми потерями претензуем.

4. Тело бросили вертикально вверх со скроостью $v_0=10$ м/c. В момент падения на землю оно имело скорость $v_K=9$ м/c. Определите время движения тела, если сила сопротивления пропорциональна скорости тела.

9 класс

1. Утог с терморегулятором при номинальном напряжении сети перiodически включается на 1 минуту, поддерживая почти неизменную температуру. При попиненном на 10% напряжении сети это время увеличивается до 2 минут. При каком напряжении в сети терморегулятор еще может поддерживать эту температуру?

2. На берегу реки на некотором расстоянии друг от друга находятся два пунктига $A$ и $B$. Ваша задача припЛЬтить на катере из пунктига $A$, стоящего ниже по течению реки, в пункт $B$, затратив при этом минимальное количество горючего. Будем считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости катера относительно воды, а расход горючего пропорционален мощности, развиваемой двигателем. Эти предположения являются не накладывается, то есть она может менять достаточно произвольно. Конечно, имеется в виду, что мощность двигателя достаточная, чтобы пить против течения. Как найти необходимое время, если известна скорость реки в каждой точке пути?

3. Тело массой $m=1$ кг бросили вертикально вверх. Разность между начальной скоростью и скоростью в момент падения тела на землю $\Delta v=1$ м/c. Определите среднюю мощность, развиваемой силой сопротивления за все время движения, если сила сопротивления пропорциональна скорости тела.

4. Две плоскопаральные пластины площадью $S$ каждой соединительной проводящей проводок и находятся во внешнем однородном электростанческом поле с напряжением $\vec{E}$ на расстоянии $d$ друг от друга (рис. 4). Какую работу надо совершить для слияния пластин на расстояние $d/2$? Вектор напряжения $\vec{E}$ перpendicularен плоскости пластин. Размер пластин много большие расстояния между ними.

10 класс

1. Для изменения обратного тока полупроводникового диода была собрана схема, приведенная на рисунке 5. Перед подключением конденсатор зарядили до полного напряжения батарей, а затем включили в схему «плюсом» к «минус» батарей. Выдержав ключ в положении 1 время $\tau_1=1$ мин, его перебросили в положение 2. При этом стрелка галванаметра отключалась на $n_1=5$ делений. Опыт повторили, время выдержки выбрали $\tau_2=2$ мин, при этом стрелка галванаметра отключалась в другую сторону на $n_2=20$ делений. Определите по этим данным обратный ток диода, считая, что он практическим не зависит от приложенного к диоду обратного напряжения.

2. На гладкой горизонтальной поверхности льда покопится docka массой $M$ и длиной $l$, на одном из концов которого сидит котенок массой $m$. С какой наименьшей скоростью относительно льда он должен прыгнуть, чтобы попасть на другой конец dockи? Какой угол $a_0$ с горизонтом должно составлять эта скорость, чтобы котенок затратил на прыжок к другому концу минимум энергии?

3. Два одинаковых магнитных шарика подвешены на одинаковых длиных нитях к одному крючку. Один из шариков отводятлево на некоторые малый угол, а второй — вправо (в той же плоскости) на угол вдвое меньше и одновременно отpusкают. Через время $t$ после этого проискодит упруго центральное соударение шариков. Через сколько времени после соударения нить в второго шарика отключится на свой пероначальный угол?

4. На рисунке 6 дан ход луча $ABC$ через тонкую собирашую лину и точка $F$ — ее задний фокус. Найдите построением с помощью циркуля и линейки с делениями линзы и ее главную оптическую ось.

Экспериментальный тур

8 класс

1. Исследуйте зависимость КПД генератора переменного тока от величины нагрузочного сопротивления.

Оборудование: электрический генератор переменного тока, штатив с муфтой и лапкой, нить, соединительные провода, волтметр переменного тока, магазин сопротивления, линейка, секундомер, набор грузов для работы по механике.

2. Оцените свою максимальную мощность при прыжке в высоту без разбета.

Оборудование: измерительная лента.

(Окончание см. на с. 57)