Số lượng phân chia

22

LƯU Ý, chúng phải được đặt theo hướng âm tính từ gốc tọa độ (sang trái hoặc xuống dưới). Có thể điểm $K$ giao điểm của tất cả các đoạn thẳng tương ứng với tiêu điểm của thấu kính sẽ có hình chiếu âm. Điều này có nghĩa là tiêu điểm của thấu kính là tối thiểu, nghĩa là thấu kính phân kỳ. Vị trí của các vật thể và hình ảnh thực và tối thiểu được hiển thị trong hình 3.

Danh pháp cũng có thể được sử dụng để xác định độ phóng đại tuyến tính của thấu kính - tỷ lệ giữa kích thước tuyến tính $H$ của hình ảnh với kích thước tuyến tính $h$ của vật thể: $\Gamma = H/h = f/d$ (xem § 60 của “Vật lý 10”). Từ hình 1 rõ ràng là

$$\Gamma = \frac{f}{d} = \text{tg} \beta.$$

Do đó, hình ảnh có thể được phóng to, thu nhỏ hoặc có cùng kích thước với chính đối tượng.

Bạn cũng có thể giải nghịch đảo bài toán - sử dụng độ phóng đại cho trước và tiêu cự đã biết của thấu kính, xác định khoảng cách $d$ và $f$. Để làm điều này, chỉ cần xây dựng điểm quen thuộc $K$ và vẽ qua một đường thẳng nghiêng với trục hoành một góc $\beta$. Các điểm giao nhau của đường này với các trục tọa độ sẽ cho chúng ta các giá trị mong muốn $d$ và $f$.

A. I. Shapiro

Số lượng phân chia

(Nhiệm vụ nghiên cứu)

Một thước kẻ sinh viên bình thường dài 20 cm (với 19 vạch chia) có đặc tính phổ quát sau: với sự trợ giúp của nó, trong một chiều, bạn có thể đánh dấu bất kỳ đoạn nào có chiều dài 1, 2, 3, …, 20 cm. Thuộc tính này có thể được giữ nguyên nếu một số phần bị xóa. Số cách chia tối thiểu phải còn lại là bao nhiêu (và cách sắp xếp chúng như thế nào) để bảo toàn tính chất phổ quát? bài toán này và những khái quát của nó là chủ đề của nhãn này.

Chúng ta hãy gọi một thước đo có độ dài $n$ với $k$ phép chia phổ quát (hoặc $(n, k)$-phổ quát) nếu nó có thể được sử dụng để vẽ bất kỳ đoạn nào có độ dài 1, 2, …, $n$ trong một chiều. Như vậy, thước học sinh thông thường (20, 19) là thước phổ quát, nhưng cũng có (20, 6) thước phổ quát (xem bên dưới). bài toán chính là tìm số cách chia tối thiểu $k=k(n)$ mà thước đo phổ quát $(n, k)$ tồn tại. Các ước tính sau đây cho $k(n)$ đã được biết (xem «Kvant» 1976, số 12, trang 7):

$$\frac{\sqrt{8n+1}-3}{2} \leq k(n) \leq \sqrt{4n+5}-3. \quad (*)$$

Đối với $n$ nhỏ, số lượng phân chia tối thiểu $k(n)$ có thể được tìm thấy bằng cách liệt kê. Đối với $1 \leq n \leq 13$ các số này lần lượt bằng 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 và đạt được trên các thước sau (các số trong ngoặc vuông biểu thị độ dài của các đoạn giữa các phần chia liên tiếp): [1]; [1, 1], [1, 2], [1, 2, 1], [1, 1, 3], [1, 3, 2], [1, 1, 3, 2], [1, 1, 3, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [