Число делений

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ТЕЛЬНО, их надо откладывать в отрицательном направлении от начала координат (влево или вниз). Может служить, что точка $K$ пересечения всех отрезков, соответствующая фокус линзы, будет иметь отрицательные проекции. Это будет означает, что фокус линзы — минимый, то есть что линза — рассеивающая. Области расположения действительных и минимых предметов и изображений показаны на рисунке 3.

Номографмы можно использовать и для определения линейного увеличения линзы — отношения линейного размера $H$ изображения к линейному размеру $h$ предмета: $\Gamma = H/h = f/d$ (см. § 60 «Физики 10»). Из рисунка 1 видно, что

$$\Gamma = \frac{f}{d} = \text{tg} \beta.$$

Таким образом, изображение может быть увеличенным, уменьшенным или такого же размера, как и сам предмет.

Можно решить и обратную задачу — по заданному увеличению и известному фокусному расстоянию линзы определять расстояния $d$ и $f$. Для этого достаточно построить знакомую нам точку $K$ и проведсти через прямую, наклоненную к горизонтайной оси под углом $\beta$. Точки пересечения этой прямой с осами координат и дадут нам искомые значения $d$ и $f$.

А. И. Шапиро

Число делений

(Задание на исследование)

Объчная двацатисантметровая ученическая линейка (с 19-ю делениями) обладает таким свойством универсальнойности: с ее помощью одним измерением можно отложить любой отрезок длиной 1, 2, 3, …, 20 см. Это свойство может сохраниться, еслистерть часть делений. Какое минимальное число делений необходимо оставить (и как их расположить), чтобы свойство универсальнойности сохранилось? Этот задаче и ее обобщения посвящена данная метка.

Назовем линейку длиной $n$ с $k$ делениями универсальной (или $(n, k)$-универсальной), если с ее помощью можно одним измерением отложить любой из отрезков длиной 1, 2, …, $n$. Так, обчная ученическая линейка (20, 19)-универсальная, но бывают и (20, 6)-универсальная линейка (см. ниже). Основная задача состоит в том, чтобы найти минимальное число делений $k=k(n)$, для которого существует $(n, k)$-универсная линейка. Известны (см. «Квант» 1976, № 12, с. 7) следующие оценки для $k(n)$:

$$\frac{\sqrt{8n+1}-3}{2} \leq k(n) \leq \sqrt{4n+5}-3. \quad (*)$$

Для малых $n$ минимальное число делений $k(n)$ можно найти перебором. При $1 \leq n \leq 13$ эти числа соответственно равны 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 и достигаются на следующих линейках (числа в квадратных скобках указывают длины отрезков между последовательными делениями): [1]; [1, 1], [1, 2], [1, 2, 1], [1, 1, 3], [1, 3, 2], [1, 1, 3, 2], [1, 1, 3, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 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