Номограммы в геометрической оптике

20

идеального холодильника он равен (рис. 2)

$$\eta_{\text{x max}} = \frac{Q_2}{A} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_2}{T_1 - T_2} = \frac{1 - \eta_{\text{max}}}{\eta_{\text{max}}}$$

Заметим, что, как следует из этой формулы, холодильный коэффициент может быть большей единицы.

А теперь нетрудно доказать, как можно использовать холодильник для отапливания помещения в холодное время года — для этого холодильную камеру нужно вывести на улицу (а все остальные части «агрегата» оставить в комнате!)! Тогда, совершив работу $A$ (отображ энергию у электрической сети) и забав с улицы количество теплоты $Q_2$, мы передаем в комнату количество теплоты $Q_1 = A + Q_2 > A$. Понято, что никакого протиоречия с законом сохранения энергии нет — дополнительная энергия в виде теплы отбирается от холодного нагружного воздуха.

Холодильная машина, работающая таким образом, и называется «тепловым насосом», поскольку тепл «перекачается» снаружи вовнутрь комнаты. В результате работы теплового насоса в помещении становится теплее, а на улице — еще холоднее (последний эффект, конечное же, совершенноеничен). КПД теплового насоса $\eta_{\text{h}}$ определяется отношением получаемого помещением количество теплоты к необходимой для этого внешней работе. В идеальном случае он равен

$$\eta_{\text{h max}} = \frac{Q_1}{A} = \frac{Q_1}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_1}{T_1 - T_2} = \frac{1}{\eta_{\text{max}}}$$

и всегда большей единицы.

В качестве примера рассмотрим случай, когда температура нагружного воздуха $-20^{\circ}\text{C}$ ($T_2 = 253\ \text{K}$), а внутренняя необходимо поддерживать температуру $+20^{\circ}\text{C}$ ($T_1 = 293\ \text{K}$). Тогда

$$\eta_{\text{h}} = \frac{293}{40} \approx 7,3$$

то есть использует электрическую энергию для работы теплового насоса, мы можем получить в семЬ раз больше тепла, чем пользовательным прибором. Разумеется, реализый КПД всегда ниже, к тому же двигаель теплового насоса также превращает в работу не всю потребляемую энергию. Однако все равно использование теплового насоса оказывается в несколько раз болееRENTабельным, чем использование электрического оптике

Из школьного курса физики вы узнали о том, как можно графический решать различные задачи геометрической оптики. Например, чтобы найти положение изображения точного источника света в тонкой лице, достаточно построить ход двух произвольных лучей, выведших из источника и прошедших через линзу.

В этой заметке будет расссказано еще об одном, несколько необучном графическом способе решения подобных задач. При этом на предлагаемых вам рисунках вы не увидите ни световых лучей, ни оптических осей линызы, ни даже самой линызы. О каких же тогда графикахнойой речь?

В математике существует специальный раздел, называемый номографией (от греческих слов пόmos — закон и графо — пищу), в котором изучаются методы построения особых чертежей — номографии. С их помощью можно, например, не произвольно вычислить, получать приближенные

21

решения уравнения или находится приближенные значения интерсоциальных нас функиций. Воспользовемся и мы такой возможностью.

Пусть светашийся предмет находится на расстоянии $d$ от линии с фокусным расстоянием $F$, а его изображение — на расстоянии $f$. Можно показать (это сделано в § 60 «Физики 10»), что эти три величины связаны простым соотношением — формулой тонкой линии:

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}.$$

Заметим, что каждое слагаемое, входящое в формулу, может быть как положительным, так и отрицательным. Если предмет, или его изображение, или фокус линии действительные, величины $d$, или $f$, или $F$ берется со знаком «плюс», в случае же предмет, или изображение, или фокус линии минимые, соответствующие величины считаются отрицательными.

Построим номограмму для формулы линии и показем, как с ее помощью можно решать конкретные задачи.

Изображим на плоскости прямоугольную систему координат $XOY$ (рис. 1). По оси $X$ отложим отрезок $OA$ длиной $d$, а по оси $Y$ — отрезок $OB$ длиной $f$. Пока для определения $d$ и $f$ будет считать положительных отрезков $KM$ и $KN$ через $F$. Из подобия треугольников $AOB$ и $AMK$ следует, что $$\frac{OB}{OA} = \frac{KM}{MA},$$ или $$\frac{f}{d} = \frac{F}{d-F},$$ откуда

легко получается знакомое нам уравнение (*).

Таким образом, мы получили, что длины $d$, $f$ и $F$ построены на чертежке отрезков связи между собой уравнением тонкой линии (вот почему при построении мы используем такие обозначения длин отрезков). А это, в свою очередь, означает, что мы умеем строить номограмму для формулы линии. Действительно, если по горизонтальной оси прямогольной системы координат откладывать расстояния $d$ от предмета до линии, а по вертикальной оси — расстояния $f$ от линии до изображения, то все прямые, соединяющие концы соответствующих отрезков, пересекаются в одной точке (рис. 2). Проекции этой точки на оси координат одинаковы и равны фокусному расстоянию $F$ данной линии.

Как вы знаете, для определения прямой на плоскости достаточно знать всего принадлежащие ей точки. Поэтому с помощью построенной номограммы по известным двум из трех величины $d$, $f$ и $F$ всегда можно графически определить недостающую третью. Так, например, при построении, приведенном на рисунке 1, мы фактически определили фокусное расстояние линии ($F$) по известным расстояниям от линии до предмета ($d$) и от линии до изображения ($f$).

Легко убедиться в том, что предложенный способ годится не только для собственных линии, но и для рассеивающих, а также для любых расположений предмета и изображения относительно линии. Если, например, предмет или изображение минимые, то соответствующие значения $d$ или $f$ являются отрицательными и, следовав-