Задачи М1011—М1015; Ф1023—Ф1027

27

Задачи

M1011—M1015; Ф1023—Ф1027

M1011. Докажите, что для $n$ положительных чисел $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \dots \geq a_n$ выполнены неравенства:
a) $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 \geq (a_1 - a_2 + a_3)^2$;
b) $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 - a_4^2 \geq (a_1 - a_2 + a_3 - a_4)^2$;
b) $a_1^2 - a_2^2 + \dots - (-1)^n a_n^2 \geq (a_1 - a_2 + \dots - (-1)^n a_n)^2$.

Л. Д. Курляндчик

M1012. Докажите, что:
a) на плоскости можно расположить несколько непересекающихся кругов так, чтобы каждый касалсяровно 5 других;
b) число 5 в пункте a) нельзя заменить на 6.

Д. В. Фомин

M1013. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты две точки $M$ и $N$. При параллельные прямые, проходящие через точки $M$, $B$ и $N$, пересекают основание $AC$ в точках $K$, $D$ и $L$. Докажите, что площадь трапеции (или параллелограмма) $KMNL$ не больше площади одного из треугольников $ABD$ и $DBC$ (рис. 1).

В. В. Рождественский

M1014. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — различные попарно взаимно простые натуральные числа. Докажите, что существует бесконечного много таких натуральных $b$, что числа $b + a_1, b + a_2, \dots, b + a_n$ также попарно взаимно просты.

В. Ф. Лев

M1015. Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен $x^4 + x^3 + x^2 + x + 12 = 0$?

С. Л. Манукян

Ф1023. Лампока выит на расстоянии $l_1$ от потолка на высоте $l_2$ от пола. При ее взрыве осолки разлетаются во все стороны с одной и той же по величине скоростью $v$. Найдите радиус круга на полу, в которой попадут осолки. Считать, что удары осолков об потолок абсцилтоно упругие, а об пол — неупругие; до стен осолки не должны.

Ф1024. Оценить изменение давления в парной после того как на раскаленные камни пленули воду из ковша. Предполагается, что вы, хорошего представления явление, может сами задать необходимое

28

Димые величины, выбрать достаточно правильно их числовые значения и получить численный ответ.

Г. В. Меледин

Ф1025. В схеме, приведенной на рисунке 2, сверхпроводашие катушки имеют одинаковые индикативности $L$, диод $D$ идеальный, начальный заряд конденсатора емкостью $C$ равен $Q_0$. Постройте графики изменения заряд $Q(t)$ конденсатора и токов $I_1(t)$ и $I_2(t)$ через катушки после замыкания ключа $K$.

Е. И. Бутиков

Ф1026. Горизонтальная плоскка, на которой лежит брусок, выбрирует по гармоничскому закону с частотой $f=10$ Гц в направлении, составляющем угол $\alpha=45^\circ$ с вертикалью (рис. 3). Коэффициент треня бруска о площадку $\mu=0,5$. При какой минимальной амплитуде выбричей брусок «поползет» по площадке?

Е. И. Бутиков

Ф1027. Источник света находится на расстоянии $l=1$ м от экрана. В экране направив источника сделано отверстие диаметром $d=1$ см. Как изменится поток света через отверстие, если между экраном и источником помещить прорачный цилиндр из материалов с показателем преломления $n=1,5$ так, как показано на рисунке 4 (длина цилиндра $l=1$ м, диаметр $d=1$ см; источник находится на оси цилиндра)?

А. И. Бутков

Problems

M1011—M1015; P1023—P1027

M1011. Prove the following inequalities for any $n$ positive numbers $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq ... \geq a_n$:

a) $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 \geq (a_1 - a_2 + a_3)^2$;
b) $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 - a_4^2 \geq (a_1 - a_2 + a_3 - a_4)^2$;
c) $a_1^2 - a_2^2 + ... - (-1)^n a_n^2 \geq (a_1 - a_2 + ... - (-1)^n a_n)^2$.

L. D. Kurlyandchik

M1012. Prove that a) it is possible to choose several disks on the plane so that each touches exactly 5 others and no two disks have common inner points; b) the number 5 in a) cannot be replaced by 6.

D. V. Fomin

M1013. The points $M$ and $N$ are chosen on sides $AB$ and $BC$ of triangle $ABC$. Three parallel lines, passing through $M, B$ and $N$ intersect $AC$ at points $K, D$ and $L$. Prove that the area of the trapezoid (or parallelogram) $KMNL$ is larger than that of one of the triangles $ABC$ and $DBC$ (see figure Pис. 1).

V. V. Rojdestvenski

M1014. The natural numbers $a_1, a_2, ..., a_n$ are pairwise relatively prime. Prove that there exists an infinite set of natural numbers $b$ such that the numbers $b + a_1, b + a_2, ..., b + a_n$ are also pairwise relatively prime.

V. F. Lev

M1015. Can the polynomial $x^4 + x^3 + x^2 + x + 12$ be factorized into polynomials with integer coefficients?

S. L. Manukian