XX Всесоюзная олимпиада по математике

49

XX Всегоозная олимпиада по математике

Кандидат физико-математических наук В. В. ВАВИЛОВ,
кандидат физико-математических наук С. В. РЕЗНИЧЕНКО,
кандидат физико-математических наук И. Н. СЕРГЕЕВ

С 24 по 29 апреля на родине В. И. Ленина в г. Ульяновске проходил заключительный тур XX Всегоозной математической олимпиады школьников, посвященной 275-летию со дня рождения М. В. Ломоносова. В 1982 году Ульяновск был организатором заключительного тура Всегоозской физико-математической и химической олимпиады школьников, и вот теперь город удостоен чести провести юбилейную Всегоозную математическую олимпиаду. В заключительной туре XX олимпиады приняли участие команды 14 союзных ресурсников, по одной команде от четырех зон РСФСР, команды Москвы и Ленинграда, школь Минстерства путей сообщения, семи специальизированных ресурсников физико-математических школ, а также команда г. Ульяновска — организатора олимпиады. Всего в олимпиаде участвовал 163 школьника: 46 восемиклассников, 58 девятиклассников и 59 десятиклассников, в том числе 27 призеров XIX Всегоозной олимпиады.

С момента прибития в Ульяновск члены и руководителей команд были окружены заботой и вниманием хозяйств олимпиады. На регистрации участвников олимпиады телло приветствовали члены организатора, на память об олимпиаде каждому члену команды и руководителю были вручены юбилейная медаль, традиционный знаок, программа олимпиады, суверны. От Академии педагогических наук СССР каждому участнику вручалась библиотечка литературы по математике. На всех мероприятий олимпиады сопровождают комиссары — ученки 9-х классов школ города, работники области отдела народного образования, учитель школ и преподавателя вузов.

Торжественное открытие XX Всегоозной математической олимпиады состоялось 24 апреля на территории Ленинскогоemoryпала. Сначала у памятника В. И. Ленину была проведена торжественная линейка, участники олимпиады возложили цветы. С привствием и пожеланиями успехов к юным математикам обратился заветом науки и учебных заведений при Ульяновском обоме КПСС А. Л. Кругликов. Затем под звуки оркестра колонна участвников олимпиады направилась в Ленинскийemoryпал, где в Большом зале состоялась торжественная церемония открытия олимпиады. Перед участниками выступили секретарь Ульяновского областного комитета партии В. Н. Сверкалов, зам. председателя Центрального оркестра Всегоозной олимпиады М. Н. Тамбиева, зам. председателя жюри олимпиады, доктор физико-математических наук А. В. Штраус. С пожеланиями успехов к своим друзьям-соперникам обратились победители XVIII и XIX Всегоозных олимпиад. Завершилось торжественное открытие концертом художественной самоодеятельности, который в честь участвников олимпиады, руководителей команда и членов жюри для лучшие творческие коллективы школ города.

Следующие два дня — 25 и 26 апреля — были самых трудными для участвников олимпиады, ведь в каждой из этих дней они должны были решить по 4 конкурсные задачи. Приятное отметить, что участвники олимпиады в целом успешно справились с предложенными задачими.

Нелегкими оказались дни олимпиады для членов жюри, работавшего под руководством академика АН УССР Б. В. Гнеденко. Ведь вскатые сроки нужно было организовать проверку большого числа работ, проведении анализes предложенных решений (многие из которых были весьма оригиналы и часто неизвестны жюри) и разбор задачи с обслужением типичных ошибок для участвников олимпиады и ру-

51

точек образуют центры окружности, описанных около треугольника ABC, если точка A пробегает первую окружность?

В. Чиник

4. На плоскости dan правильный шестугольник. Каждый его сторона разделена на 1000 равных частей, и точки деления соединены отрезками, параллельными сторонам шестугольника. Выберем какие-либо три узла полученной сетки, являющиеся вершинами правильного треугольника, и окрасим их. Будем продолжать окращивать таким способ тройки узлов до тех пор, пока это возможно. Докажите, что если неокрашенным остатся один узел, то он не может быть вершиной исходного шестугольника.

С. Дужин

10 класс

1. Найдите все натуральные числа, каждое из которых равно квадрату числа всех своих делителей.

В. Ивлев

2. Докажите, что для любых положительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ выполнен неравенство
   $$\frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_1 + a_2} + \frac{3}{a_1 + a_2 + a_3} + \dots + \frac{n}{a_1 + a_2 + \dots + a_n} < 4\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}\right).$$

Л. Курляндчик

3. Через вершину A треугольника ABC, в котором AB≠AC, проведется различные прямые. Докажите, что любая из них может содержать не более одной точки M, отличной от вершин треугольника и удовлетворяющей условию $\angle ABM = \angle ACM$. Определите, какие из расматриваемых прямых не содержат ни одной точки.

О. Мусин

4. Куб с ребром длиной n, n≥3, состоит из $n^3$ единичных кубков. Докажите, что в каждом из этих кубков можно записать по целому числу так, чтобы все $n^3$ чисел были различными, а суммы чисел в любом ряду, параллельном какому-либо ребру куба, равнялись нулю.

Ю. Нестеренко, И. Сердеев

Второй день

8 класс

5. Дессятчная запись натурального числа a состоит из n одинаковых цифр x, числа b — из n одинаковых цифр y, а числа c — из 2n одинаковых цифр z. Для любого n≥2 найдите все такие цифры x, y, z, для которых $a^2 + b = c$.

В. Василов

6. Внутри выпуклого двенадцатугольника даны две точки, расположенные на расстоянии 10 см друг от друга. Для каждой из этих точки нашли сумму расстояний от нее до вершин двенадцатугольника. Докажите, что полученные суммы расположются менее чем на 1 м.

Н. Нечетаев

7. Молоко разлит по 30 стаканам. Малчик пытается добиться, чтобы во всех стаканах молока стало поровну. Для этого он берет любые два стакана и отливает молоко из одного в другой до тех пор, пока количество молока в них не уравняется. Можно ли разить молоко по стаканам так, чтобы молчик не смог добиться своего целлю, сколько бы долго он ни занимался переливанием?

Ю. Нестеренко, И. Сердеев

8. Некоторые прямогольник разделен примыми, параллельными сторонам, на квадратном порядке в белый и черный цвет. Диагональ прямогольника разбилась на белые и черные отрезки. Найдите отношение суммы длины белых отрезков к сумме длины черных отрезков, если размер прямогольника: a) 100×99; 6) 101×99.

А. Берзиньш

9 класс

5. На плоскости dan правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$. a) Докажите, что если n — четное число, то для произвольной точки M плоскости в выражении $\pm \vec{MA}_1 \pm \vec{MA}_2 \pm \dots \pm \vec{MA}_n$ можно так выбрать знаки «плюс» и «минус», что полученная сумма будет равна 0.6) Докажите, что если n — нечетное число, то указанное выражение с помощью выбора знаков «плюс» и «минус» можно обратить в 0 только для конечного числа точки M плоскости.

С. Рукшин

6. См. задач № 8, пункт 6) для 8 класса.

7. Клетки квадратной таблицы размером $n \times n$ заполняются числа ±1 по следующим правилам:

1. во все граничные клетки таблицы помещаются числа —1;

2. число, помещаемое в очередную независимую клетку таблицы, равно произведению ближайших к этой клетке чисел, расположенных по разные сторонам от нее и лежащих или в одной строке с ней, или в одном стольце с ней. Так делается до тех пор, пока все пустые клетки таблицы не будут заполнены.

a) Какое наиболее количество +1 может получить в таблице?

6. Какое наиболее количество +1 может получить в таблице?

Н. Азаханов

8. Докажите, что для каждой натурального n справедливо heravенство $|\sin 1| + |\sin 2| + \dots + |\sin (3n-1)| + |\sin 3n| > \frac{8}{5} n$.

В. Берзиньш

10 класс

5. Докажите, что сумма всех чисел вида $\frac{1}{mn}$, где m, n — натуральные числа и 1≤m<n≤1986, не является целым числом.

Д. Митькин

6. Около окружности радиусом 1 описаны квадрат и треугольник. Докажите, что площадь общей части квадрата и треугольника больше 3,4. Можно ли утверждать, что эта площадь больше 3,5?

К. Букин

7. Многочлен p(x) называет допустимым, если все его коэффициенты равны 0,1,2 или 3. Для данного натурального n найдите число всех допустимых многочленов, удовлетворяющих p(2)=n.

Д. Флаас

8. Рассмотрим все тетради АXBY, описанные около данной сферы. Докажите, что при фиксировании точках A и B сумма углов протракственной четырехугольника AXBY, то есть величины
   $\angle AXB + \angle XBY + \angle BYA + \angle YAX$,
   не зависит от выборки X и Y.

И. Шарыzin