Решения задач М991—М995; Ф1003—Ф1007

29

PROBLEMS" and the numbers of all the solved problems; in your letter enclose an uns-tamped selfaddressed envelope — we shall use it to send you the correction results. At the end of the academic year we sum up the results of the Kvant problem contest. If you have an original problem to propose for publication, please send it to us under separate cover, in two copies (in Russian or in English), including the solution. On the envelope write NEW PROBLEM IN PHYSICS (or MATHEMATICS). Please print your name and address in BLOCK LETTERS.

P1023. A lamp hangs at the distance $l_1$ from the ceiling and $l_2$ from the floor. When it explodes, fragments fly in all directions with the same speed $v$. Find the radius of the circle on the floor within which they fall. You may assume that the collisions with the ceiling are absolutely elastic and those with the floor absolutely inelastic; no fragments reach the walls.

P1024. Estimate the variation of pressure in a sauna after water from a jar is splashed on very hot rocks placed inside the sauna. It is assumed that you are familiar with the phenomenon and can find the appropriate parameters, choose reasonable numerical values for them, so as to obtain a numerical answer.

G. V. Meledin

P1025. In the circuit shown on figure Pisc. 2, the coils with the same inductivity $L$ are superconducting, the diode $D$ is ideal, the initial charge of the capacitor is $Q_0$. Plot the dependence of the charge $Q(t)$ of the capacitor, and the currents $I_1(t)$ and $I_2(t)$ flowing through the coils, after the switch $K$ in turned on.

E. I. Butikov

P1026. A flat horizontal surface, on which a slab is placed, vibrates according to the harmonic law with frequency $f = 10$ Herz in a direction constituting an angle of $\alpha = 45^\circ$ with the vertical (see figure Pisc. 3). The friction coefficient of the slab against the surface is $\mu = 0.5$. For what minimal amplitude of vibration will the slab start to “creep” along the surface?

E. I. Butikov

P1027. A light source is placed at the distance of $l = 1$ m from a screen. An aperture of diameter $d = 1$ cm is made in the screen opposite the source. How will the flow of light through the aperture change, if a smooth transparent cylinder made of material of refraction index $n = 1.5$ is placed between the screen and the source as shown on figure Pisc. 4 (the length of the cylinder is $l = 1$ m, its diameter is $d = 1$ cm; the source is on the cylinder’s axis).

A. I. Butikov

Решения задач

M991—M995; Ф1003—Ф1007

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $MNH$. Докажем, что $OK = OH$, то есть что $O$ лежит на серединном перпендикуляре $l$ к отрезку $KH$. Примяем $l$ проходит через точку $S$ — общую середину медианы $CK$ и средней линии $PQ$ треугольника $ABC$ (см. рисунок), следовательно, является серединным perpendicularом и к $PQ$, поэтому достаточно доказать, что $OP = OQ$ или что $\angle OPQ = \angle OQP$.

Точки $M$ и $H$ лежат на окружности $\omega$ с диаметром $AC$ и центром $P$ ($\angle AMC = \angle AHC = 90^\circ$), поэтому $PM = PH$; кроме того, $OM = OH$. Следовательно, примяем $OP$ perpendicularна отрезку $MH$ (и делит его пополам), а значит, $\angle OPQ$ — угол между прямыми $OP$ и $PQ$ — равен $90^\circ - \beta$, где $\beta$ — угол между прямыми $MH$ и $PQ$ или $MH$ и $AB$ ($AB \parallel PQ$). Возможны два случая: $\beta = \angle AHM$, если $\angle AHM \leq 90^\circ$, как на нашем рисунке, или $\beta = 180^\circ - \angle AHM$, если $\angle AHM > 90^\circ$. Поскольку углы $AHM$ и $ACM$ в окружности $\omega$ и опираются на одну и ту же хорду $AM$, они равны или дотwo в сумме $180^\circ$, поэтому либо $\beta = \angle ACM$, либо $\beta = 180^\circ - \angle ACM$ — выбирается то из равенств, для которого $\beta \leq 90^\circ$. При таком выборе

30

всегда получается, что $\angle OPQ = 90^\circ - \beta = |90^\circ - \angle ACM|$. Аналогично, $\angle OQP = |90^\circ - \angle BCN|$. Но $\angle ACM = \angle BCN$ по условию.

Заметим, что при $E = B, F = A$ из доказанного утверждения следует часть известной теоремы об «окружности 9 точки» (см. «Калейдоскоп «Кванта» в 11-м номере за 1985 год): основания высот и середины сторона треугольника лежат на одной окружности.

**M992. Среди 90 выпускников одной математической суммации у каждой не менее 10 других. Доказите, что выпускник может прилагать в гости трех других так, что среди четырех公积 не менее двух других.

M993*. a) Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат натурального числа.
б)* Доказите, что при $2 < n < 11$ не существует n последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат.

Пусть $A$ — произвольный выпускник. Достаточно показать, что найдется такой выпускник $B$, который другит одновременно с двумя друзьями $A$ (тогда $A$ может пригласить $B$ и эти двух друзей).

Если такой выпускник $B$ есть среди друзей $A$ — все в порядке. В противном случае каждый из $m(m \geqslant 10)$ друзей $A$ другит не менее чем с 8 выпускниками (не считая $A$), которые сами с $A$ не другат. Если бы все эти выпускники были различны, то получилось бы, что имеется не менее чем $8m \geqslant 80$ выпускников, отличных от $A$ и его друзей; но количество таких выпускников не превыходит $90 - m - 1 \leqslant 79$. Это означает, что какие-то две друзей $A$ имеют общего друга $B$, что и требовалось доказать.

a) Ответ: 18, 19, …, 28 $(18^2 + 19^2 + \dots + 28^2 = 77^2)$.
6) Мы должны показать, что уравнение $(x + 1)^2 + (x + 2)^2 + \dots + (x + n)^2 = y^2$ или
$$nx^2 + n(n + 1)x + \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = y^2$$
(1)

не имеет решений в целых числах $x$ и $y$, $x \geqslant 0$, $y \geqslant 1$, при $3 \leqslant n \leqslant 10$. (Здесь использовано известное доказательство $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6$, доказательство которого мы оставляем читателю; впрочем, достаточно проверить его вычислением для $n \leqslant 10$.)

Если равенство (1) выполняено, то остаток от деления $y^2$ на $n$ равен остатку от деления $a = n(n + 1)(2n + 1)/6$ на $n$. Но при $n = 3, 4, 9$, когда соответствующие остатки равны 2, 2 и 6 ($a = 14, 30$ и 15·19), это невозможно ни при каком $y$ (см. таблицу на полях).

При $n = 5$ и $n = 7$ число $a$ делится на $n$, поэтому число $y^2$, а следовательно, и $y$ делено делится на $n$ ($n$ — простое). Полягая $y = nz$, $t = x + (n + 1)/2$, мы можем переписать наше уравнение в виде $t^2 + (n^2 - 1)/12 = z^2$ или
$$z^2 - t^2 = \frac{n^2 - 1}{12}.$$
No это уравнение при допустимых значениях $n$, $t$ и $z$ не имеет решений, поскольку
$$z^2 - t^2 \geqslant z + t \geqslant 2t \geqslant 6,$$
$$\frac{n^2 - 1}{12} \leqslant \frac{7^2 - 1}{12} = 4.$$
При $n = 6$, 8, 10 уравнение (1) удобно переписать в виде

31

$$(n+1)x^2+(n+1)nx+(n+1)\frac{n(2n+1)}{6}=x^2+y^2.$$

Отсюда при $n=6$ получаем, что $x^2+y^2$ должно делиться на $n+1=7$. Таблица на полях показывает, что это возможно, лишь когда $x$ и $y$ одновременно делятся на 7. Но в этом случае все члены уравнения (2) кроме одного $-(n+1)n(2n+1)/6=7\cdot 13$ — должны делиться на $(n+1)^2=49$, чего не может быть. Точно так же доказывается, что и при $n=10$ нашей уравнение не имеет решений. Наконец, при $n=8$ влевой части (2) стоит число, которое при делении на 9 дает остаток 6 и, как видно из нашей таблицы, не может быть представлено в виде $x^2+y^2$.

♦

Ответ: $k=2/3$. При $a=b=c$ и $k=2/3$ данное неравенство обращается в равенство, поэтому искочное значение $k$ не может быть больше 2/3. Но при $k=2/3$ можно с помощью тождественных преобразований привести неравенство к виду
$$\frac{1}{6}\left(\frac{5}{2}((a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2)+(a^2-bc)^2+(b^2-ca)^2+(c^2-ab)^2\right)\geq 0,$$
следовательно, оно справедливо при всех $a, b, c$ и искочное значение $k$ в точности равно 2/3.

♦

M994*. При каком наиболее значении $k$ неравенство $a^4+b^4+c^4+abc(c+b+c)\geq k(ab+bc+ca)^2$ выполняено при всех значениях $a, b$ и $c$?

M995. Функция $y=f(x)$ при всех $x$ определяна, непрерывна и удовлетворяет условию $f(f(x))=f(x)+x$. ()
a) Найдите две такие функции $f$ (не равные тождественно 0). б) Доказите, что других таких функций нет.

a) Ответ: $y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}x$ и $y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}x$. Найти эти функции можно, предположив, что $f(x)=\lambda x$, подставив эту функцию в условие
$$\lambda^2x=\lambda x+x$$
и решив квадратное уравнение $\lambda^2-\lambda-1=0$ (корни этого уравнения равны $(1\pm\sqrt{5})/2$).
6) Как видно из решения задачи a), достаточно показать, что любая функция $f$, удовлетворяющая условию задачи, имеет вид $f(x)=\lambda x$. Для этого установим сначала неокоторые свойства функции $f$.

1. $f(0)=0$. (Пусть $f(0)=c$, тогда $f(c)=f(f(0))=f(0)+0=c$, следовательно, $f(c)=f(f(c))=f(c)+c$, то есть $c=0$.)
2. В разных точках функция $f$ принимает разные значения. (Если $f(x_1)=f(x_2)$, то $f(f(x_1))=f(f(x_2))$, то есть $f(x_1)+x_1=f(x_2)+x_2$ и $x_1=x_2$.) В частности, $f$ имеет единственный корень $x=0$.
   Из этих свойств и непрерывности функции $f$ следует, что:
3. на каждой из получений $x>0$ и $x<0$ функция $f$ сохраняет знак, причем при переходе через нуль ее знак меняется (иначе близкие к нулю значения $f$ будут приниматься по крайней мере дважды — справа и слева от точки $x=0$) и
4. функция $f$ имеет обратную функцию $g$ (определенную, конечно, на области значений $f$; ниже мы видим, что $f$ принимает все действительные значения).

Положим $f_0(x)=x$, $f_1(x)=f(x)$, $f_2(x)=f(f(x))$, …