Bài toán M1021—M1025; F1033—F1037

Kvant 1987, số 1 tr. 15, 16, 18, 20, 21, 22 Thẻ VBNS

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Bài toán

M1021. Một người leo núi muốn leo lên một tảng đá cao 1000 m. Sau khi cắm trại dưới chân tảng đá, anh ta có thể leo lên bằng dây thừng với tốc độ 40 mét một giờ và sau một sợi dây lạnh trên tảng đá - 30 mét một giờ. Anh ta leo lên sợi dây đã hoàn thành với tốc độ 400 mét một giờ. Hỏi anh ta có thể lên đến đỉnh trong bao nhiêu ngày nếu làm việc trên tảng đá (bao gồm cả việc leo dây) 6 giờ một ngày? (Thời gian hạ cánh và các hoạt động khác đang chờ xử lý.)
M1022. 8 số tự nhiên đầu tiên có thể xếp thành hai hàng sao cho tổng các số ở hàng trên bằng tổng các số ở hàng dưới, tổng các số ở các cột cũng bằng nhau. Có thể sắp xếp theo cách tương tự để vượt quá a) mười, 6) mười hai số tự nhiên không?

| 1 | 4 | 6 | 7 |
| :— | :— | :— | :— |
| 8 | 5 | 3 | 2 |

c) Với những số tự nhiên $n$ nào thì các số từ 1 đến $2n$ có thể sắp xếp được như sau?

M1023. Trong 100 hình tam giác, có phải luôn có ít nhất một hình có thể bao phủ hoàn toàn 99 hình còn lại không?

G. A. Gurevich

M1024*. Chứng minh rằng với hai tam giác bất kỳ có các góc $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ và $\alpha_1$ , $\beta_1$ , $\gamma_1$ thì bất đẳng thức
$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} \leq \text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta + \text{ctg} \gamma.$
R. P. Ushakov

M1025*. Hai đường thẳng đi qua một và giao điểm kia của các phần kéo dài của các cạnh đối diện của một tứ giác lồi cắt tứ giác đó thành bốn tứ giác nhỏ hơn. Chứng minh rằng nếu viết được các đường tròn thành hai không có cạnh chung thì đường tròn đó có thể viết thành tứ giác ban đầu.

I. F. Sharyzin

F1033. Một khối có bán kính $R$ sẽ được cắt ngang bằng một sợi dây mềm đồng nhất có khối lượng $m$ và chiều dài $l$ , gắn vào hai tiếng hét trên trần nhà nằm ở khoảng cách $2R$ (hình 1). Trên trục của khối có tải trọng, khối lượng của tải trọng đó cùng với khối là $M$ . Không có lực căng giữa dây và khối. Tìm lực căng nhỏ nhất của dây.

V. I. Chuvilev

F1034. Một mol khí lý tưởng từ trạng thái ban đầu 1 có nhiệt độ $T_1=100$ K, giãn nở qua tuabin thành một bình rỗng, thực hiện một số công và chuyển sang trạng thái 2 (hình 2). Quá trình chuyển đổi này xảy ra mà không cần cung cấp hoặc loại bỏ nhiệt. Sau đó, khí được nén trong quá trình $2 \rightarrow 3$ , trong đó áp suất là hàm tuyến tính của thể tích, và cuối cùng, trong quá trình đẳng tích $3 \rightarrow 1$ , khí trở về trạng thái ban đầu. Tìm công mà khí thực hiện trong quá trình giãn nở qua tuabin trong quá trình chuyển tiếp $1 \rightarrow 2$ , nếu trong quá trình $2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ khí cuối cùng được cung cấp nhiệt $Q = 72$ J. Từ-

hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Vui lòng viết họ và tên của bạn bằng chữ in hoa.

Diagram of a pulley system

Hình 1. Hình 2.
Hình 3.

Chúng tôi đã xuất bản các bài toán về cuộc thi của Kvant hàng tháng kể từ số đầu tiên của tạp chí của chúng tôi. Đây là những vấn đề không chuẩn, nhưng cách giải của chúng không đòi hỏi thông tin nào nằm ngoài phạm vi giáo trình trung học của Liên Xô. Những bài toán khó hơn được đánh dấu sao (*). Sau khi trình bày vấn đề, chúng ta thường chỉ ra ai đã đề xuất vấn đề đó cho chúng ta. Không cần phải nói cũng biết rằng không phải tất cả những vấn đề này đều là những ấn phẩm đầu tiên. Giải pháp cho vấn đề này (bằng tiếng Nga hoặc tiếng Anh) có thể được đăng không muộn hơn ngày 15 tháng 3 năm 1987, tới địa chỉ sau: Liên Xô, Moscow, 103006. Moscow K-6, st. Gorky, 31/1, Kvant. Vui lòng gửi lời giải của các bài toán vật lý và toán học, cũng như các bài toán từ các bài toán khác nhau, dưới bìa riêng; trên phong bì ghi dòng chữ: “VẤN ĐỀ CỦA KWANT” và số của tất cả các bài toán đã giải được; trong thư của bạn bao gồm mọi thứ $T_2=T_3$ , $V_2=3V_1$ ; hằng số khí $R=8,31$ J/(mol K).

A. A. Sheropov

F1035. Một lưỡng cực điện gồm hai điện tích điểm ghép cứng $+q$ và $-q$ , nằm cách nhau một khoảng $l$ , quét một tụ điện phẳng, các bản tụ của tụ điện này được nối với nguồn có suất điện động $\epsilon$ (hình 3). Xác định tốc độ của lưỡng cực tại tâm tụ điện nếu biết tốc độ của nó ra xa tụ điện là $v_0$ . Khoảng cách giữa các bản của tụ điện là $d$ , khối lượng của lưỡng cực là $m$ . Bỏ qua lực hấp dẫn.

A. V. Shelazin

F1036. Hai sợi dây đàn hồi giống nhau có độ cứng $k=10^4$ N/m được gắn vào một vật có khối lượng $m=20$ g nằm trên sàn nhẵn nằm ngang. Một sợi dây được gắn vào tường, đầu tự do của sợi thứ hai bắt đầu bị kéo theo phương ngang với tốc độ $v=10$ m/s. Sợi nào sẽ đứt nếu mỗi sợi chỉ đứt ở độ giãn dài tuyệt đối $\Delta l_{\text{np}}=5$ cm? Giả sử rằng định luật Hooke đúng cho đến khi chúng đứt; không có đào tạo.

E. P. Sokolov

F1037. Một lỗ nhỏ được tạo ra trong một quả cầu rỗng, qua đó xuất hiện một lỗ bên trong có độ giãn dài tuyệt đối là $\Delta l_{\text{np}}=5$ cm? Giả sử rằng định luật Hooke đúng cho đến khi chúng đứt; không có đào tạo.

Problems
M1021—M1025; P1033—P1037

M1021. A mountain climber intends to go up a sheer rock wall of 1000 m. After spending a warm night in camp near the wall’s base, he climbs up, hanging up ropes, with vertical velocity 40 m per hour. After a cold night on the wall itself, his velocity decreases to 30 m per hour. When the ropes are already hanging, he climbs 400 m per hour. How many days will he take to reach the top if he is able to work 6 hours a day on the wall. (The time for climbing down and other operations is negligible).

M1022. The first 8 natural numbers may be written in two rows (see the table on p. 15) so that the sum of numbers in the upper row equals that in the lower one, and the column sums are also equal to each other. Can the first a) ten, b) twelve natural numbers be arranged in this way?

c) For what natural $n$ can the numbers 1 to 2n be arranged this way?

M. I. Shterenberg

M1023. Is it always possible to find one triangle among any 100 which can be covered entirely by the other 99?

G. A. Gurevich

M1024*. Prove that for any two triangles with angles $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ and $\alpha_1$ , $\beta_1$ , $\gamma_1$ the following inequality holds

$\frac{\cos \alpha_1}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta_1}{\sin \beta} + \frac{\cos \gamma_1}{\sin \gamma} \leq \text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta + \text{ctg} \gamma.$

R. P. Ushakov

M1025*. Two straight lines, passing each through one of two different intersection points of the extended sides of a convex quadrilateral, divide it into four lesser quadrilaterals. Show that if circles can be inscribed into two of them (not having a common

thao tác tương tự được lặp lại với một trong ba đống kết quả và cứ như vậy cho đến khi tất cả các đống đều chứa một viên đá. Tổng số 1000 tác phẩm được ghi lại là bao nhiêu?

M1003. Cho tam giác ABC có ba đường cao AH, BK, CL. Chứng minh đẳng thức AK·BL·CH = A·L·BH·CK = HK·KL·LH.

Đường thẳng l chứa đỉnh B hoặc C. Trong trường hợp này, rõ ràng các điểm cần tìm không nằm trên đường thẳng đó (∠ABM chỉ có thể bằng ∠ACM khi M=A).
Điểm B và C nằm cùng phía với l (hình 1). Khi đó từ đẳng thức ∠ABM=∠ACM suy ra các điểm A, B, C, M cùng thuộc một đường tròn, nghĩa là M là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng l, khác A. Điểm l không tồn tại nếu đường thẳng l tiếp xúc với đường tròn ABC. Đối với tất cả các đường thẳng khác được xét ở đây có một điểm M duy nhất.
Điểm B và C nằm ở hai phía đối diện của l. Cho B₁ là một điểm đối xứng với B đối với l. Nếu nó không nằm trên đường thẳng AC (hình 2), thì tam giác ABC có thể được thay thế bằng AB₁C (∠ABM=∠AB₁M cho tất cả các điểm M của đường thẳng l), và B₁ và C đã nằm cùng phía với l. Bây giờ, từ những gì đã nói ở trường hợp 2), suy ra rằng trên bất kỳ đường thẳng l nào cũng có nhiều nhất một điểm bắt buộc, và hơn nữa, những điểm này không chỉ tồn tại khi l chạm vào đường tròn ngoại tiếp tam giác AB₁C. Hãy để tôi là một dòng như vậy (hình 3).

Theo sizhal, vận động viên A bắt đầu di chuyển về phía đông với tốc độ $v_0=1\text{m}/\text{c}$ , và vận động viên B bắt đầu di chuyển về phía nam với gia tốc không đổi. Xác định gia tốc này nếu biết nút B buộc trên dây đi qua điểm Γ trong quá trình chuyển động (thang đo được biểu thị ở hình).

Diagram

F1014. Máy granito mots, có tác dụng giải phóng tín hiệu, được cố định trên bệ báo động, được thổi bằng không khí, nhiệt độ của nó là 30 °C. hình hiển thị sự phân bố nhiệt độ tại địa điểm. Xác định công suất tiêu tán. Được biết, một tấm được làm nóng đồng đều đến 70 °C sẽ tiêu tán năng lượng $P=10\text{Bt}$ ở nhiệt độ không khí 20 °C. Đầu ra Telo tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa tấm và không khí.

Chia đĩa thành các phần nhỏ giống hệt nhau (có 130 phần như vậy trong hình). Rõ ràng là công suất $P$ tiêu tán bởi tấm bằng tổng công suất $\sum p_i$ tiêu tán trên từng phần riêng lẻ.

Công suất được mang đi từ mỗi phần bằng

$p_i = p_0 \cdot \Delta t_i,$

trong đó $\Delta t_i$ là chênh lệch nhiệt độ giữa khu vực và không khí, $p_0$ là hệ số tỷ lệ. Được biết, ở nhiệt độ không khí $t_{B1}=20\text{°C}$ , năng lượng $P=10\text{Bt}$ được mang ra khỏi tấm, được làm nóng đồng đều đến $t_1=70\text{°C}$ . Trong trường hợp này, cùng một công suất được mang đi từ mỗi phần

$p = \frac{P}{130} = p_0(t_1 - t_{B1}).$

Từ đây xuất hiện $p_0$ :

$p_0 = \frac{P}{130(t_1 - t_{B1})} = \frac{10}{130 \cdot 50} \text{Bt/град} = 1,54 \cdot 10^{-3} \text{Bt/град}.$

chúng ta sẽ giả sử rằng nhiệt độ của các khu vực nằm giữa các đường đẳng nhiệt 60 °C và 70 °C bằng 65 °C (đối với các khu vực này Δt = 35 °C), giữa các đường đẳng nhiệt 60 °C và 50 °C - 55 °C (Δt = 25 °C), v.v. Khi đó, tổng công suất tiêu tán của tấm có thể được tính như sau:
$P_1 \approx 1,54 \cdot 10^{-3} (45 \cdot 4 + 35 \cdot 17 + 25 \cdot 30 + 15 \cdot 60) + 5 \cdot 20) Bt = 1,54 \cdot 10^{-3} \cdot 2525 Bt \approx 3,9 Bt.$
Để đánh giá độ chính xác của kết quả này, bạn có thể xem kết quả bị ảnh hưởng như thế nào khi không xóa các ước tính nhiệt độ của các “thùy” của tấm. Hãy lấy nhau 65 °C - 67,5 °C, cùng 55 °C - 57,5 °C, v.v. Sau đó
$P_{\text{верх}} \approx 1,54 \cdot 10^{-3} (47,5 \cdot 4 + 37,5 \cdot 17 + 27,5 \cdot 30 + 17,5 \cdot 60 + 7,5 \cdot 20) \approx 4,4 Bt.$
Chúng ta có thể ước tính ngay lập tức bằng cách lấy nhiệt độ được ghi lại:
$P_{\text{низж}} \approx 1,54 \cdot 10^{-3} (42,5 \cdot 4 + 32,5 \cdot 17 + 22,5 \cdot 30 + 12,5 \cdot 60 + 2,5 \cdot 20) \approx 3,4 Bt.$
Vì thế,
$P_1 = (3,9 \pm 0,5) Bt.$
Tất nhiên, chúng tôi đã đánh giá quá cao khả năng không xóa được các định nghĩa về nhiệt độ. Tuy nhiên, bạn cần hiểu rằng tạp chất này không phải là nguyên nhân duy nhất (và không phải là quan trọng nhất) dẫn đến sai sót trong tính toán của chúng ta. Điều kiện bài toán được lý tưởng hóa; nó không tính đến sự đối lưu không khí, điều này làm thay đổi kết quả rất nhiều.

A. R. Zilberman

F1015. Mạch điện ở hình hình chứa 50 ampe khác nhau và 50 vôn kế giống hệt nhau. Số chỉ của vôn kế thứ nhất là $U_1=9,6$ V, ampe thứ nhất là $I_1=9,5$ mA, ampe thứ hai là $I_2=9,2$ mA. Sử dụng những dữ liệu này, xác định tổng số đọc của tất cả các vôn kế.

Dòng điện chạy qua ampe $A_1$ bằng tổng dòng điện chạy qua vôn kế $V_1$ và ampe $A_2$ , tức là.
$I_1 = I_{V1} + I_2;$
do đó, dòng điện chạy qua vôn kế $V_1$ là
$I_{V1} = I_1 - I_2 = 0,3 \text{ мА},$
và điện trở của vôn kế -
$R = \frac{U_1}{I_{V1}} = \frac{9,6}{0,3 - 10^{-3}} \text{ Ом} = 32 \text{ кОм}.$
Theo điều kiện bài toán, tất cả các vôn kế đều giống nhau, tức là điện trở của mỗi vôn kế là 32 kOhm.

Hãy viết tổng điện áp được hiển thị bởi tất cả các vôn kế:
$\sum_{i=1}^{50} U_{Vi} = \sum_{i=1}^{50} I_{Vi} R = R \sum_{i=1}^{50} I_{Vi}.$
Nhưng $\sum_{i=1}^{50} I_{Vi} = \text{это ток, текущий через амператор } A_1$ , tức là
$\sum_{i=1}^{50} I_{Vi} = I_1.$ Pozotomu
$\sum_{i=1}^{50} U_{Vi} = RI_1 = 304 \text{ В}.$
A. R. Zilberman

F1016. Một lõi sắt từ có khối lượng $M=0,01$ kk có thể được hút tự do vào cuộn dây. Katush-

Khi lõi sắt từ được hút vào cuộn dây thì độ chỉ thị của cuộn dây sẽ thay đổi. Trong trường hợp này, định luật cảm ứng điện từ được viết như sau:

Ku được nối với nguồn có điện áp $U = 100$ V và có dòng điện chạy qua nó, được hiển thị trên biểu đồ ở hình. Tính độ tự cảm ban đầu của cuộn dây. Bỏ qua tổn hao, tìm vận tốc của lõi tại thời điểm $\tau = 10^{-3}$ s.

$\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d(LI)}{dt} = U.$

Ở đây $L$ là độ tự cảm của cuộn dây, tùy theo thời gian, $I$ là dòng điện trong cuộn dây, cũng phụ thuộc vào thời gian. Đó là lý do tại sao

$\frac{d(LI)}{dt} = I \frac{dL}{dt} + L \frac{dI}{dt} = U.$

Trong khoảng thời gian đầu, khi lõi chưa chuyển động, ta có thể coi độ tự cảm không thay đổi. Khi đó $\frac{dL}{dt} = 0$ và phương trình (*) có dạng

$L_0 \frac{dI}{dt} = U,$

trong đó $L_0$ là độ tự cảm ban đầu của cuộn dây. Từ biểu đồ, chúng ta thấy rằng trong khoảng thời gian này $\frac{dI}{dt} = 10^6 \frac{A}{c}$ . Kể từ đây,

$L_0 = \frac{100 \text{ B}}{10^6 \text{ A/c}} = 10^{-4} \text{ Гн.}$

Giá trị $L_0$ đủ nhỏ để có thể bỏ qua trong tương lai (đặc biệt là vì hiện tại, như có thể thấy từ biểu đồ, thay đổi rất ít trong tương lai). Do đó, đối với $t > 10^{-5}$ с, phương trình (*) có dạng sau:

$I \frac{dL}{dt} = U.$

Điều này cho thấy $L$ sẽ kéo dài theo thời gian, vì $U = 100 \text{ B} = \text{const}$ và $I = 10 \text{ A} = \text{const}$ :

$L = \frac{U}{I} t.$

Hiện tại $t = \tau = 10^{-3}$ s

$L_\tau = \frac{100}{10} \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 10^{-2} \text{ Гн.}$

Hãy tìm tốc độ của lõi tại thời điểm này. Bỏ qua tổn thất, ta viết định luật bảo toàn năng lượng:

$\frac{mv^2}{2} + L_\tau \frac{I^2}{2} = IU\tau,$

trong đó $IU\tau$ là công của nguồn trong thời gian $\tau = 10^{-3}$ s, $L_\tau I^2/2$ là năng lượng điện từ của cuộn dây, $mv^2/2$ là động năng của lõi sắt từ. Từ đây chúng ta tìm thấy $v$ :

$v = \sqrt{\frac{2IU\tau - L_\tau I^2}{m}} = 10 \text{ м/c.}$

Về lời giải cái bài toán này cần phải đưa ra một vài nhận xét. bài toán này đề cập đến cái gọi là bài toán “ước tính”, trong đó, theo quy luật, một số đại lượng được chỉ định gần đúng hoặc phải được tìm thấy từ biểu đồ, những đại lượng khác phải được tìm thấy gần đúng, bỏ qua một số đại lượng nhỏ. Trong bài toán này, chúng tôi đã không tính đến điện trở hoạt động của nguồn, tổn thất trong lõi do dòng điện Foucault; họ đã không tính đến rằng dòng điện trong lõi sau lần nhảy đầu tiên sẽ không đổi theo thời gian mà sẽ ít hơn một chút; và tất nhiên, chúng ta chưa xét đến quá trình chuyển từ độ tự cảm nhỏ sang độ tự cảm lớn. Chính xác lời giải trong số bài toán này là khó đạt được; tuy nhiên, ước tính của chúng tôi gần với giá trị thực.

V.E. Nồi chiên