Задачи М1021—М1025; Ф1033—Ф1037

15

Задачи

M1021. Аллпинист хочет подняться на скалу высотой 1000 м. После почевки в лагере у подножья скалы он может подниматься, нашевая вервку, со скоростью 40 метров в час, а после холодной вервки на скале — 30 метров в час. По готовой вервке он поднимается со скоростью 400 метров в час. За сколько дней он сможет достичь вершины, если будет работать на скале (включая подъем по вервке) 6 часов в день? (Временем спуска и других операций претенбрец.)
M1022. Первые 8 натуральных чисел можно расставить в две строки так, что сумма чисел в верхней строке равна сумме чисел в нижней, а суммы чисел в столбцах также равны между собой. Можно ли расставить подобным образом перевысить a) десять, 6) двенадцать натуральных чисел?

| 1 | 4 | 6 | 7 |
| :— | :— | :— | :— |
| 8 | 5 | 3 | 2 |

в) При каких натуральных $n$ можно расставить таким образом числа от 1 до $2n$?

M1023. Всегда ли из 100 треугольников найдется хотя бы один такой, что его можно целиком покрыть остальных 99?

Г. А. Гуревич

M1024*. Докажите, что для любых двух треугольников с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$ выполнен неравенство
$$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} \leq \text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta + \text{ctg} \gamma.$$
Р. П. Ушаков

M1025*. Две прямые, проведенные через одну и другую точку пересечения продолжей противоположных сторон выпukлого четырехугольника, разрезают его на четыре меньших четырехугольника. Докажите, что если в два из них, не имеющие общей стороны, можно писать окружности, то и в исходный четырехугольник можно писать окружность.

И. Ф. Шарыzin

Ф1033. Через блок радиусом $R$ перекинит однородный гибкий канат массой $m$ и длиной $l$, прикрепленный к двум крикам на потолке, расположенным на расстоянии $2R$ (рис. 1). На оси блока высит груз, масса которого вместе с блоком $M$. Треннее между канатом и блоком отсутствует. Найти минимальную силу натяжения каната.

В. И. Чувилёв

Ф1034. Моль идеального газа из начального состояния 1 с температурой $T_1=100$ К, расширясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в состояние 2 (рис. 2). Этот переход происходит без подвода либо отвода теплла. Затем газ сжимают в процессе $2 \rightarrow 3$, в котором давление является линейной функцией объема, и наконец, в изохорическом процессе $3 \rightarrow 1$ газ возвращается в исходное состояние. Найти работу, совершенную газом при расширении через турбину в переходе $1 \rightarrow 2$, если в процессе $2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ газу в итоге подведено $Q = 72$ Дж теплла. Из-

16

или «… новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школа и класс, в котором вы учитесь. Фамилию и имя пишите, пожалуйста, печатными буквами.

Diagram of a pulley system

Pис. 1. Pис. 2.
Pис. 3.

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than March 15th 1987, to the following address: USSR, Moscow, 103006. Москва К-6, ул. Горького, 31/1, Квант. Please send the solutions of physics and mathematics problems, as well as problems from different issues, under separate cover; on the envelope write the words: “KWANT’S PROBLEMS” and the numbers of all the solved problems; in your letter enclose everything, что $T_2=T_3$, $V_2=3V_1$; газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль·К).

А. А. Шеропов

Ф1035. Электрический диополь из двух жестко связанных точчных зарядов $+q$ и $-q$, расположенных на расстоянии $l$ друг от друга, пропетает плоский конденсатор, пластины которого подключены к источнику с ЭДС $\epsilon$ (рис. 3). Определите скорость диополя в центре конденсатора, если известно, что его скорость вдали от конденсатора равна $v_0$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, масса диополя $m$. Силой тяжесте пренебречь.

А. В. Шелазин

Ф1036. К телу массой $m=20$ г, лежащему на гладком горизонтальном полу, привязаны две одинаковые упругие нити жесткости $k=10^4$ Н/m. Одна нить прикреплена к стене, свободный конец второго нити начинают тянуть в горизонтальном направлении со скоростью $v=10$ м/c. Какая нить порвется, если разрыв каждой нити проискодит при абсолютном удлининии $\Delta l_{\text{np}}=5$ см? Считать, что закон Гука выполняется для нитей вплоть до их разрыва; треня нет.

Е. П. Соколов

Ф1037. В полой сфере проделано маленькое отверстие, через которой внутри проискодит при абсолютном удлининии $\Delta l_{\text{np}}=5$ см? Считать, что закон Гука выполняется для нитей вплоть до их разрыва; треня нет.

Problems
M1021—M1025; P1033—P1037

M1021. A mountain climber intends to go up a sheer rock wall of 1000 m. After spending a warm night in camp near the wall’s base, he climbs up, hanging up ropes, with vertical velocity 40 m per hour. After a cold night on the wall itself, his velocity decreases to 30 m per hour. When the ropes are already hanging, he climbs 400 m per hour. How many days will he take to reach the top if he is able to work 6 hours a day on the wall. (The time for climbing down and other operations is negligible).

M1022. The first 8 natural numbers may be written in two rows (see the table on p. 15) so that the sum of numbers in the upper row equals that in the lower one, and the column sums are also equal to each other. Can the first a) ten, b) twelve natural numbers be arranged in this way?

c) For what natural $n$ can the numbers 1 to 2n be arranged this way?

M. I. Shterenberg

M1023. Is it always possible to find one triangle among any 100 which can be covered entirely by the other 99?

G. A. Gurevich

M1024*. Prove that for any two triangles with angles $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ and $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$ the following inequality holds

$$\frac{\cos \alpha_1}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta_1}{\sin \beta} + \frac{\cos \gamma_1}{\sin \gamma} \leq \text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta + \text{ctg} \gamma.$$

R. P. Ushakov

M1025*. Two straight lines, passing each through one of two different intersection points of the extended sides of a convex quadrilateral, divide it into four lesser quadrilaterals. Show that if circles can be inscribed into two of them (not having a common

18

та же операция повторяется с одной из трех полученных кучи и так далее, пока во всех кучах не станет по одному камню. Чему равяется сумма 1000 записанных произведений?

M1003. В треугольнике ABC проведены три высоты AH, BK, CL. Доказите равенства AK·BL·CH = A·L·BH·CK = HK·KL·LH.

Пусть углы при вершинах A, B, C данного треугольника равны соответственно α, β, γ. Тогда AK=AB|cos α|, AL=AC|cos α| (знак модуля предусматривает случайную угла α; см. рис. 1, 2), следовательно, треугольник AKL подобен треугольнику ABC с коэффициентом |cos α| и KL=BC|cos α|. Подставляя в равенства из условия задачи эти выражения и анализа), 6) Расмотрим три случай расположения прямой l, проходящей через A.

1. Прямая l содержит вершину B или C. В этом случае, очевидно, искомых точек на ней нет (∠ABM может равнять ∠ACM только при M=A).

2. Точка B и C лежат по одному сторону от l (рис. 1). Тогда из равенства ∠ABM=∠ACM следует, что точки A, B, C и M лежат на одной окружности, то есть M есть отличная от A точка пересечения описанной окружности треугольника ABC с прямой l. Такой точки не существует, если прямая l касается окружности ABC. Для всех остальных рассматриваемых здесь прямых точки M существует и единственная.

3. Точка B и C лежат по разные стороны от l. Пусть B₁ — точка, симметричная B относительно l. Если она не лежит на прямой AC (рис. 2), то треугольник ABC можно заменить на AB₁C (∠ABM=∠AB₁M для всех точки M прямой l), причем B₁ и C лежат уже по одному сторону от l. Тепер из сказанного в случае 2) следует, что на любой прямой l имеется не более одной искомой точки, и более того, этих точек нет только тогда, когда l касается описанной окружности треугольника AB₁C. Пусть l — такая прямая (рис. 3).

20

По сизhalу спортмен А начинает движаться на восток со скоростью $v_0=1\text{m}/\text{c}$, а спортмен В — на юг с постояным ускорением. Надите это ускорение, если известно, что узел В, завязанный на шнуре, при движении прощел через точку Γ (масштаб указана на рисунке).

Diagram

Ф1014. Моцный гранитор, выделяющий телло, закреплен на теллоотводящей площадке, обдуваемой воздухом, температура которого равна 30 °C. На рисунке показано распределение температур на площадке. Определите рассеиваемый мощность. Известно, что равномерная нагрета до 70 °C пластина рассеивает мощность $P=10\text{Bt}$ при температуре воздуха 20 °C. Теллоотдача пропорциональна разности температур пластины и воздуха.

Разобъем пластину на одинаковые маленькие участки (на рисунке таких участков 130). Понятно, что мощность $P$, рассеиваемой пластиной, равна сумме $\sum p_i$ мощностей, рассеиваемых отдельными участками.

Мощность, которая уносится с каждой участка, равна

$$p_i = p_0 \cdot \Delta t_i,$$

где $\Delta t_i$ — разность температур участка и воздуха, $p_0$ — коэффициент пропорциональности. Известно, что при температуре воздуха $t_{B1}=20\text{°C}$ с пластины, равномерно нагретий до $t_1=70\text{°C}$, уносится мощность $P=10\text{Bt}$. При этом с каждой участка уносится одна и та же мощность

$$p = \frac{P}{130} = p_0(t_1 - t_{B1}).$$

Отсюда находится $p_0$:

$$p_0 = \frac{P}{130(t_1 - t_{B1})} = \frac{10}{130 \cdot 50} \text{Bt/град} = 1,54 \cdot 10^{-3} \text{Bt/град}.$$

21

будем считать, что температура участков, лежащих между изотермими 60 °C и 70 °C, равна 65 °C (для этих участков Δt=35 °C), между изотермими 60 °C и 50 °C — 55 °C (Δt=25 °C), и т. д. Тогда полную мощность, рассеиваемого пластиной, можно найти так:
$$P_1 \approx 1,54 \cdot 10^{-3} (45 \cdot 4 + 35 \cdot 17 + 25 \cdot 30 + 15 \cdot 60) + 5 \cdot 20) Bt = 1,54 \cdot 10^{-3} \cdot 2525 Bt \approx 3,9 Bt.$$
Для оценки точности этого результата можно посмотреть, как влияет на результат неочистить оценки температуры «долей» пластины. Возьмем вместе 65 °C — 67,5 °C, вместе 55 °C — 57,5 °C и т. д. Тогда
$$P_{\text{верх}} \approx 1,54 \cdot 10^{-3} (47,5 \cdot 4 + 37,5 \cdot 17 + 27,5 \cdot 30 + 17,5 \cdot 60 + 7,5 \cdot 20) \approx 4,4 Bt.$$
Оценку сразу получим, взяв записенные температуры:
$$P_{\text{низж}} \approx 1,54 \cdot 10^{-3} (42,5 \cdot 4 + 32,5 \cdot 17 + 22,5 \cdot 30 + 12,5 \cdot 60 + 2,5 \cdot 20) \approx 3,4 Bt.$$
Итак,
$$P_1 = (3,9 \pm 0,5) Bt.$$
Конечно, мы сильно «завысили» возможность неочистить определения температуры. Однако нужно понимать, что эта неочистность — не единственная (да и не самая важная) причина погрешностей нашего расчета. Условие задачи идеализировано, оно не учитывает конвекции воздуха, которая сильно меняет результат.

А. Р. Зильберман

Ф1015. Схема, приведенная на рисунке, содержит 50 разных амператоров и 50 одинаковых волтметров. Показания первого волтметра $U_1=9,6$ В, первого амператора — $I_1=9,5$ мА, второго амператора — $I_2=9,2$ мА. Определите по этим данным сумму показаний всех волтметров.

Ток, текущий через амператор $A_1$, равен сумме токов, текущих через волтметр $V_1$ и амператор $A_2$, т. е.
$$I_1 = I_{V1} + I_2;$$
следовательно, ток, текущий через волтметр $V_1$, равен
$$I_{V1} = I_1 - I_2 = 0,3 \text{ мА},$$
и сопротивление волтметра —
$$R = \frac{U_1}{I_{V1}} = \frac{9,6}{0,3 - 10^{-3}} \text{ Ом} = 32 \text{ кОм}.$$
По условиям задачи все волтметры одинаковые, т. е. сопротивление каждого из них 32 кОм.

Записем сумму напряжения, показываемых всеми волтметрами:
$$\sum_{i=1}^{50} U_{Vi} = \sum_{i=1}^{50} I_{Vi} R = R \sum_{i=1}^{50} I_{Vi}.$$
Но $\sum_{i=1}^{50} I_{Vi} = \text{это ток, текущий через амператор } A_1$, т. е.
$$\sum_{i=1}^{50} I_{Vi} = I_1.$$ Позотому
$$\sum_{i=1}^{50} U_{Vi} = RI_1 = 304 \text{ В}.$$
А. Р. Зильберман

Ф1016. В катушку может свободно втяиваться ферромагнитный сердечник массой $M=0,01$ кк. Катуш-

При втяивания ферромагнитного сердечника в катушку меняется индиктивность катушки. В этом случае закон электромагнитной индукции должен быть записан следующим образом:

22

Ку подключаил к источнику с напряжением $U = 100$ В, и через нее протек tok, показанный на графике на рисунке. Оцените начальный индуктивность катушки. Пренебрегая потерями, найдите скорость сердечника в момент $\tau = 10^{-3}$ с.

$$\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d(LI)}{dt} = U.$$

Здесь $L$ — индуктивность катушки, зависимости от времени, $I$ — ток в катушка, который также зависит от времени. Поэтому

$$\frac{d(LI)}{dt} = I \frac{dL}{dt} + L \frac{dI}{dt} = U.$$

В начальной период, когда сердечник еще не сдивился с места, можно считать, что индуктивность не меняется. Тогда $\frac{dL}{dt} = 0$, и уравнение (*) имеет вид

$$L_0 \frac{dI}{dt} = U,$$

где $L_0$ — начальная индуктивность катушки. Из графика находим, что в этот период $\frac{dI}{dt} = 10^6 \frac{A}{c}$. Следовательно,

$$L_0 = \frac{100 \text{ B}}{10^6 \text{ A/c}} = 10^{-4} \text{ Гн.}$$

Величина $L_0$ достигано мала, чтобы в дальнейшем ее не учитывать (тем более что ток, как видно из графика, в дальнейшем меняется очень мало). Поэтому при $t > 10^{-5}$ с уравнение (*) принимает следующий вид:

$$I \frac{dL}{dt} = U.$$

Отсюда видно, что $L$ будет растяной со временем, поскольку $U = 100 \text{ B} = \text{const}$ и $I = 10 \text{ A} = \text{const}$:

$$L = \frac{U}{I} t.$$

В момент $t = \tau = 10^{-3}$ с

$$L_\tau = \frac{100}{10} \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 10^{-2} \text{ Гн.}$$

Найдем скорость сердечника в этот момент. Пренебрегая потерями, запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{mv^2}{2} + L_\tau \frac{I^2}{2} = IU\tau,$$

где $IU\tau$ — работа источника за время $\tau = 10^{-3}$ с, $L_\tau I^2/2$ — электромагнитная энергия катушки, $mv^2/2$ — кинетическая энергия ферромагнитного сердечника. Отсюда находим $v$:

$$v = \sqrt{\frac{2IU\tau - L_\tau I^2}{m}} = 10 \text{ м/c.}$$

По решению этой задачи необходимо сделать несколько замечания. Эта задача относится к так называемым «оценочным» задачам, в которых как правило, некоторые величины задаются приближительно или их надо найти из графика, другие необходимо найти приближенно, пренебрегая какими-то малыми величинами. В данной задаче мы не учитывали активное сопротивление источника, потеря в сердечнике на токи Фуко; не учитывали, что ток в сердечнике после первого скачка не будет постоянным во времени, а будет немного меньше; ну и конечно, мы не рассматривали переходный процесс от малой индуктивности к большой. Точно решение этой задачи достигано сложно; однако полученные нами оценки близки к реальным величинам.

В.Е. Скороваров