24
НА КРУГИ СВОИ
А что будет, если…
Кандидат физико-математических наук
А. П. САВИН
В детстве я очень любил калейдоскоп.
Глядишь в волшебную трубочку и видшь великоплепную мозку. Небольшой поворот — и новый узор, еще поворот — и опять новый и новый узор.
Когда мне в руки впервые попал кубик Рубика, то мне сначала было интересно просто покрутить его, как раныше я крутил калейдоскоп, полюбаваться возникалошей игрой красок на его гранах. Оdnako бессистемное кручение вскоре мне наскучило. После нескольких часов попыток самостоятельно открыть «резец» собирания кубика я достал номер «Квант» *) и, потратив еще около часа, кубик собран.
Тепер я начал обращаться с кубиком осторожнее, чтобы его можно было легко вернуть в «собранное» положение. Покрутил одну грань раз (рис. 1), еще раз, еще и еще — кубик вновь собран.
А что будет, если вертеть по очереди две соседние грани, скажем, в одну и ту же сторону? Первая-вторая раз, первая-вторая два, первая-вторая три… (рис. 2).В это время я уже знал, что через несколько пар вращей кубик вновь «соберется». У меня начали установить пальцы, я сбивался счета, а кубик все не «собирался».
Лишь после 105 пар вращей кубик собрал свои цвета на гранах.
Но откуда я знал, что такой момент наступит? Просто перед этим я немного порассуждал. Различных положений у кубика хотя и много, но конечное число. Раз так, то он не может всякий раз оказаться в новом положении, рано или поздно появится положение, в котором кубик уже был. Обозначим такое положение буквой A, а «собранное» положение буквой E (рис. 3, с. 27). После пары вращей кубик переходит из состояния A в состояние B, потом из состояния B в состояние C и т. д., пока он снова не очутится в положении A и все снова начинает повторяться. Как говорят математики, положения кубика будут переодически повторяться.
Давайте сформулируем полученный результат, уже отвлекаясь от кубика — объекта, для которого он был получен.
Если объект может находиться в конечном числе состояния и определенна операция, однозначно переодящая какое состояние в новое, то, последовательно применяя эту операцию, получим переодическую повторяющую последовательность состояния объекта.
*) См. «Квант», 1983, № 9, с. 33—36.
25
Это утверждение звучит как закон природы или математическая теорема. На самом деле так оно и есть. Более того, с помощью этого утверждения мы сможем получить очень интересные результаты.
Но сначала законом рассужделяю о кубике Рубика. Заметим еще одну особенность нашей операции: для любого состояния однозначного определения «предыдущее» состояние. А именно, следует повернуть уже в другую сторону сначала вторую, а затем первый грань кубика. Посмотрим на рисунок 4 (с. 27). Двигаясь из положения А «назад», начиная с положенного перьвим положения A, через несколько шагов мы приедем в положение E; значит, и из во второй раз положенного положения A за то же число шагов мы попадем в положение E. Таким образом, между первым и вторым положениями кубика A обязаться нахождение положения E — собственный кубик.
Вот такие рассужделяя промелькули в моей голове перед тем, как я начал вертеть кубик по описанному правилау. Конечно, количество пар врашений могло оказаться очень большим, ведь состоящий у кубика Рубика чрезвычайно много — 43 252 003 274 489 856 000. Я пробовал вертеть грани в разных стороны — первый по часовой стрелке, а второй — против. В этом случае возврашение наступает через 63 пары ходов, а если вертеть по очередной три соседние грани в одну стороны, то цикл замкнется через 80 треек поворотов.
Тот, кто имеет у себя кубик Рубика, может познакомиться с другойми наборами поворотов. Ну а кто его не имеет, берете бумагу, карандаш, и мы начнем экспериментировать с числами. Конечно, не помещал бы и микрокалькулятор или персональный компьютер, но можно обойтись и без них.
Разделим 136 на 11. Кстати, вы знаете признак делимости на 11? Нет? Запомните, это полезно. Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11. В нашем случае (1+6)—3=4, следовательно, 136 на 11 не делится.
А что будет, если мы все-tаки начнем делить уголком? Взгляните на рисунок 5 (с. 26). Нетрудно заметить, что цифры после запятой периодически повторяют. Такая десятичная дробь будет бесконечной и называется перiodической десятичной дробью. Записьается она так: 12, (36) — повторяющийся набор цифр заключается в скобки.
При делении еще каких целых чисел возникают периодические десятичные дроби? Любых, лишь бы делитель был отличен от нуля, при этом будем считать конечную десятиную дробь бесконечной, продолжив ее после последней цифры нулями. Почему? Для доказательства нам будет очень удобно воспользоваться ранее формулированным общим утверждением. В качестве рассматриваемого объекта возьмем разность, стоящую под черту. В нашем примере это сначала будет 2, потом 4, потом 7, снова 4, снова 7 и т. д. Рассмотрим операцию, которую мы проделиваем
26
с этим объektом. Сначала следует приписывать еще одну цифру, потом вычитаем из полученного числа наиболее число, кратное делитель, но не превосходящее этого числа, записываем разность — это и будет преобразованное число.
Сначала операция зависит от делимого, поскольку приписываем цифра зависит от делимого, но через несколько шагов (в нашем случае со второго шага) справа приписывается только нуль. После этого мы попадаем в условия действия формулированного нами закона. Объект — число, оно может находиться в конечном числе состояний: принимаемые целые неотрицательные значения, меньше делителя. Операция определяена, она однозначно переводит одно число в другое. Значит, последовательность получаемых чисел будет перiodически повторяется. Отсюда следует, что и цифры в частином начнут перiodические повторяется. Наше утверждение доказано.
А что будет, если у числа взять сумму его цифр, у полученного числа снова взять сумму его цифр и т. д.? Складем, для числа 1987 все ясно:
1987→25→7→7→7→…
А для других чисел? Нетрудно заметить, что всякое число больше суммы своих цифр (исключение составляют лишь однозначные числа), поэтому после применения операции взяття суммы цифр число будет уменьшаться до тех пор, пока оно не станет однозначным, а однозначное число при нашей операции переходит в равное ему число. Таким образом мы получили доказательство перио-дичности (с периодом 1) получаем последовательности, начиная с некоторого места.
А какое число будет при этом повторяться? На этот вопрос легко ответить, не выписывая саму последовательность. Это будет остаток от деления первогочального числа на 9, если само число не делится на 9, и 9, если оно делится на 9. Почему? По признаку делимости на 9. Правда, вы знаете его в «урезанном» виде: «для того чтобы число делилось на 9, нужно, чтобы сумма его цифр делилась на 9». Оdnako имеет место более сильное утверждение: само число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9.
Тепер ясно, что у каждой следующого числа будет тот же остаток при делении на 9, что и у начального. Среди однозначных чисел все имеют разные остатки при делении на 9, кроме 0 и 9, но у числа, отличного от нуля, сумма цифр также отлична от нуля. Отсюда и следует нашей утверждение. Перiodический последовательность с периодом 1 называют последовательностью с неподвижной точкой.
А что будет, если у числа быть не сумму цифр, а сумму квадратов цифр? Снова попробем для числа 1987 (рис. 7). Получили, что периодические будет повторяться последовательность 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89.
Возьемем число 133 (рис. 8). Здесь «неподвижная точка» — это 1 (период последовательности равен 1).
Но обязательно ли при проедуре взяття суммы квадратов цифр возникнет периодические последовательности? А если да, то какие?