Московский физико-технический институт

53

Московский физико-технический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. На координатной плоскости расположены точки A(3; 1) и B(-2; 4). Найдите координаты точки C, лежащей на биссекtrice I и III координатных углов и одинаково удаленной от точки A и B.

2. Решите неравенство
   $$\sqrt{9x + \frac{1}{2x+1}} \cdot (9 - 25x^2) \ge 0.$$

3. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
   $$(1-a) \mathrm{tg}^2 x - \frac{2}{\cos x} + 1 + 3a = 0$$
   имеет более одного решения на интервале $0; \frac{\pi}{2}$.

4. Длина стороны AB параллелограмма ABCD равна 2, $BAD = 45^\circ$. Точки E и F расположены на диагонали BD, причем $AEB = CFD = 90^\circ$, $BF = \frac{3}{2}$ BE. Найдите площадь параллелограмма.

5. Длина ребра основания правильно треугольной парамиды SABC (S — вершина) равна 8. Точки K и L расположены на ребрах AB и AC соответственно, причем AK=7, AL=4. Известно, что для данной парамиды существует единственный конус, вершина которого совпадает с точкой K, центр осования лежит на прямой SC, а отрезок KL является одной из образующих. Найдите объем конуса.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\sqrt{\log \sqrt{x} (5x)} \cdot \log_5 x = -2.$$

2. Точка D лежит на стороне BC прямого треугольника ABC ($C = 90^\circ$), причем $AB = 5$, $ADC = \arccos \frac{1}{\sqrt{10}}$, $DB = \frac{4\sqrt{10}}{3}$. Найдите площадь треугольника ABC.

3. Решите систему уравнений
   $$\sin x = \sin 2y,$$
   $$2 \sin (4x+8y) \sin (3x+10y) + 5 \cos (7x+2y) = 4.$$

4. Длина высоты правильно четырехугольной парамиды SABCD (S — вершина) в $\sqrt{3}$ раз больше длины ребра осования. Точка E — середина апофемы грани ASB. Найдите угол между прямой DE и плоскостью ASC.

5. Для каждого числа p на координатной плоскости расматривается множество M всех точек, координаты (a; b) которых удовлетворяют условиям a>0, b>0, a+b>1, 3ap < bp+2p^2 и таковы, что система уравнений
   $$\begin{cases} px^2 + 2xy + y^2 = b^2, \\ 3x + y = a \end{cases}$$
   не имеет решений.

a) Найдите площадь многоугольника, внутриней области которого является многоугольник, если p = $\frac{21}{5}$.

6. Найдите все действительные p, при которых многоугольство M является внутриней области многоугольника.

Физика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Чашкаружинных весов массой $m_1$ совершает вертикальное гармоничное колесание с амплитудой A (рис. 1). Когда чашка находится в крайнем нижнем положении, на нее положили груз массой $m_2$. В результате колесания прекратили. Определите первоначальный период колесаний чашки.

2. Два теллоизолюрованных баллона соединены трубкой, перекрытой вентилием. В первом баллоне объемом $V_1 = 500$ л находится $m_1 = 16,8$ кг азота под давлением $p_1 = 3 \cdot 10^6$ Pa; во втором баллоне объемом $V_2 = 250$ л находится $m_2 = 1,2$ кг аргона под давлением $p_2 = 5 \cdot 10^5$ Pa. Какие давление и температура установятся в баллонах, если открыть ventilль? Теплоемкость моля азота $C_1 = 5/2$ R, его молярная масса $M_1 = 28$ г/моль; теплоемкость моля аргона $C_2 = 3/2$ R, молярная масса $M_2 = 40$ г/моль; газовая постоянная $R = 8,31$ Дж/(моль·К).

3. По вертикальным проводящим рельсам в полеяжесте может скольнуть без трения контакт массой m и длиной l. Рельсы замкнуты на идеальную катушку с индуktиновостью L и находится в горизонтальном магнитном поле, перепедикулярном плоскости рисуна 2. Вначале контакт поддерживается в покое внешней силой. В некоторых момент времени внешняя сила убирается, и контакт начинает двигаться вниз с нулевой началь-