О столкновении шаров и «серьёзной» физике

4

Удара шары разделяются под некоторыми углами $\theta$ и $\beta$ к направлению первого направления шара $m_1$. На рисунке 1 треугольник $ABC$ образован векторами импульсов $\vec{p}_1 = m_1 \vec{v}_1$, $\vec{p}'_1 = m_1 \vec{v}'_1$ и $\vec{p}'_2 = m_2 \vec{v}'_2$ ($\vec{p}_2 = 0$) — такое геометрическое представление закона сохранения импульса в нашей задаче. Примення теорему косинусов к треугольнику $ABC$, получаем:

$$(m_1 v_1)^2 = (m_2 v_2)^2 - (m_1 v_1)^2 + 2 m_1^2 v_1 v_1 \cos \theta.$$

(1)

Закон сохранения энергии в данном случае, очевидно, можно записать в виде

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_1 (v_1')^2}{2} + \frac{m_2 (v_2')^2}{2}.$$

(2).

В системе двух уравнений (1)—(2) входят три неизвестные величины: $v_1', v_2'$ и $\theta$, поэтому выразить их независимо друг от друга нельзя. Однако если задается конкретным значением угла $\theta$ — его называют углом рассеяния, — то путем несложных преобразований можно выразить скорость $v_1'$ как функцию этого угла:

$$v_1' = v_1 \frac{m_1 \cos \theta - \sqrt{m_2^2 - m_1^2 \sin^2 \theta}}{m_1 + m_2}.$$

Отсюда нетрудно найти и относительное изменение кинетической энергии шара $m_1$:

$$\frac{|\Delta T|}{T_1} = \frac{m_1 v_1^2 - m_1 (v_1')^2}{m_1 v_1^2} = \frac{2}{\left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)^2} \left(\frac{m_2}{m_1} + \sin^2 \theta + \cos \theta \sqrt{\left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2 - \sin^2 \theta}\right).$$

(3)

Проанализируем полученное решение для простейшего случая любого стольновения шаров ($\theta = 0$ или $\theta = \pi$). При $m_1 \ll m_2 \Delta T \rightarrow 0$; это означает, что шар $m_1$ отскакивает от шара $m_2$ в направлении, противоположном первоначальному ($\theta = \pi$), so скорость, по абсцилотной величине равной $v_1$. При $m_1 \gg m_2$ также $\Delta T \rightarrow 0$; в данном случае стольновение с шаром $m_2$ практически не влияет на движение шара $m_1$ ($\theta = 0$). Во всех промежуточных случаях $\Delta T \neq 0$. Следовательно, при некоторых отношениях $m_2/m_1$ величины $\Delta T$ достигает максимума. Простой расчет показывает, что максимум $\Delta T$ соответствует условиям $m_2/m_1 = 1$.

На рисунке 2 приведены кривызисимости относительной изменения кинетической энергии первого шара от величины $m_2/m_1$ для нескольких углов рассеяния. Видно, что для различных $\theta$ кривы несколько различаются, но у всех у них есть

8

(в левой части уравнения, отражающей состояние системы фoton — электрон до взаимодействия, учтено, что электрон обладает энергийной покоя $m_0 c^2$). Эти уравнения позволяют найти величины комптоновского смесения $\Delta \lambda$ для данного угла рассеяния $\theta$. Учитывая, что $v = c / \lambda$, $v' = c / \lambda' = c / (\lambda + \Delta \lambda)$, из (4) и (5) получаем:

$$\Delta \lambda = \frac{h}{m_0 c} (1 - \cos \theta).$$

(6)

О чем говорит этот результат? Прежде всего, величина $\Delta \lambda$ оказывается не зависящей от $\lambda$ и определяется только углом рассеяния $\theta$ иfundamentali-mи постоянными $m_0$, $c$ и $h$). Из формулы (6) к тому же ясно, почему эффект Комптона практически не наблюдается для фotonов видимого света. Если дляRENTеновской области относение $\Delta \lambda_{\max} / \lambda$ ($\Delta \lambda_{\max} = 2h / m_0 c$) при рассеянии на угол $\theta = \pi$ составляет несколько процентов (для $\lambda = 10^{-10} \text{m}$ $\Delta \lambda_{\max} / \lambda = 5 \cdot 10^{-2}$), то для видимого света $\Delta \lambda_{\max} / \lambda$ очень мало (для $\lambda = 5 \cdot 10^{-7} \text{m}$, например, $\Delta \lambda_{\max} / \lambda \approx 10^{-5}$). С другой стороны, из формулы (6) следует, что $\Delta \lambda / \lambda$ должно возрасти при перехождение отRENTеновского к $\gamma$-излучению. Это подтверждается наблюдаемыми:

*) Величина $\Lambda = h / (m_0 c)$, равная для электрона $2,42 \cdot 10^{-12} \text{m}$, получила название комптоновской длины волны. Она играет важную роль в современной теоретической физике.

γ-динапазоне $\Delta \lambda_{\max} / \lambda > 1$. Формула для $\Delta \lambda$ объявляется и тот факт, что комптоновское смесение не зависит от природы рассеиваателя: рассеяние происходит на электронах — частицах, входящих в состав всех веществ.

Можно понять и изменения относительной интенсивности смесенной и несмещенной компонент при смесе рассеиваателя. Начиные несмещений компоненты обусловлено рассеиением изменения не свободными электронами, а электронами, сильно связанных с ядрами атомов. В этом случае рассеяние происходит так, как будто фoton сталькивается не с электроном, а с частицей газадо большей массы, по порядку величины равной массе ядра. Отсюда следует, что $\Delta \lambda$ ничего мало (см. (6)). Чем больше порядковый номер элемента, тем больше долю в общем числе электронов составляют «массивные» электроны, вседействие чего относительной интенсивность несмещенной компоненты растет.

Итак, теория Комптона хорошо обязывала основные черты обнаруженного эффекта. Не следует, однако, думать, что она была встречена единоудушным одобренем. Учены в своих воспоминаниях рассказал об одном эпизоде, хорошо отражаемо отношение ученого мира к открытию молодо-

9

го американца. В 1924 году на ежегодной встрече ученых английских стран, где присутствовали такие известные физики, как Резерфорд, Брэгг и другие, вокруг работы Комптона разгорелсь столбцовления дискссия, что пунктальные англичане однajжды даже пожертвовали обеденным перерывом ради ее продолжения. И все же после встречи к Комптону подошел известный индиский физик Ч. Раман и сказал: «Комптон, вы прекрасный спорщик, но правда не на вашей стороне». По иронии судьбы через три года Раман оказался одним из авторов открытия еще одного вида рассеяния, при котором меняется часть излучения, — так называемого комбинационного рассеяния света *).

Лишь с течение времена теория Комптона, подтвержденная результатами многочисленных экспериментов, завоевала признание.

Эффект Комптона сыгral важную роль в становлении квантовой теории излучения. Заслужги его первооткрытия были отмечены присуждением Нобелевской премии по физике за 1927 год. Воспследствие ученыы выяснили, что этот факт имеет важное значение для астрофизики. Было установлен, что в космосе наблюдается не только примой эффект Комптона, о котором шла речь выше, но и так называемое обратное рассеяние. По бесконечным простом Вселенной движется множество очень быстрых электронов, которые могут стalkивать с фотонами. Диаграмма импульсов для таких стalkовенной может выглядеть так же, как и рисуне 5, но направления всех импульсов необходимо сменить на обратные. В результате стalkовения электрон останавливается (или почти останавливается), а импульс и, следовательно, энергия фотона уvelичивается. Таким образом, при обратном комптоновском рассеянии происходит уменьшение длины волны фотона, а не возрастание, как в прямом эффекте.

В чем отличие?

Прежде чем закончить разговор об эффекте Комптона, заданным вопро-
*) Независимо от Рамана комбинационное рассеяние было открыто и объясенно советским физиками Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштом.