О задаче Пифагора

13

имеет вид
$$y = k(x + 1),$$
где $k$ — угловой коэффициент прямой.
Таким образом, координаты точки $(x_2; y_2)$ будут удовлетворять системе уравнения
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = k(x + 1). \end{cases}$$
Решим эту систему относительно $x$ и $y$. Подставляя значение $y = k(x + 1)$ из второго уравнения в первое уравнение системы, получим
$$x^2 + k^2(x + 1)^2 = 1,$$
или
$$(1 + k^2) \cdot x^2 + 2k^2 \cdot x + k^2 - 1 = 0.$$
Если $x$ удовлетворяет последнему уравнению, то $x$ является абсциссой точки пересечения прямой $y = k(x + 1)$ с окружностью $K$, т. е. либо $x = x_1 = -1$, либо $x = x_2$. Из теоремы Виета следует, что
$$x_1 + x_2 = -\frac{2k^2}{1 + k^2},$$
откуда
$$x_2 = \frac{1 - k^2}{1 + k^2}.$$
Поскольку точка $(x_2; y_2)$ лежит на прямой $y = k(x + 1)$,
$$y_2 = \frac{2k}{1 + k^2}.$$
Посление две формулы каждой числу $k$ ставят в соответствие точку
$$(x_2; y_2) = \left(\frac{1 - k^2}{1 + k^2}; \frac{2k}{1 + k^2}\right),$$
лежащую на окружности $x^2 + y^2 = 1$. Обратно, каждой точке $(x; y) \neq (-1; 0)$, лежащей на окружности $K$, соответствует одно и только одно значение углового коэффициента $k$:

$$k = \frac{y}{x + 1}.$$

Заметим здесь, что если $k$ — рациональное число, то точка $(x_2; y_2)$ определяем формулой (6), имеет рациональные координаты, и обратно, если $x_2$ и $y_2$ рациональные, то в силу формулы (7) $k$ рациональное. Таким образом,

между точками с рациональными координатами окружности единного радиуса (за исключением точки $(-1; 0)$) и рациональными точками вещественного прямой установлен взаимно однозначное соответствие.

Заставляя величины $k$ пробегать все рациональные значения интервала от $-\infty$ до $+\infty$, мы переберем все точки с рациональными координатами на окружности $K$ единного радиуса (за исключением точки $(-1; 0)$) и тем самым найдем все примитивные решения задачи Пифогора.

Приведем соответствующие формулы. Пусть $k = p/q, q > 0$, НОД $(p, q) = 1$. Тогда из формулы (6) следует, что

$$\left(x_2; y_2\right) = \left(\frac{q^2 - p^2}{q^2 + p^2}; \frac{2pq}{q^2 + p^2}\right).$$

Мы вновь получили, по существу, формулы (*)! Чтобы получить тот же результат в точности, осталось немного повозиться с четырьмя.

В случае разной четности $p$ и $q$ формула () соответствует примитивной пифогородной тройке $(a, b, c) = (q^2 - p^2, 2pq, q^2 + p^2)$. Если же $p$ и $q$ одновременно нечетные, то, переходя к новым переменным $q_1 = (q + p)/2, p_1 = (q - p)/2$, НОД $(p, q) = 1$, получим $q^2 + p^2 = 2(q^2 + p^2), q^2 - p^2 = 4p_1q_1, 2pq = 2(q^2 - p^2)$. После сокращения на 2 в () получим

$$\left(x_2; y_2\right) = \left(\frac{2q_1p_1}{q_1^2 + p_1^2}; \frac{q_1^2 - p_1^2}{q_1^2 + p_1^2}\right).$$

Заметим, что формула (8) отличается от формула () перестановкой $x_2$ и $y_2$. Если оказется, что $p_1$ и $q_1$ оба нечетны, то перейдем к переменным $q_2 = (p_1 + q_1)/2, p_2 = (q_1 - q_1)/2$, НОД $(q_2, p_2) = 1$ и т. д. В итоге получим либо формулу типа (), либо формулу типа (8), в которых $p_1$ и $q_1$ имеют разную четность, НОД $(p_2, q_2) = 1$. Таким образом, примитивное решение, соответствующее рациональной точке $(x_2; y_2) \neq (-1; 0)$, задается либо формулу типа (), либо формулу типа (8), в которых $p_1$ и $q_1$ — взаимно однозначного соответствия между примитивными решениями уравнения Пифогора и рациональных точками окружности $x^2 + y^2 = 1$ (исключая точку $(-1; 0)$) из формула () и (8) следует утверждение (*).

14

Рациональная параметризация конечных секений

Для нахождения рациональных точек, лежащих на окружности с уравнением $x^2 + y^2 - 1 = 0$, мы выведили формулу (6). Она устанавливает взаимно однозначное соответствие между параметром $k$, принимающим всевозможные действительные значения, и точками окружности (за исключением точки $(-1; 0)$), причем координаты $(x; y)$ точек, лежащих на окружности, являются рациональными функциями от $k$. Возникает вопрос: можно ли аналогичным образом задавать точки, лежащие на других кривых, скажем на эллипсе, параболе или гиперболе? (Эллипс, парабола и гипербола являются конечными секениями; отсюда называется этого раздела.)

Для ответа на этот вопрос рассмотрим кривую на плоскости, заданную уравнением $K(x, y) = 0$, где $K(x, y)$ — квадратный многочлен от $x$ и от $y$. Точки, лежащие на параболе, эллипсе и гиперболе, как раз удовлетворяют такого рода соответствию. Пусть $(x_1; y_1)$ — какая-нибудь фиксированная точка такой кривой. Проведем через эту точку прямую с угловым коэффициентом, равным $k$ (рис. 3). Будем искать точки $(x; y)$ пересечения кривой и прямой. координаты $(x; y)$ этих точки удовлетворяют системе уравнения
$$\begin{cases} K(x, y) = 0, \\ y - y_1 = k(x - x_1). \end{cases}$$

Решая эту систему относительно $(x; y)$ так же, как мы это делали раньше для окружности, выразим координаты $(x_2; y_2)$ второй точки пересечения

прямой $y = y_1 + k(x - x_1)$ с кривой $K$ через параметр $k$. Легко проверить, что получится выражение вида
$$\left(x_2; y_2\right) = \left(\frac{A(k)}{C(k)}; \frac{B(k)}{C(k)}\right),$$
где $A(k), B(k), C(k)$ — многочлены степени не выше 2 от параметра $k$. Эта формула задает рациональную параметризацию кривой $K$, т. е. выражает координаты точки на кривой через рациональные функции от одного параметра $k$.

Формула (*), как и формула (), позволяет нахождение целые точки на кривой $K$. Однако сейчас нас интересует другое — совсем неожиданное — применение этой формулы, к которой мы переходим.

Применение к вычислению интегралов

Оказывается, что такие безнадежные с виду интегралы, как
$$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 3x - 4}},$$
берутся, если воспользоваться рациональным параметризацию подходящие выбранной кривой. Именно, если в данной случае взять кривой
$$K(x, y) = y^2 - (x^2 + 3x - 4),$$
заметить, что точка $(x_1; y_1) = (-4; 0)$ лежит на кривой
$$y(x) = \sqrt{x^2 + 3x - 4}$$
и рассмотреть всевозможные прямые
$$y = k(x + 4),$$
то получится следующая параметризация (проделяйте выкладки самостоятельно!):
$$\left(x; y\right) = \left(\frac{1 + 4k^2}{1 - k^2}; \frac{5k}{1 - k^2}\right).$$

Тогда $dx = \frac{10k}{(1 - k^2)^2} dk$, и поэтому (после сокращения) получим
$$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 3x - 4}} = \int \frac{dx}{y(x)} = \int \frac{2dk}{1 - k^2}.$$

Послений интеграл уже легко вычислить:
$$\int \frac{2dk}{1 - k^2} = \int \frac{dk}{1 - k} + \int \frac{dk}{1 + k} = \ln |1 + k| - \ln |1 - k| + C = \ln \left| \frac{1 + k}{1 - k} \right| + C.$$