Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

53

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Điểm A(3; 1) và B(-2; 4) nằm trên mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa độ điểm C nằm trên phân giác của góc tọa độ I và III và cách đều hai điểm A và B.

2. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{9x + \frac{1}{2x+1}} \cdot (9 - 25x^2) \ge 0.$$

3. Tìm tất cả các giá trị của tham số a mà phương trình
   $$(1-a) \mathrm{tg}^2 x - \frac{2}{\cos x} + 1 + 3a = 0$$
   có nhiều hơn một lời giải trong khoảng $0; \frac{\pi}{2}$.

4. Độ dài cạnh AB của hình bình hành ABCD là 2.$BAD = 45^\circ$. Điểm E và F nằm trên đường chéo BD, có $AEB = CFD = 90^\circ$, $BF = \frac{3}{2}$ BE. Tìm diện tích của hình bình hành.

5. Độ dài cạnh đáy của tam giác đều paramid SABC (S là đỉnh) là 8. Các điểm K và L lần lượt nằm trên các cạnh AB và AC với AK=7, AL=4. Được biết, đối với một paramid nhất định có một hình nón duy nhất, đỉnh trùng với điểm K, tâm của tâm nằm trên đường thẳng SC và đoạn KL là một trong các phần tử sinh. Tìm thể tích của hình nón.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{\log \sqrt{x} (5x)} \cdot \log_5 x = -2.$$

2. Điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác vuông ABC ($C = 90^\circ$), với $AB = 5$, $ADC = \arccos \frac{1}{\sqrt{10}}$, $DB = \frac{4\sqrt{10}}{3}$. Tìm diện tích tam giác ABC.

3. Giải hệ phương trình
   $$\sin x = \sin 2y,$$
   $$2 \sin (4x+8y) \sin (3x+10y) + 5 \cos (7x+2y) = 4.$$

4. Độ dài chiều cao của hình tứ giác đều paramid SABCD (S là đỉnh) bằng $\sqrt{3}$ lần chiều dài cạnh đỡ. Điểm E là trung điểm của trung điểm mặt ASB. Tìm góc giữa đường thẳng DE và mặt phẳng ASC.

5. Với mỗi số p trên mặt phẳng tọa độ, ta xét tập M gồm tất cả các điểm có tọa độ (a; b) thỏa mãn các điều kiện a>0, b>0, a+b>1, 3ap < bp+2p^2 và sao cho hệ phương trình
   $$\begin{cases} px^2 + 2xy + y^2 = b^2, \\ 3x + y = a \end{cases}$$
   không có lời giải.

a) Tìm diện tích của một đa giác có vùng bên trong là đa giác nếu p = $\frac{21}{5}$.

6. Tìm tất cả p thực mà đa giác M nằm trong vùng của đa giác.

Vật lý
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Một cốc cân lò xo có khối lượng $m_1$ thực hiện chuyển động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A (hình 1). Khi chiếc cốc ở vị trí thấp nhất, một khối lượng $m_2$ được đặt lên nó. Kết quả là bánh xe dừng lại. Xác định thời gian ban đầu của quá trình quay cốc.

2. Hai xi lanh cách điện được nối với nhau bằng một ống có nắp van. Hình trụ thứ nhất có thể tích $V_1 = 500$ l chứa $m_1 = 16,8$ kg nitơ dưới áp suất $p_1 = 3 \cdot 10^6$ Pa; xi lanh thứ hai có thể tích $V_2 = 250$ l chứa $m_2 = 1,2$ kg argon dưới áp suất $p_2 = 5 \cdot 10^5$ Pa. Áp suất và nhiệt độ nào sẽ được thiết lập trong các xi lanh nếu van mở? Nhiệt dung của một mol nitơ là $C_1 = 5/2$ R, khối lượng mol của nó là $M_1 = 28$ g/mol; nhiệt dung của một mol argon $C_2 = 3/2$ R, khối lượng mol $M_2 = 40$ g/mol; hằng số khí $R = 8,31$ J/(mol K).

3. Một tiếp điểm có khối lượng m, chiều dài l có thể trượt dọc theo đường ray dẫn điện thẳng đứng trong từ trường. Các đường ray được đóng vào một cuộn dây lý tưởng có độ tự cảm L và nằm trong từ trường nằm ngang vuông góc với mặt phẳng của Hình 2. Ban đầu, tiếp điểm được duy trì ở trạng thái nghỉ nhờ một ngoại lực. Tại một thời điểm nào đó, ngoại lực bị loại bỏ và tiếp điểm bắt đầu di chuyển xuống từ vị trí ban đầu bằng 0.